第八讲等边三角形Word格式文档下载.docx
- 文档编号:16718965
- 上传时间:2022-11-25
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:337.92KB
第八讲等边三角形Word格式文档下载.docx
《第八讲等边三角形Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第八讲等边三角形Word格式文档下载.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
9.如图所示,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE⊥AD,2CE=AC,那么DE的长是 .
10.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分
∠BAC,∠EBC=∠E=60°
,若BE=60cm,DE=2cm,则BC= cm.
11.等边△ABC,点D是直线BC上一点,以AD为边在AD的右侧作等边△ADE,连接CE.
(1)如图1,若点D在线段BC上,求证:
CE+CD=AB;
(2)如图2,若点D在CB的延长线上,线段CE,CD,AB的数量有怎样的数量关系?
请加以证明.
12.在等边三角形ABC中,D、E分别在边BC、AC上,DC=AE,AD、BE交于点F,
(1)请你量一量∠BFD的度数,并证明你的结论;
(2)若D、E分别在边BC、CA的延长线上,其它条件不变,
(1)中的结论是否成立,请画图证明你的结论.
13.已知:
等边三角形ABC
(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°
.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°
.求证:
PA+PD+PC>BD.
14.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?
点F是否在直线NE上?
都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请利用图2证明;
若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
15.如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
(1)求证:
AE=BD;
(2)求证:
MN∥AB.
16.如图,△ABC是边长为9cm的等边三角形,D、E是边BC、BA上的动点,D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动,E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动,D、E同时出发,设运动时间为t,当其中一点到达边的端点时,运动便停止,在运动过程始终保持∠EDF=60°
.
∠EDB=∠DFC;
(2)当t=3秒时,求BE+CF的值;
(3)是否存在这样的t值,使得CF=
cm?
若存在,试求出t的值;
若不存在,请说明理由.
17.△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E,使CE=CD,过点D作DF⊥BE于F.探究FC与BE间的数量关系,并证明.
18.如图,在等边三角形ABC中,AD为BC边上的中线,以AD为一边作等边三角形ADE,DE与AC交于点F
(1)试探究线段AC与线段DE的位置关系,并说明理由;
(2)连线CE,试探究线段CE与BC的数量关系,并说明理由.
19.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°
,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.
(1)当α=150°
时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:
当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
20.如图,已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°
,
∠ABD=90°
﹣
∠DBC.求证:
AC=AD.
三.作业
1.如图,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2012次,点P依次落在点p1、p2、…p2012的位置,则点p2012的横坐标为 .
2.已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .
3.△ABC是等边三角形,把∠A按如图折叠,则
∠1+∠2= .
4.两块完全一样的含30°
角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C,如图所示.已知AC=6,则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于 .
5.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.则下列结论:
①AD=BE;
②PQ∥AE;
③AP=BQ;
④DE=DP.其中正确的是 .
6.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°
时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?
如果不变,求出线段ED的长;
如果变化请说明理由.
7.已知:
在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD.
(1)如图①,若∠AOB=∠COD=60°
,求证:
①AC=BD②∠APB=60°
(2)如图②,若∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为 ,∠APB的大小为 (直接写出结果,不证明)
8.如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB的顶点0为坐标原点,B点坐标为(4,0),且△OAB的面积为4
,点P从A点出发沿射线AB运动.点Q从B点出发沿x轴正半轴运动,点P、点Q同时出发,速度均为每秒2个单位长度.运动时间为t秒,过点P作PH⊥x轴于点H.
(1)求A点的坐标;
(2)当点P在线段AB上运动时,用含t的式子表示线段BQ的长度.
(3)在点P0、点Q的运动过程,当∠PQB=30°
时,求点P、点Q运动时间t的值.
9.如图,已知等边三角形ABC中,AG⊥BC,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB.求证:
PD+PE+PF=AG.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°
,BD+DC=AB.求证:
∠ACD=60°
参考答案与试题解析
1.①②③④ .2.
.3. 6 .4. ①②④ ).5.120°
.6. 30 度.
7. ①②③ (填序号).8. 等边 .9. 1 .
10.解:
延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°
,∴△BEM为等边三角形,
∴△EFD为等边三角形,∵BE=60,DE=2,∴DM=58,∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°
,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°
,∴∠NDM=30°
,∴NM=29,∴BN=31,∴BC=2BN=62,
故答案为62.
11.证明:
(1)如图1,∵△ADE与△ABC都是等边三角形,∴AC=AB,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°
.∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD.即∠CAE=∠BAD.
△CAE≌△BAD(SAS).∴EC=DB(全等三角形的对应边相等);
∴CE+CD=DB+CD=BC=AB,即CE+CD=AB;
(2)CE+CD=AB;
理由如下:
如图2,∵△ADE与△ABC都是等边三角形,
∴AC=AB,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°
.∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE.
即∠CAE=∠BAD.△CAE≌△BAD(SAS).∴EC=DB(全等三角形的对应边相等);
∴CE+AB=DB+BC=CD,即CE+AB=CD.
12.解:
(1)∠BFD=60°
在等边三角形ABC与三角形CDA中,AB=AC,∠BAE=∠C=60°
,AE=CD,∴△AEB≌△CDA.∴∠AEB=∠CDA,又∠DAC+∠ADC=180°
﹣∠C=120°
,∴∠AEB+∠DAC=120°
,∴∠AFE=∠BFD=60°
(2)∵∠BAC=∠ACB=60°
,∴∠EAB=∠ACD=120°
,△ABE≌△ACD,∴∠E=∠D,∵∠EAF=∠CAD,∠CAD+∠D=60°
,∴∠EAF+∠E=60°
∴∠BFD=60°
13.猜想:
AP=BP+PC,
(1)证明:
延长BP至E,使PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°
,∴∠CPE=60°
,又PE=PC,∴△CPE为等边三角形,∴CP=PE=CE,∠PCE=60°
,∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,∠BCA=60°
,∴∠ACB=∠PCE,∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP,即:
∠ACP=∠BCE,∴△ACP≌△BCE(SAS),
∴AP=BE,∵BE=BP+PE,∴AP=BP+PC.
(2)证明:
在AD外侧作等边△AB′D,则点P在三角形ADB′外,连接PB'
,B'
C,
∵∠APD=120°
∴由
(1)得PB′=AP+PD,在△PB′C中,有PB′+PC>CB′,
∴PA+PD+PC>CB′,∵△AB′D、△ABC是等边三角形,∴AC=AB,AB′=AD,
∠BAC=∠DAB′=60°
,∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD,即:
∠BAD=∠CAB′,
∴△AB′C≌△ADB,∴CB′=BD,
∴PA+PD+PC>BD.
14.解:
(1)判断:
EN与MF相等(或EN=MF),点F在直线NE上,
(2)成立.
连接DF,NF,证明△DBM和△DFN全等(AAS),∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC.又∵D,E,F是三边的中点,∴EF=DF=BF.∵∠BDM+∠MDF=60°
,∠FDN+∠MDF=60°
,∴∠BDM=∠FDN,∴△DBM≌△DFN,∴BM=FN,∠DFN=∠FDB=60°
,∴NF∥BD,∵E,F分别为边AC,BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BD,∴F在直线NE上,∵BF=EF,∴MF=EN.
(3)如图③,MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立).
连接DF、DE,
由
(2)知DE=DF,∠NDE=∠FDM,DN=DM,∴△DNE≌△DMF,
∴MF=NE.
15.
16.证明:
(1)∵∠EDF=60°
,∴∠CDF+∠EDB=120°
,∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°
,∴∠CDF+∠DFC=120°
,∴∠EDB=∠DFC;
(2)∵D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动,E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动,
∴t=3秒,BE=6,BD=3,∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6,∵△EBD∽△DFC,∴
=
,即
,∴CF=3,∴BE+CF=6+3=9.
(3)存在,理由如下.∵△EBD∽△DFC,∴
∵CF=
cm,∴CD=
,∴BD=9﹣
,∴BE=9,即t=
∴当t=
时,使得CF=
cm.
17.证明:
∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC,∴∠DBE=30°
,∠ACB=60°
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E,∵∠ACB是△CDE的外角,∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°
,∴∠E=30°
,∴∠E=∠DBE=30°
,∴BD=DE,∴△BDE是等腰三角形,∵DF⊥BE,∴BF=EF,即BF=
BE,∵∠DFC=90°
,∴∠FDC=30°
,∴CF=
CD=
CE,∴CF=
EF,∴CF=
BE.
18.
(1)解:
AC⊥DE;
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°
,∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD,∠BAD=∠DAC=
∠BAC=30°
,∴∠CAE=60°
﹣30°
=30°
,∴∠DAC=∠CAE,∴AC垂直平分DE,
即AC⊥DE;
(2)解:
BC=2CE;
∵AC垂直平分DE,
∴CD=CE,∵BD=CD,∴BC=2CE.
19.解:
(1)∵△OCD是等边三角形,∴OC=CD,而△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∵∠ACB=∠OCD=60°
,∴∠BCO=∠ACD,△BOC≌△ADC,∴∠BOC=∠ADC,
而∠BOC=α=150°
,∠ODC=60°
,∴∠ADO=150°
﹣60°
=90°
,∴△ADO是直角三角形;
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°
,b+c=180°
﹣110°
=70°
,c+d=60°
,a+d=50°
∠DAO=50°
∴b﹣d=10°
,∴(60°
﹣a)﹣d=10°
,∴a+d=50°
即∠CAO=50°
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,∴190°
﹣α=α﹣60°
,∴α=125°
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,∴α﹣60°
=50°
,∴α=110°
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,∴190°
﹣α=50°
,∴α=140°
所以当α为110°
、125°
、140°
时,三角形AOD是等腰三角形.
20.证明:
以AB为轴作△ABC的对称△ABC′,如图:
则AC=AC′,∠C=∠C′=60°
,∠ABC′=∠ABC,因为∠ABD=90°
∠DBC
所以2∠ABD+∠DBC=180°
所以∠ABD+∠DBC+∠ABD=180°
即∠ABC+∠ABD=180°
所以∠ABC′+∠ABD=180°
所以D、B、C′共线又因为∠D=60°
所以∠DAC=180°
﹣∠C′﹣∠D=60°
=∠D=∠C′所以△ADC′是等边三角形,所以AD=AC′=AC.
【作业】
1. 2011 .2.
.3.120°
.
4.解:
连接AA′,∵点M是线段AC、线段A′C′的中点,AC=6,∴M=MC=A′M=MC′=3,∵∠MA′C=30°
,∴∠MCA′=∠MA′C=30°
,∴∠MCB′=180°
=150°
,∴∠C′MC=360°
﹣(∠MCB′+∠B′+∠C′)=180°
﹣(150°
+60°
+90°
)=60°
,∴∠AMA′=∠C′MC=60°
∴△AA′M是等边三角形,∴AA′=AM=3,
故答案为:
3.
5.①②③
6.解:
(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠ACB=60°
,∵∠BQD=30°
,∴∠QPC=90°
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,∴QC=QB+BC=6+x,∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°
,∴PC=
QC,即6﹣x=
(6+x),解得x=2,∴AP=2;
(2)当点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB于点F,连接QE,PF,又∵PE⊥AB于E,∴∠DFQ=∠AEP=90°
,∵点P、Q速度相同,∴AP=BQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°
,在△APE和△BQF中,∵∠AEP=∠BFQ=90°
,∴∠APE=∠BQF,△APE≌△BQF(AAS),∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,∴四边形PEQF是平行四边形,∴DE=
EF,∵EB+AE=BE+BF=AB,∴DE=
AB,又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3,∴点P、Q同时运动且速度相同时,线段DE的长度不会改变.
7.解:
(1)①证明:
∵∠AOB=∠COD=60°
,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOD.△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD;
②证明:
∵△AOC≌△BOD,
∴∠OAC=∠OBD,∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB,∴∠OAC+60°
=∠OBD+∠APB,
∴∠APB=60°
(2)AC=BD,∠APB=α.
8.解:
(1)如图1,过A作AD⊥OB于D,∵B点坐标为(4,0),
∴OB=4,∵△AOB是等边三角形,∴OD=
OB=2,∵△OAB的面积为4
,∴
=4
,∴AD=2
,∴A点的坐标为:
(2.2
);
(2)BQ=2t;
(3)如图2,当点P在线段AB上时,∵△ABO是等边三角形,∴∠ABO=60°
∵∠PQB=30°
,∴∠BPQ=30°
,∴∠PQB=∠BPQ,∴PB=BQ,即4﹣2t=2t,∴t=1,
当P在射线AB上时,如图3,连接PQ,∵△ABO是等边三角形,∴∠ABO=60°
,∴∠PBQ=∠ABO=60°
,∵∠PQB=30°
,∴∠BPQ=90°
,∴BQ=2PB,
即2t=2(2t﹣4),∴t=4,∴当t=1或4时,∠PQB=30°
9.
10.证明:
延长BD至E,使CD=DE,连接AE,AD,
∵BD+CD=AB,BE=BD+DE,
∴BE=AB,
∵∠ABD=60°
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=AC,∠E=60°
在△ACD和△ADE中,
∴△ACD≌△ADE(SSS),
∴∠ACD=∠E=60°
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第八讲 等边三角形 第八