届人教A版真题模拟演练解三角形.docx
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届人教A版真题模拟演练解三角形
解三角形
1.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=
,c=2,cosA=
,则b=( )
A.
B.
C.2D.3
2.(2016·天津)在△ABC中,若AB=
,BC=3,∠C=120°,则AC=( )
A.1B.2C.3D.4
3.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=
,BC边上的高等于
BC,则sinA=( )
A.
B.
C.
D.
4.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=
,BC边上的高等于
BC,则cosA=( )
A.
B.
C.-
D.-
5.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosA=
,cosC=
,a=1,则b=________.
6.(2016·北京)在△ABC中,∠A=
,a=
c,则
=________.
7.(2016·四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
+
=
.
(1)证明:
sinAsinB=sinC;
(2)若b2+c2-a2=
bc,求tanB.
考点1 正弦定理的应用
1.(2014·江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则
的值为( )
A.-
B.
C.1D.
2.(2014·广东)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )
A.充分必要条件B.充分非必要条件
C.必要非充分条件D.非充分非必要条件
3.(2015·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=
,sinB=
,C=
,则b=________.
4.(2015·湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
5.(2014·广东)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则
=________.
6.(2014·四川)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,
≈1.73)
考点2 余弦定理的应用
7.(2015·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2
,cosA=
且b A.3B.2 C.2D. 8.(2015·福建)若锐角△ABC的面积为10 ,且AB=5,AC=8,则BC等于________. 9.(2014·湖北)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A= ,a=1,b= ,则B=________. 10.(2014·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c= a,2sinB=3sinC,则cosA的值为________. 考点3 面积的计算 11.(2014·新课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC= ,则AC=( ) A.5B. C.2D.1 12.(2014·江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC的面积是( ) A.3B. C. D.3 13.(2015·新课标全国Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (1)若a=b,求cosB; (2)设B=90°,且a= ,求△ABC的面积. 考点4 综合应用 14.(2015·新课标全国Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求 ; (2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长. 15.(2014·安徽)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值; (2)求sin 的值. 1.(2016·河南郑州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 = ,则cosB=( ) A.- B. C.- D. 2.(2016·广东汕尾模拟)已知△ABC的三条边为a,b,c,则“△ABC是等边三角形”是“a2+b2+c2=ab+ac+bc”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.(2016·河南八市联考)已知a,b,c是锐角△ABC中A,B,C的对边,若a=4,c=6,△ABC的面积为6 ,则b为( ) A.13B.8C.2 D.2 4.(2015·大兴区模拟)在△ABC中,a= ,b= ,B= ,则A等于( ) A. B. C. D. 或 5.(2015·宿州市模拟)在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为( ) A. B. C. D. 6.(2015·宣城市模拟)在△ABC中,已知AB=4 ,AC=4,∠B=30°,则△ABC的面积是( ) A.4 B.8 C.4 或8 D. 7.(2015·皖江名校模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 = ,sinC=2 sinB,则tanA=( ) A. B.1C. D.- 8.(2015·江西师大模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,b=c,且满足 = ,若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,则平面四边形OACB面积的最大值是( ) A. B. C.3D. 9.(2015·东城区模拟)在△ABC中,a=3,b= ,B=60°,则c=________;△ABC的面积为________. 10.(2015·广东茂名模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=3,C=120°,△ABC的面积S= ,则c为________. 11.(2016·天一大联考) 如图,某流动海洋观测船开始位于灯塔B的北偏东θ 方向,且满足2sin2 - cos2θ=1,AB=AD,在接到上级命令后,该观测船从A点位置沿AD方向在D点补充物资后沿BD方向在C点投放浮标,使得C点与A点的距离为4 km,则该观测船行驶的最远航程为________km. 12.(2015·泰州市模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4 ,则△ABC面积的最大值为________. 13.(2015·甘肃模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB的值; (2)若 · =2,且b=2 ,求a和c的值. 14.(2016·湖北武汉模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2B+cosB=1-cosAcosC. (1)求证: a,b,c成等比数列; (2)若b=2,求△ABC的面积的最大值. 15.(2016·湖北黄冈八校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bsin =a+c. (1)求角B的大小; (2)若点M为BC中点,且AM=AC,求sin∠BAC. 解三角形 【三年高考真题演练】 [2016年高考真题] 1.D [由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2× ,解得b=3 , 故选D.] 2.A [由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1,选A.] 3.D [设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B= ,BD= BC,DC= BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA= =-3,所以sinA= .] 4.C [设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B= ,BD= BC,DC= BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA= =-3,所以cosA=- .] 5. [在△ABC中由cosA= ,cosC= ,可得sinA= ,sinC= ,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC= ,由正弦定理得b= = .] 6.1 [由 = 得sinC= = × = , 又0<C< ,所以C= ,B=π-(A+C)= . 所以 = = =1.] 7. (1)证明 根据正弦定理,可设 = = =k(k>0). 则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 代入 + = 中,有 + = ,变形可得: sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B). 在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 所以sinAsinB=sinC. (2)解 由已知,b2+c2-a2= bc, 根据余弦定理,有cosA= = . 所以sinA= = . 由 (1)知,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB, 所以 sinB= cosB+ sinB, 故tanB= =4. [两年经典高考真题] 1.D [由正弦定理可得 =2 -1=2 -1,因为3a=2b,所以 = ,所以 =2× -1= .] 2.A [由正弦定理,得 = ,故a≤b⇔sinA≤sinB,选A.] 3.1 [因为sinB= 且B∈(0,π),所以B= 或B= .又C= ,所以B= ,A=π-B-C= .又a= ,由正弦定理得 = ,即 = ,解得b=1.] 4. 100 [在△ABC中,AB=600,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正弦定理得 = ,即 = , 所以BC=300 .在△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300 ·tan30°=100 .] 5.2 [由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinB, sin(B+C)=2sinB,sinA=2sinB,∴a=2b,则 =2.] 6.60 7.C [由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-2×b×2 × ,即b2-6b+8=0,∴b=4或b=2,又b 8.7 [S= AB·AC·sinA,∴sinA= ,在锐角三角形中A= ,由余弦定理得BC= =7.] 9. 或 [由正弦定理 = 得sinB= = , 又B∈ ,所以B= 或 .] 10.- [由已知及正弦定理,得2b=3c,因为b-c= a,不妨设b=3,c=2,所以a=4,所以cosA=
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