数值分析第一次作业及参考答案Word下载.docx
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S(x)(x1)(x2)(73x)/15,
[1,2]
(x3)2(x2)/15,
[2,3]
2)取x
i处的二阶导数Mi作为参数,i1,2。
解之可得m14/15,m21/15
hi11
hi1hi2
i
2,di6f[xi1,xi,xi1]0
以及由三弯矩方程
11
M02M1M20
iMi12MiiMi1dii1,2
22
M12M2M30
21223
x(1x)(19x26)/90,x[0,1]故S(x)(x1)(x2)(5x12)/90,x[1,2]
(3x)(x2)(x4)/90,x[2,3]
7.编程实现题:
略。
8、试求f(x)sinx,x[0,]最佳一次一致逼近多项式。
因为f'
(x)sinx在[0,/2]内不变号,故最佳一次一致逼近多项式为
P1*(x)[f(0)f(x1)]/2a1(xx1/2)
式中a1
f(/2)f(0)20.63661977a1
/201
f'
(x1)cosx1
x10.88068924
从而
P1*(x)
(sinx1)/2a1(xx1/2)0.105256830.63661977x
9、给定f(x)x4x31,试利用最小零偏差定理,即切比雪夫多项式的最小零偏差性质,
在[0,1]上求f(x)的三次最佳一致逼近多项式。
(T2(x)2x21,T3(x)4x33x,T4(x)8x48x21)
令t2x1
f(x)f(t21)(t21)43(t21)3
1.
设P3*(x)为f(x)在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式,
由于f(t1)的首项系
数为214,故
t1
16[f(t12
P3*(t1
P3*(x)
3x3
10、设1span1,x,
x2C[0,1]的最佳平方逼近,
(1)设1*
a0
a1x
因(0,
0)
112dx
(1,
1)
x2dx
(f,
12
1dx
1*
12a*0
122f
2a1
13a1*
3
4
ak*(f,
*t1
)P3*(t1
)(
(x4
t21)3
168
2)]41T4(t)
t21)4(
42
(8t48t21)
3x31)
4128
129
100101
spanx,x
并比较其结果。
1,(0,
1,
3,
k)
a1
[8(2x
x[0,1]
,分别在
(f,1)
0.00556
1)48(2x1)21]
1、
2上求一函数,使其为
xdx
2,
1(x)
4,
(2)设*2(x)b0*x100
b1*x101
11002
0(x100)2dx
1012(x)dx0
201
1*b0*2020
b0
2(x)
22f22
1b1*
2021
1*b1*2031
1,(,),(0,1)201
(f,0)
203
103
b1*
(1,0)
102
xdx0
1100
103,
375.24253
375.14825
1011
xdx,
202
(f,1)
103dx
104
375.24253x100
bk*(f,k)
k0
375.14825x101
14
dx[375.24253
1014]
0.16406
由结果知
(1)比
(2)好。
误差。
19
25
31
38
44
因
0(x)
1,1(x)x2.有(0,
02(xi)125
0i0
(
0,1)
(1
0)0(xi)
1(xi)
xi25327,
i0
1,1)
1(xi)1(xi)
xi47277699,
0,y)
0(xi)yiyi
271.4,
1,y)
1(xi)yixi2yi
369321.5,
5a
5327b271.4
a0.9726045
5327a7277699b369321.5b0.0500351
y0.97260450.0500351x2.
22y22a(0,y)b(1,y)0.016954.
0.130207526.
逼近多项式。
(参考讲义与参考书)
构造正交多项式
13、求f(x)ex在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。
(参考讲义与参考书,利用
Legendre正交多项式)
解先计算(f,Pk)(k0,1,2,3)。
1x1
(f,P0)1exdxe2.3504;
1e
(f,P1)xexdx2e10.7358;
均方误差
14、A、B、C三点连成一条直线,
x26.1米,为控制丈量的准确性,
AB长为x1,BC长为x2,某人测量的结果为x115.5米,
又测量ACx1x220.9米,试合理地决定x1和x2的
长度。
(小数点后取四位有效数字)
令x1*为AB的所求值,x*2为BC的所求值,则x115.5x1*1,x26.1x2*2
x1x220.9x1*x*23.故1
15.5x1*,2
6.1x*2,320.9(x1*x2*)
在最小二
乘意义下,要f1222
3达到极小,
即求f
*2*2
(x1*15.5)2(x*26.1)2
**2
(x1*x2*20.9)2
的极小点。
令
*
**
f*
2(x115.5)2(x1x220.9)0,
2(x26.1)2(x1x220.9)0,
解的x1*15.2667,x*25.8667。
故应取x115.2667,x25.8667。
15、求函数f(x)ex在区间[-1,1]上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法选一种方法解本题,并估计误差。
(参考讲义与参考书)解:
三种方法,见参考讲义。
(1)截断切比雪夫级数
由富利叶级数系数公式得
Ck*2ecoscoskd,
它可用数值积分方法计算,得到
C0*2.5321317,6C1*1.1303182,1C2*0.2714953,4C3*0.0443368,5
exL3(x)0.00666.
P6(x)1x1x2
13
15
16
6
24
120
720
3)台劳级数项数的节约
应用e的台劳展开,取n6,得
6x
T6(x)
32
34x
92
x
116T5(x)
535
xx,
416
则
P6(x)M
6,4(x)
1T5(x)
312T6
(x),
165
326
其中
M6,4(x)
1.0000434
0.9973958x
0.4996094x
0.1770833x
0.043750
4x.
用M6,4(x)做e
x的逼近多项式,其误
差为
max
1x1
exM6,4(x)
0.0005393
1920
23040
若再用x
T4(x)
2x
1代入M
6,4(x)可求出
88
M6,3(x)0.9945750.997396x0.542969x20.177083x3,
maxexM6,3(x)0.00651.
1x16,3
16.编出用正交多项式(格拉姆-施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。
(参考讲义与参考书)
略。
17.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
2h
1)2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);
A1
A0
4h
1,x,x,
hA1
hA1
h2)A
h2A1
8h
x3dx
h)3
h
03
(h)3
64
x4dx
h(
h)
h04
f(x)dx
f(
f(0)
f(x)
Q
h3
8h(h)4
8
16h5
f(h)具有三次代数精度
有两个参数,令f(x)
x,x2精确成立
2x13x2
x1
0.68990
0.28990
或
2x123x22
x2
0.12660
0.52660
而
13[
33
2x133x23]
1f(x)dx
[f(
2f(0.68990)
3f(
0.12660)]/3
与
2f(0.28990)
3f(0.52660)]/3
(2)当f(x)1时,f(x)dx
均具有2次代数精度.
13[f
(1)2f(x1)3f(x2)].
18、已知x014,x112,x3
3,
4,
1)推导以这三个点为求积节点在[
2)求上述求积公式的代数精确度。
0,1]上的插值型求积公式。
3)用上述公式计算x2dx。
113
(1)过x0,x1,x3三点的二次插值为
041234
L2(x)
(1x121))((x1433))f(41)
42)(44)
1311
(x14)(x43)1(x14)(x21)3
114143f(12)341321f(43)
(1214)(2143)2(4341)(4321)4
故有
0f(x)dx
0L2(x)dx
Akf(xk)
AA
中
其
故求积公式为
)
x3
1)(
dx
343
))
121
0f(x)dx
A
111
31[2f(14)f(21)
12f(34)]
Q[f]
2)因为上述由二次插值推出,故至少具有二次代数精度,将f(x)x3,x4代入有
b
19、如果要用复化梯形公式计算积分
I[f]f(x)dx,试问应将积分区间[a,b]分成多
a
少份,才能保证误差不超过。
已知将[a,b]分成n份的复化梯形公式的余项为
记Mmaxf'
(x),则按要求应满足axb
(ba)3
12n2
2f(x2)
的求积系数和节点,并利用此公式写出I
点为
x0
150.7745967,x10,
0.7745967.
则所求的高斯求积公式为
1f(x)dx
0f(
155)1f(0)
因三点的高斯求积公式具有
5次代数精确度,
令上述高斯求积公式对f(x)
1,x,x2均精确
成立,
dx2
xdx0
所以三点的高斯-勒让德求积公式为
89f(0)
1f(x)dx
9
对I
21
exdx,作变换x
1(t3),把积分区间[1,2]化为区间[-
1,
1],即
21exdx
e
t3dt.用三点的高斯-勒让德求积公式计算,有
21、
18
0.77459673
4e23
52
5e0.77459673
建立高斯型求积公式
f(x)dxA0f(x0)A1f(x1)。
(参考讲稿与参考书)
37371
x0x1A0A
dxx
10
3x
试确定三点的高斯—勒让德(G—L)求积公式f(x)dx0f(x0)1f(x1)
exdx的计算式(无需计算结果)。
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- 数值 分析 第一次 作业 参考答案
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