八上数学 专题一 三角形基础内含答案详解文档格式.docx
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①∠A+∠B=∠C,②∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,③∠A=90°
﹣∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有 (填序号)
20.在Rt△ABC中,锐角∠A=35°
,则另一个锐角∠B= .
21.若直角三角形的两个锐角之差为34°
,则此三角形较小锐角的度数为 .
22.一个多边形的内角和是720°
,则它是 边形.
23.一个多边形的每一个外角为30°
,那么这个多边形的边数为 .
24.一个正多边形的内角是外角的2倍,则这个正多边形是 边形.
二.解答题(共4小题)
25.如图,BG∥EF,△ABC的顶点C在EF上,AD=BD,∠A=23°
,∠BCE=44°
,求∠ACB的度数.
26.如图,A,B分别为CD,CE的中点,AE⊥CD于点A,BD⊥CE于点B.求∠AEC的度数.
27.如图,在△ABC中,∠C=90°
,外角∠EAB,∠ABF的平分线AD、BD相交于点D,求∠D的度数.
28.如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
参考答案与试题解析
1.已知△ABC的两条边长分别为2和5,则第三边c的取值范围是 3<c<7 .
【分析】根据三角形三边关系定理可得5﹣2<c<5+2,进而求解即可.
【解答】解:
由题意,得
5﹣2<c<5+2,
即3<c<7.
故答案为:
3<c<7.
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握三角形三边关系定理:
三角形两边之和大于第三边.
2.若三角形的三边长分别为3,4,x﹣1,则x的取值范围是 2<x<8 .
【分析】根据三角形三边关系:
“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”即可求x的取值范围.
由三角形三边关系定理得:
4﹣3<x﹣1<4+3,
解得:
2<x<8,
即x的取值范围是2<x<8.
2<x<8.
【点评】此类求范围的问题,实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式,然后解不等式即可.
3.已知△ABC的三边长a、b、c,化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是 2(b﹣c) .
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号,再把要求的式子进行化简,即可得出答案.
∵△ABC的三边长分别是a、b、c,
∴a+b>c,b﹣a<c,
∴a+b﹣c>0,b﹣a﹣c<0,
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c﹣(﹣b+a+c)=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2(b﹣c);
2(b﹣c)
【点评】此题考查了三角形三边关系,用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减,关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与,b﹣a﹣c的符号.
4.如图,BD是△ABC的中线,AB=8,BC=6,△ABD和△BCD的周长的差是 2 .
【分析】根据三角形中线的定义可得AD=CD,然后求出△ABD和△BCD的周长差=AB﹣BC,代入数据进行计算即可得解.
∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD,
∴△ABD和△BCD的周长差=(AB+AD+BD)﹣(BC+CD+BD),
=AB+AD+BD﹣BC﹣CD﹣BD,
=AB﹣BC,
∵AB=8,BC=6,
∴△ABD和△BCD的周长差=8﹣6=2.
答:
△ABD和△BCD的周长差为2.
2
【点评】本题考查了三角形的中线的定义,是基础题,数据概念并求出△ABD和△BCD的周长差=AB﹣BC是解题的关键.
5.三角形两边长分别是2,4,第三边长为偶数,第三边长为 4 .
【分析】利用三角形三边关系定理,先确定第三边的范围,进而就可以求出第三边的长.
设第三边为a,根据三角形的三边关系知,4﹣2<a<4+2.
即2<a<6,
由周长为偶数,
则a为4.
4.
【点评】此题主要考查了三角形三边关系,要注意三角形形成的条件:
任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
,则∠DAE的度数是 5°
.
【分析】根据角平分线的定义求出∠CAE,再根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD,然后根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD计算即可得解.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠CAE=
∠BAC=
×
130°
=65°
,
∵AD⊥BC于点D,
∴∠CAD=90°
﹣30°
=60°
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=65°
﹣60°
=5°
.
5°
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线,熟记概念是解题的关键.
7.△ABC中,下列说法正确的有 ①③ (填序号)
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等,三角形的高的交点的位置对各小题分析判断即可得解.
①三条角平分线的交点到三边的距离相等,正确;
②三条中线的交点到三边的距离相等,错误;
③三条中垂线的交点到三顶点的距离相等,正确;
④三边的高的交点一定在三角形的内部,错误,只有锐角三角形的高的交点在三角形的内部;
综上所述,说法正确的是①③.
①③.
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高,是基础题,熟记概念与与性质是解题的关键.
8.若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 直角三角形 .
【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断,就可以得到.
因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点,所以可以得出这个三角形是直角三角形.
直角三角形.
【点评】本题主要考查三角形的高的概念,属于基础题型.注意:
锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;
直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;
钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.
9.已知如图△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=6cm,AC=8cm,则△ABD与△ACD的周长之差为 2cm ,面积之差为 0cm2 .
【分析】利用中线的定义可知BD=CD,可知△ABD和△ACD的周长之差即为AB和AC的差,可求得答案.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵△ABD周长=AB+AD+BD,△ACD周长=AC+CD+AD,
∵△ACD周长﹣△ABD周长=(AC+CD+AD)﹣(AB+BD+AD)=AC﹣AB=8﹣6=2,
即△BCD和△ACD的周长之差是2cm;
∵AD为中线,
∴△ABD面积=△ACD面积,
∴△ABD与△ACD的面积之差为0cm2,
2cm;
0cm2
【点评】本题主要考查三角形中线的性质,由条件得出两三角形的周长之差即为AB和AC的差是解题的关键.
10.如图.小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看,这样做的原因是三角形的具有 稳定性 .
【分析】此题根据题目的意思,钉了一个加固板,即分割成了三角形,故利用了三角形的稳定性.
这样做的原因是:
利用三角形的稳定性使门板不变形,
稳定性
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.
,则∠B的度数是 60°
【分析】先根据CD平分∠ACE,∠DCA=65°
,可得∠ACE=2∠DCA=130°
,再根据三角形外角性质,即可得出∠B的度数.
∵CD平分∠ACE,∠DCA=65°
∴∠ACE=2∠DCA=130°
又∵∠A=70°
∴∠B=130°
﹣70°
60°
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,以及三角形的外角的性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
12.如果将一副三角板按如图方式叠放,那么∠1= 105°
【分析】由三角形的内角和为180°
即可得出∠2+∠3+45°
=180°
结合∠2=30°
即可求出∠3的度数,再由∠1和∠3为对顶角即可得出∠1的度数.
给图中角标上序号,如图所示.
∵∠2+∠3+45°
,∠2=30°
∴∠3=180°
﹣45°
=105°
∴∠1=∠3=105°
105°
【点评】本题考查了三角形内角和定理,解题的关键是利用三角形的内角和为180°
求出∠3的度数.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据三角形的内角和以及另外两角的度数求出第三个角的度数是关键.
,沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2= 270°
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A与∠B的度数的和,然后利用四边形的内角和定理即可求解.
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+∠B=180°
﹣∠C=90°
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°
∴∠1+∠2=360°
﹣90°
=270°
故答案是:
270°
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理,正确理解定理是关键.
2.则最大内角的度数是 90°
【分析】三角形的内角和为180°
,进一步直接利用按比例分配求得份数最大的角即可.
最大内角的度数为:
180°
=90°
90°
【点评】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题.解题时注意:
三角形内角和是180°
15.如图,是一个不规则的五角星,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°
.(用度数表示)
【分析】根据三角形外角性质,可得∠1=∠C+∠2,∠2=∠A+∠D,那么有∠1=∠C+∠A+∠D,再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°
,从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
如右图所示,
∵∠1=∠C+∠2,∠2=∠A+∠D,
∴∠1=∠C+∠A+∠D,
又∵∠1+∠B+∠E=180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质.三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.
,则∠BOC= 130°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数,再由角平分线的性质得出∠OBC+∠OCB的度数,由三角形内角和定理即可得出结论.
∵在△ABC中,∠A=80°
∴∠ABC+∠ACB=180°
﹣80°
=100°
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点,
∴∠OBC+∠OCB=
(∠ABC+∠ACB)=
100°
=50°
∴∠BOC=180°
﹣(∠OBC+∠OCB)=180°
﹣50°
=130°
【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的内角和等于180°
是解答此题的关键.
∠B,则∠A= 60 度.
【分析】设∠C=α,则∠B=3α,∠A=2α,依据∠A+∠B+∠C=180°
,可得2α+3α+α=180°
,进而得出α=30°
,由此可得∠A=2×
30°
设∠C=α,则∠B=3α,∠A=2α,
∴2α+3α+α=180°
∴α=30°
∴∠A=2×
60.
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用,解决问题的关键是掌握:
18.将一副三角尺按如图所示的方式叠放(两条直角边重合),则∠α的度数是 75°
【分析】先根据∠DAC+∠ACB=180°
,判定AD∥BC,进而得出∠B=∠DAE=30°
,再根据∠DEB=∠D+∠DAE进行计算即可.
∵∠DAC+∠ACB=180°
∴AD∥BC,
∴∠B=∠DAE=30°
∴∠DEB=∠D+∠DAE=45°
+30°
=75°
即∠α的度数是75°
75°
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用,解题时注意:
两直线平行,内错角相等.
﹣∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ (填序号)
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断.
①∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°
,∴2∠C=180°
,∠C=90°
,则该三角形是直角三角形;
②∠A:
3,∠A+∠B+∠C=180°
,∴∠C=90°
③∠A=90°
﹣∠B,则∠A+∠B=90°
.则该三角形是直角三角形;
④∠A=∠B=∠C,则该三角形是等边三角形.
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③.
【点评】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数,根据直角三角形的定义进行判定.
,则另一个锐角∠B= 55°
【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余即可得出答案.
∵在Rt△ABC中,锐角∠A=35°
∴另一个锐角∠B=90°
﹣35°
=55°
55°
【点评】本题考查了直角三角形的性质,属于基础题,主要掌握直角三角形中两个锐角互余.
,则此三角形较小锐角的度数为 28°
【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°
,再根据两个锐角之差为34°
,设其中一个角为x,则另一个为90°
﹣x,即可求出最小的锐角度数.
∵两个锐角和是90°
∴设一个锐角为x,则另一个锐角为90°
﹣x,
∵一个直角三角形两个锐角的差为34°
得:
﹣x﹣x=34°
x=28°
∴较小的锐角的度数是28°
28°
【点评】本题考查了直角三角形的性质,两锐角和为90°
,关键是根据两锐角的关系设出未知数,列出方程.
,则它是 六 边形.
【分析】n边形的内角和是(n﹣2)•180°
,如果已知多边形的内角和,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数.
设此多边形边数为n,由题意可得:
(n﹣2)•180=720,
n=6.
六.
【点评】此题主要考查了多边形的内角,已知多边形的内角和求边数,可以转化为方程的问题来解决.
,那么这个多边形的边数为 12 .
【分析】一个正多边形的每个内角都相等,根据内角与外角互为邻补角,因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是360°
,利用360°
除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数.
多边形的边数:
360°
÷
=12,
则这个多边形的边数为12.
12.
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数,是常见的题目,需要熟练掌握.
24.一个正多边形的内角是外角的2倍,则这个正多边形是 6 边形.
【分析】设这个正多边的外角为x°
,则内角为2x°
,根据内角和外角互补可得x+2x=180,解可得x的值,再利用外角和360°
外角度数可得边数.
设这个正多边的外角为x°
,由题意得:
x+2x=180,
x=60,
=6.
故答案为6.
【点评】此题主要考查了多边形的内角和外角,关键是计算出外角的度数,进而得到边数.
【分析】根据等角对等边得出∠ABD=∠A,再利用平行线的性质得出∠DBC=∠BCE,进而利用三角形的内角和解答即可.
∵AD=BD,∠A=23°
∴∠ABD=∠A=23°
∵BG∥EF,∠BCE=44°
∴∠DBC=∠BCE=44°
∴∠ABC=44°
+23°
=67°
∴∠ACB=180°
﹣67°
﹣23°
【点评】此题考查三角形的内角和问题,关键是根据等角对等边得出∠ABD=∠A.
【分析】根据题意得出△CDE为等边三角形,进而得出∠AEC的度数.
连接DE
∵A,B分别为CD,CE的中点,
AE⊥CD于点A,BD⊥CE于点B,
∴CD=CE=DE,
∴△CDE为等边三角形.
∴∠C=60°
∴∠AEC=90°
﹣∠C=30°
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定,正确得出△CDE为等边三角形是解题关键.
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠EAB和∠ABF,再根据角平分线的定义表示出∠DAB+∠DBA,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
根据三角形的外角性质,∠EAB=∠ABC+∠C,∠ABF=∠BAC+∠C,
∵AD、BD分别是∠EAB,∠ABF的平分线,
∴∠DAB+∠DBA=
(∠ABC+∠C+∠BAC+∠C)=
(∠ABC+∠BAC)+∠C,
∵∠C=90°
∴∠ABC+∠BAC=180°
+90°
=135°
在△ABD中,∠D=180°
﹣135°
=45°
【点评】本题考查了三角形外角的性质,三角形的内角和定理等知识,解题的关键是学会利用整体思想解决问题,属于中考常考题型.
【分析】连接AD,由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F=∠FAD+∠EDA,由四边形内角和是360°
,即可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
如图,连接AD.
∵∠1=∠E+∠F,∠1=∠FAD+∠EDA,
∴∠E+∠F=∠FAD+∠EDA,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
=∠BAD+∠ADC+∠B+∠C.
又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°
【点评】本题考查的是三角形内角与外角的关系,涉及到四边形及三角形内角和定理,比较简单.
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