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AMSB,ACSB,SB平面SAC,
SBSA,SBSC,SBSA,BCSA,
(3)题-2
SA平面SBC,SASC,
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直,
(2R)2(23)2(23)2(23)236,即4R236,
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
4)在四面体SABC中,SA平面ABC,
BAC
120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接
球的表面积为(D)A.11B.7
5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为
C.
10
D.
40
6、4、
3,那么它的外接球的表面积是
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几
解析:
(4)在ABC中,BC2
AC2
AB
22ABBCcos1207
BC7,
ABC的外接球直径为
2r
BC
7
3
27
,
sin
22272
40,
,选
(2R)2
(2r)2SA2()2
4
S
6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为
何体外接球的体积为
5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a,b,c(a,b,cR),则
ab12
bc8,abc24,a3,b4,c2,(2R)2a2b2c229,S4R229
ac6
(6)(2R)2
2a
222bc3,R
,R
43
333
VR3
82,
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
1.题设:
如图5,PA平面ABC解题步骤:
第一步:
将ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;
第二步:
O1为ABC的外心,所以OO1平面ABC,算出小圆O1的半
径O1Dr(三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理,得
sinA
bc
2r),OO1sinBsinC
1
2PA;
第三步:
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①
222
(2R)2PA2(2r)2
2RPA2(2r)2;
②R2r2OO12Rr2
2.题设:
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点
OO12
三棱锥PABC的三条侧棱相等
P点也是圆锥的顶点
解题步骤:
确定球心O的位置,取
ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
先算出小圆O1的半径AO1r,再算出棱锥的高PO1h(也是圆锥的高);
第三步:
勾股定理:
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R方法二:
小圆直径参与构造大圆。
A.3
B.2
C.163
D.以上都不对
选C,
(3
R)2
R2,3
23RR21R2,423R0,
R
S4
16
3,
R2
例2一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为()C
类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)
图9-1图9-2
P
O
A
C
B
图9-3
图9-4
如图9-1,平面第一步:
易知球心O必是
PAC平面ABC,且PAC的外心,即a
在PAC中,可根据正弦定理
PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径ACb
BC(即AC为小圆的直径)
2r;
2.如图
9-2,平面PAC
平面ABC,且AB
sinB
2R,求出R
sinC
即AC为小圆的直径)
OC2
O1C2O1O2
R2r2O1O2
AC
2R2O1O2
9-3,平面PAC
三棱锥PABC的三条侧棱相等圆锥的顶点解题步骤:
3.如图
外心
三棱P
即AC为小圆的直径),且P的射影是ABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点
ABC的P点也是
确定球心O的位置,取ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;
222222
OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2,解出R
4.如图9-3,平面PAC平面ABC,且ABBC(即AC为小圆的直径),且PAAC,则
①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2;
②R2r2OO12Rr2OO12
例3
(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为23,则该球的表面积为
2)正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
(1)由正弦定理或找球心都可得2R
7,
S4R249,
2)方法一:
找球心的位置,易知r1,h
1,
方法二:
大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是
2R2,R1,V
4hr,故球心在正方形的中心ABCD处,R1,V
3SAC的外接圆,此处特殊,RtSAC的斜边是球半径,
3)在三棱锥PABC中,PAPBPC
3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外
接球的体积为(
B.
C.4
选D,圆锥A,B,C在以r
3的圆上,
R1
4)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球
径,且SC2,则此棱锥的体积为(
O的求面上,
ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直
A.2
6
B.3
D.
OO1R2r21(3)2
6,h
26,V
1Sh
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
图10-2,
直三棱柱内接于球
题设:
如图10-1,
是任意三角形)
10-3,
同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以
确定球心
O的位置,O1是
ABC的外心,则
OO1
平面ABC;
算出小圆
O1的半径AO1
r,
OO11AA1
121
1h
AA1h也是圆柱的高);
OA2O1A2O1O2
R2(h2)2
r2
r2(h2)2,解出R
例4
(1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
且该六棱柱的体积为
9
9,底面周长为3,则这个球的体积为
8
设正六边形边长为
a,正六棱柱的高为h,底面外接圆的关径为
则a
底面积为S6
(12)2383,V柱Sh383h
9,
(23)2(12)21,
R1,球的体积为V4
2)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上,
AA1
2,BAC120,则此
球的表面积等于
23,2rsin212304,r2,R5,S
20
已知
EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,
EA
EB
3,AD2,AEB60,则多面体E
ABCD的外接
球的表面积为
。
折叠型,法一:
EAB的外接圆半径为r1
3,OO1
R132;
法二:
O1M
,r2O2D
13,R2
1434,R
2,S16
4)在直三棱柱ABC
A1B1C1中,
AB4,AC
6,A
3,AA1
4则直三棱柱
ABCA1B1C1的外接球
的表面积为
160
BC216
36
24
28,BC27,
2r3
47
3,r
2AA12r2(21)2
28
类型五、折叠模型
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠
(如图11)
图11
先画出如图所示的图形,将
BCD画在小圆上,找出BCD和ABD的外心H1和H2;
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;
222第三步:
解OEH1,算出OH1,在RtOCH1中,勾股定理:
OH12CH12OC2
例5三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥PABC外接球的半径为.
2r12r2
sin60
r1
O2H
R2O2H2r12
145,R15
3333
O2H
O1H
AH1,
22222515
R2AO2AH2O1H2O1O2,R
33
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,
求外接球半径(ABCD,ADBC,ACBD)
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
BCx,ABCDy,ACBDz,列方程组,
x
2c
2y
2x
yz,
c
z
补充:
VA
BCD
abc1
abc
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c,AD
222
xy2z
(1)题解答图
2xyzxyz
R2,R,求出R,
88
例如,正四面体的外接球半径可用此法。
例6
(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.
(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()
A.33B
.3
12
(1)截面为PCO1,面积是2;
2)高hR1,底面外接圆的半径为
1,直径为2R
2,
三棱锥的体积为
V
Sh
(3)在三棱锥
BCD中,AB
CD2,AD
BC3,AC
BD
4,则三棱锥ABCD外接球的表
29
面积为
如图12,
设补形为长方体,
三个长度为三对面的对角线长,
设长宽高分别为a,b,c,则a2b29,
bc4,
a216
2(a
bc)9
41629,
2(a2
b2c2)941629,
29,
,4R2
设底面边长为a,则2R
7,则该三棱锥外接球的
6,AD
3,S3a
如图所示三棱锥ABCD,其中ABCD5,ACBD
(4)表面积为.解析:
同上,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为
2222222
2(a2b2c2)253649110,a2b2c255,4R255,
【55;
对称几何体;
放到长方体中】
(5)正四面体的各条棱长都为2,则该正面体外接球的体积为
这是特殊情况,
但也是对棱相等的模式,放入长方体中,
2R3,
R23,V
82
a,b,c,
类型七、两直角三角形拼接在一起
(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
APB
ACB90,求三棱锥P
ABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点
O,连接
OP,OC,则OAOBOCOP1AB,O为三棱锥PABC外接球球心,然后在OCP中求出
半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定
值。
则四面体ABCD的外接球的体积为(
)
125
.125
A.B.
D.
5
34
(1)2RAC5,R
R3
(2)在矩形ABCD中,AB
沿BD将矩形
ABCD折叠,
连接AC,所得三棱锥A
例7
(1)在矩形ABCD中,AB4,BC
3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,
的外接球的表面积为
(2)BD的中点是球心O,2RBD13,S4R213;
类型八、锥体的内切球问题
如图14,三棱锥PABC上正三棱锥,求其外接球的半径。
先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心;
求DH1BD,POPHr,PD是侧面ABP的高;
由POE相似于PDH,建立等式:
OEPO,解出r
DHPD
如图15,四棱锥P
ABC上正四棱锥,求其外接球的半径
先现出内切球的截面图,
P,O,H三点共线;
求
FHBC,
PO
PHr,PF是侧面
PCD的高;
由
POG相似于
PFH
,建立等式:
OG
,解出
HF
PF
图15
3.题设:
三棱锥PABC是任意三棱锥,求其的内切球半径
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步:
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
设内切球的半径为r,建立等式:
VPABC
ABCVO
PAB
PACVOPBC
SABC
3ABC
SPAB
3PAB
rSPAC
3PAC
rSPBC
3PBC
(SABC
SPAB
SPACSPBC)r
解出
3VPABC
SOABCSOPABSOPACSOPBC
习题:
1.若三棱锥
A.3解:
【A】
(2R)2416166,R3
【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】
ABC的三条侧棱两两垂直,
B.6C.36
且SA2,
D.9
SBSC
4,则该三棱锥的外接球半径为(
2.三棱锥SABC中,侧棱SA平面ABC,底面ABC是边长为3的正三角形,SA23,则该三
2r
3432
32,(2R)241216,R24,R2,外接球体积8
sin6033
棱锥的外接球体积等于
32
【外心法(加中垂线)找球心;
正弦定理求球小圆半径】
3.正三棱锥SABC中,底面ABC是边长为3的正三角形,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球体积等于.
ABC外接圆的半径为
,三棱锥SABC的直径为2R
,外接球半径
R3,
或R2
(R3)21,
2,外接球体积V
323,
4.三棱锥PABC中,
平面
PAC平面ABC,
△
PAC
边长为2的正三角形,ABBC
,则三棱锥
PABC外接球的半径为.
PAC的外接圆是大圆,
2R
5.三棱锥PABC中,平面
ABC,
PAPC
BC,则三棱锥
PABC外接球的半径为
PA2PC2
99
47,
72
162
,sin
42
1()2
P,
cosP
2PAPC
23
39
81
2992,R92
42224R8
BC,则三棱锥PABC
6.三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,AC2,PAPC,AB外接球的半径为.
AC是公共的斜边,AC的中点是球心O,球半径为R1
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- 八个 无敌 模型