冀教版初中数学九年级上册《242 解一元二次方程》同步练习卷Word文档下载推荐.docx
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C.kx2﹣4kx+1=0D.
x2﹣x﹣k2=0
12.如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k≤2B.k≤2且k≠0C.k<2且k≠0D.k≥2且k≠0
二.填空题(共12小题)
13.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{﹣
}=﹣
;
若min{(x﹣1)2,x2}=1,则x= .
14.方程3x2=12的解是 .
15.一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2,则a的值是 .
16.方程(x﹣5)2=5的解为 .
17.一个三角形的两边长分别为3和5,其第三边是方程x2﹣13x+40=0的根,则此三角形的周长为 .
18.方程(x+3)2=5(x+3)的解为
19.方程(x﹣5)(x+6)=x+6的根是 .
20.方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,则方程(2x﹣3)2+2(2x﹣3)﹣3=0的解是 .
21.已知(x2+y2)2﹣(x2+y2)﹣12=0,则x2+y2= .
22.若实数a,b满足(2a+2b)(2a+2b﹣2)﹣8=0,则a+b= .
23.设x,y是一个直角三角形两条直角边的长,且(x2+y2)(x2+y2﹣1)=20,则这个直角三角形的斜边长为 .
24.若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
三.解答题(共19小题)
25.小明在解方程x2﹣2x﹣1=0时出现了错误,其解答过程如下:
x2﹣2x=﹣1 (第一步)
x2﹣2x+1=﹣1+1 (第二步)
(x﹣1)2=0 (第三步)
x1=x2=1 (第四步)
(1)小明解答过程是从第 步开始出错的,其错误原因是 ;
(2)请写出此题正确的解答过程.
26.解下列方程:
(1)x2﹣3x=1.
(2)
(y+2)2﹣6=0.
27.解方程:
x2+4x﹣7=0.
28.解方程:
(1)x2+8x﹣9=0(配方法)
(2)3x2=2﹣5x(公式法)
29.解下列方程:
(1)x2﹣10x+25=7;
(2)3x2﹣10x+3=0;
30.解下列方程:
(1)x2﹣3x﹣1=0,
+1=
.
31.解方程:
(x﹣3)(x﹣2)﹣4=0.
32.用公式法解一元二次方程:
2x2﹣7x+6=0.
33.
(1)用配方法解方程:
3x2﹣12x+9=0.
(2)用公式法解方程:
3x2﹣9x+4=0.
34.解下列方程
(1)2x2﹣2x﹣1=0(公式法)
(2)(x﹣3)2+2(x﹣3)+1=0
35.解下列方程:
(1)2x2﹣x=1
(2)(x+3)2﹣8(x+3)+16=0
36.解方程或计算
(1)2x2﹣2x﹣1=0
(2)(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.
37.关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根
(1)求m的取值范围;
(2)若m是满足条件的最大整数,求方程的根.
38.已知关于x的方程(a﹣1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
39.已知关于x的方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)求证:
方程总有实数根;
(2)若方程有两个实数根,且都是整数,求正整数m值.
40.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个不相等的实数根.
(2)若m是正整数,求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1=0的根.
41.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x﹣1=0.
(1)若方程有一根是1,求m的值;
(2)若该方程有实数根,求m的取值范围.
42.已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)写出满足条件的k的最大整数值,并求此时方程的根.
43.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+m+1=0.(m≠1)
方程总有两个不相等的实数根;
(2)求出该方程一个固定的根.
冀教新版九年级上学期《24.2解一元二次方程》2019年同步练习卷
参考答案与试题解析
【分析】先把方程变形为x2=
,然后利用直接开平方法解方程.
【解答】解:
x2=
,
x=±
故选:
B.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.
【分析】先变形得到x2=3,然后利用直接开平方法求解.
x2﹣3=0,
x2=3,
C.
【分析】方程移项变形后,配方得到结果,即可确定出m与n的值.从而得出答案.
∵x2﹣12x+33=0,
∴x2﹣12x=﹣33,
则x2﹣12x+36=﹣33+36,即(x﹣6)2=3,
∴m=﹣6,n=3,
∴m+n=﹣6+3=﹣3,
【点评】本题考查一元二次方程的解法,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用适当的方法解一元二次方程,属于中考常考题型.
【分析】先把方程变形为x2﹣4x=﹣6,再把方程两边加上4,然后把方程左边写成完全平方形式即可.
∵x2﹣4x+6=0,
∴x2﹣4x=﹣6,
∴x2﹣4x+4=﹣6+4,即(x﹣2)2=﹣2,
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
【分析】移项,系数化成1,再配方,即可得出选项.
﹣x2+8x+1=0,
﹣x2+8x=﹣1,
x2﹣8x=1,
x2﹣8x+16=1+16,
(x﹣4)2=17,
【点评】本题考查了解一元二次方程,能正确配方是解此题的关键.
【分析】先移项,再说出各个项的系数即可.
3x2+3=﹣2x,
3x2+2x+3=0,
这里a=3,b=2,c=3,
【点评】本题考查了解一元二次方程,能说出各个项的系数是解此题的关键.
【分析】方程变形后,利用因式分解法求出解即可.
方程移项得:
x(x+2)﹣3(x+2)=0,
分解因式得:
(x﹣3)(x+2)=0,
可得x+2=0或x﹣3=0,
解得:
x1=﹣2,x2=3,
D.
【点评】此题考查了解一元一次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【分析】先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
x2+2x=0,
x(x+2)=0,
x=0,x+2=0,
x1=0,x2=﹣2,
【点评】本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键,注意:
解一元二次方程的方法有:
直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法.
【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
x2=4x,
x2﹣4x=0,
x(x﹣4)=0,
x﹣4=0,x=0,
x1=4,x2=0,
【点评】本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.
【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况.没有实数根的一元二次方程,即判别式的值是负数的方程.
A.x2﹣x﹣1=0中△=(﹣1)2﹣4×
1×
(﹣1)=5>0,有两个不相等的实数根;
B.4x2﹣4x+2=0中△=(﹣4)2﹣4×
4×
2=﹣16<0,没有实数根;
C.x2=﹣x即x2+x=0中△=12﹣4×
0=1>0,有两个不相等的实数根;
D.x2﹣mx﹣2=0中△=(﹣m)2﹣4×
(﹣2)=m2+8>0,有两个不相等的实数根;
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解.
A.由kx2+3=0得x2=﹣
<0,没有实数根;
B.由(x+k)2+12=0得(x+k)2=﹣12<0,没有实数根;
C.kx2﹣4kx+1=0中△=(﹣4k)2﹣4k=16k2﹣4k,不一定有实数根;
x2﹣x﹣k2=0中,△=(﹣1)2﹣4×
×
(﹣k2)=1+2k2>0,一定有实数根;
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=42﹣4k×
2≥0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
根据题意知,△=(﹣4)2﹣4×
k×
2≥0,
k≤2,
∵方程kx2﹣4x+2=0是一元二次方程,
∴k≠0,
∴k的取值范围是k≤2且k≠0,
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个相等的实数根;
当△<0时,方程无实数根.
若min{(x﹣1)2,x2}=1,则x= ﹣1或2 .
【分析】分若x2>(x﹣1)2,若(x﹣1)2>x2讨论,列出方程,并检验,可得x的值
若x2>(x﹣1)2
则min{(x﹣1)2,x2}=(x﹣1)2=1
∴x1=2,x2=0(不合题意舍去)
若(x﹣1)2>x2
则min{(x﹣1)2,x2}=x2=1
∴x1=1(不合题意舍去),x2=﹣1
故答案为﹣1或2
【点评】本题考查解一元二次方程,分类思想,关键是利用分类思想讨论解决问题.
14.方程3x2=12的解是 x1=﹣2,x2=2 .
【分析】先把二次项系数化为1,再运用直接开平方法求解.
3x2=12,
系数化为1,得x2=4,
解得x1=﹣2,x2=2.
故答案为:
x1=﹣2,x2=2.
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);
ax2=b(a,b同号且a≠0);
(x+a)2=b(b≥0);
a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
15.一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2,则a的值是 4 .
【分析】根据一元二次方程解的定义,把x=2代入方程x2﹣a=0得4﹣a=0,然后解一次方程即可.
把x=2代入方程x2﹣a=0得4﹣a=0,
解得a=4.
故答案为4.
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.也考查了一元二次方程解的定义.
16.方程(x﹣5)2=5的解为 x1=5+
、x2=5﹣
.
【分析】直接开平方法求解可得.
两边开平方可得x﹣5=±
∴x=5±
则x1=5+
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
17.一个三角形的两边长分别为3和5,其第三边是方程x2﹣13x+40=0的根,则此三角形的周长为 13 .
【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边,再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案.
解方程x2﹣13x+40=0可得x=5或x=8,
当第三边为5时,则三角形的三边长为3、5、5,满足三角形三边关系,其周长为13;
当第三边为8时,则三角形的三边长为3、5、8,不满足三角形三边关系,舍去.
则此三角形的周长为13.
13.
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系,求得方程的两根是解题的关键,注意分类讨论.
18.方程(x+3)2=5(x+3)的解为 x1=﹣3,x2=2
【分析】分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
(x+3)2=5(x+3),
(x+3)2﹣5(x+3)=0,
(x+3)(x+3﹣5)=0,
x+3=0,x+3﹣5=0,
x1=﹣3,x2=2,
x1=﹣3,x2=2.
【点评】本题考查了解一元二次方程,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键,注意:
直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法等.
19.方程(x﹣5)(x+6)=x+6的根是 x1=﹣6,x2=6 .
【分析】移项后分解因式,即可把一元二次方程转化成一元一次方程,求出方程的解即可.
(x﹣5)(x+6)=x+6,
(x﹣5)(x+6)﹣(x+6)=0,
(x+6)(x﹣5﹣1)=0,
x+6=0,x﹣5﹣1=0,
x1=﹣6,x2=6,
x1=﹣6,x2=6.
20.方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,则方程(2x﹣3)2+2(2x﹣3)﹣3=0的解是 x1=2,x2=0 .
【分析】把(2x+3)看成一个整体,另一个方程和已知方程的结构形式完全相同,所以2x+3与已知方程的解也相同.
∵1,﹣3是已知方程x2+2x﹣3=0的解,
由于另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0与已知方程的形式完全相同
∴2x+3=1或2x+3=﹣3
解得x1=﹣1,x2=﹣3.
x1=﹣1,x2=﹣3.
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义,解决本题即可用换元法,也可直接转化.
21.已知(x2+y2)2﹣(x2+y2)﹣12=0,则x2+y2= 4 .
【分析】设y=x2+y2,则原方程转化为关于y的一元二次方程y2﹣y﹣12=0,利用因式分解法解该方程得到y的值即可.
设y=x2+y2,则
y2﹣y﹣12=0,
整理得:
(y﹣4)(y+3)=0,
解得y1=4,y2=﹣3.
所以x2+y2=4或x2+y2=﹣3(舍去),
【点评】本题考查了因式分解法和换元法解一元二次方程.换元法是借助引进辅助元素,将问题进行转化的一种解题方法.这种方法在解题过程中,把某个式子看作一个整体,用一个字母去代表它,实行等量替换.这样做,常能使问题化繁为简,化难为易,形象直观.
22.若实数a,b满足(2a+2b)(2a+2b﹣2)﹣8=0,则a+b= ﹣1或2 .
【分析】设a+b=x,则原方程转化为关于x的一元二次方程,通过解该一元二次方程来求x即(a+b)的值.
设a+b=x,则由原方程,得
2x(2x﹣2)﹣8=0,
整理,得4x2﹣4x﹣8=0,即x2﹣x﹣2=0,
分解得:
(x+1)(x﹣2)=0,
x1=﹣1,x2=2.
则a+b的值是﹣1或2.
故答案是:
﹣1或2.
【点评】本题主要考查了换元法,即把某个式子看作一个整体,用一个字母去代替它,实行等量替换.
23.设x,y是一个直角三角形两条直角边的长,且(x2+y2)(x2+y2﹣1)=20,则这个直角三角形的斜边长为
【分析】利用换元法解方程(x2+y2)(x2+y2﹣1)=20,即可得到x2+y2=5,进而得出这个直角三角形的斜边长为
设x2+y2=t,则原方程可化为:
t(t﹣1)=20,
∴t2﹣t﹣20=0,
即(t+4)(t﹣5)=0,
∴t1=5,t2=﹣4(舍去),
∴x2+y2=5,
∴这个直角三角形的斜边长为
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键.
24.若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k>﹣
且k≠0 .
【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得出△=[2(k+1)]2﹣4k(k﹣1)>0且k≠0,求出k的取值即可.
∵x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴△=[2(k+1)]2﹣4k(k﹣1)>0且k≠0,
k>﹣
且k≠0,
且k≠0.
【点评】本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义,能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键.
(1)小明解答过程是从第 一 步开始出错的,其错误原因是 不符合等式的性质1 ;
【分析】
(1)先把常数项移到方程右边,再把方程两边加上9,然后把方程左边写成完全平方的形式即可;
(2)先把方程两边加上1,再把方程两边加上1,利用完全平方公式得到(x﹣1)2=2,然后利用直接开平方法解方程.
(1)小明解答过程是从第一步开始出错的,因为把方程两边都加上1时,方程右边为1.
故答案为一;
不符合等式性质1;
(1)x2﹣2x=1,
x2﹣2x+1=2,
(x﹣1)2=2,
x﹣1=±
所以x1=1+
,x2=1﹣
(1)利用公式法求解即可;
(2)利用直接开方法解即可;
(1)将原方程化为一般式,得x2﹣3x﹣1=0,
∵b2﹣4ac=13>0
∴
.
(2)(y+2)2=12,
或
【点评】本题考查一元二次方程的解法,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的方法,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
【分析】首先把方程移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.
x2+4x﹣7=0,
移项得,x2+4x
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