112学案Word格式.docx
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1.振幅就是振子的最大位移.(×
)
2.从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期.(×
3.振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍.(√)
简谐运动的表达式
1.表达式:
简谐运动的表达式可以写成
x=Asin
或x=Asin(2πft+φ)
2.表达式中各量的意义:
(1)“A”表示简谐运动的“振幅”.
(2)“T”表示简谐运动的周期,“f”表示简谐运动的频率,它们之间的关系为T=
.
(3)“
t+φ”或“2πft+φ”表示简谐运动的相位.
(4)“φ”表示简谐运动的初相位,简称初相.
有两个简谐运动:
x1=3asin
和x2=9asin
,它们的振幅之比是多少?
频率各是多少?
【提示】 它们的振幅分别为3a和9a,比值为1∶3;
频率分别为2b和4b.
1.简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关.(×
2.一个物体运动时其相位变化2π,就意味着完成一次全振动.(√)
3.简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)中,ωt+φ的单位是弧度.(√)
学生分组探究一 简谐运动各物理量之间的关系
第1步探究——分层设问,破解疑难
1.做简谐运动的物体连续两次通过同一位置的过程,是否就是一次全振动?
【提示】 不一定.只有连续两次以相同的速度通过同一位置的过程,才是一次全振动.
2.如果改变弹簧振子的振幅,其振动的周期是否会改变呢?
弹簧振子的周期与什么因素有关呢?
我们可以提出哪些猜想?
怎样设计一个实验来验证这个猜想?
【提示】 猜想:
影响弹簧振子周期的因素可能有:
振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等.我们可以设计这样一个实验:
弹簧一端固定,弹簧的另一端连着有孔小球,使小球在光滑的水平杆上滑动.通过改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数,测量不同情况下振子的周期,注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变.
第2步结论——自我总结,素能培养
1.振幅与位移、路程、周期的关系.
(1)振幅与位移:
振动中的位移是矢量,振幅是标量.在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化.
(2)振幅与路程:
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.其中常用的定量关系是:
一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅.
(3)振幅与周期:
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关.
2.对全振动的理解:
(1)全振动的定义:
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫作一次全振动.
(2)正确理解全振动的概念,还应注意把握全振动的四个特征.
①物理量特征:
位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.
②时间特征:
历时一个周期.
③路程特征:
振幅的4倍.
④相位特征:
增加2π.
第3步例证——典例印证,思维深化
图1121
如图1121所示,弹簧振子在B、C间振动,O为平衡位置,BO=OC=5cm,若振子从B到C的运动时间是1s,则下列说法正确的是( )
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1s,振幅是10cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20cm
D.从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm
【思路点拨】
(1)振子从B经O到C的时间为
T.
(2)振子的振幅是5cm,完成一次全振动的路程为振幅的4倍.
【解析】 振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×
1s=2s,振幅A=BO=5cm.弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A=20cm,所以两次全振动中通过路程为40cm,3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30cm.故D正确,A、B、C错误.
【答案】 D
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅.
(1)若从特殊位置开始计时,如平衡位置、最大位移处,
周期内的路程等于振幅.
(2)若从一般位置开始计时,
周期内的路程与振幅之间没有确定关系,路程可能大于、等于或小于振幅.
第4步巧练——精选习题,落实强化
1.有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A.1∶1 1∶1 B.1∶1 1∶2
C.1∶4 1∶4D.1∶2 1∶2
【解析】 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2.而对同一振动系统,其周期由振动系统自身的性质决定,与振幅无关,故周期之比为1∶1.
【答案】 B
2.一个物体做简谐运动时,周期是T,振幅是A,那么物体( )
A.在任意
内通过的路程一定等于A
B.在任意
内通过的路程一定等于2A
C.在任意
内通过的路程一定等于3A
D.在任意T内通过的路程一定等于2A
【解析】 物体做简谐运动,是变加速直线运动,在任意
内通过的路程不一定等于A,故A错误;
物体做简谐运动,在任意
内通过的路程一定等于2A,故B正确;
内通过的路程不一定等于3A,故C错误;
物体做简谐运动,在一个周期内完成一次全振动,位移为零,路程为4A,故D错误.
【答案】 B学生分组探究二 简谐运动表达式的理解和应用
1.简谐运动的相位差Δφ=φ2-φ1的含义是什么?
【提示】 两个简谐运动有相位差,说明其步调不相同,例如甲和乙两个简谐运动的相位差为
π,意味着乙总比甲滞后
个周期或
次全振动.
2.物体A和物体B做简谐运动的振动位移分别为xA=2sin
m,xB=4sin
m,A、B的相位差是多少?
【提示】 Δφ=φA0-φB0=
为定值,故A的相位始终超前B的相位
.
1.简谐运动的表达式:
x=Asin(ωt+φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;
t表示振动的时间;
A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离,即振幅.
2.各量的物理含义
(1)圆频率:
表达式中的ω称作简谐运动的圆频率,它表示简谐运动物体振动的快慢.与周期T及频率f的关系:
ω=
=2πf.
(2)φ表示t=0时,简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相.ωt+φ代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态,所以代表简谐运动的相位.
3.从运动方程中得到的物理量
振幅、周期、圆频率和初相位,因此可应用运动方程和ω=
=2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差.
一个物体沿x轴做简谐运动,振幅为8cm,频率为0.5Hz,在t=0时,位移是4cm,且向x轴负方向运动,试写出应用正弦函数表示的振动方程.
【思路点拨】 振动方程的形式为x=Asin(ωt+φ),将题中给的一组数据代入即可确定振动方程.
【解析】 根据题给出的条件,A=0.08m,ω=2πf=π,代入振动方程:
x=0.08sin(πt+φ)m,由于t=0时,x=4cm,所以sinφ=
根据三角函数可得初相位为:
φ=
或φ=
,再根据此时速度方向沿x轴负方向可以判断出初相位应为后者,故所求方程为x=0.08sin
m.
【答案】 x=0.08sin
m
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)解答简谐运动问题时,首先要明确表达式中各物理量的意义,找到各物理量对应的数值,根据ω=
=2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系,有时还需要通过画出其振动图象来解决有关问题.
1.(浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动.可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20cm,周期为3.0s.当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过10cm时,游客能舒服地登船.在一个周期内,游客能舒服登船的时间是( )
A.0.5s B.0.75s
C.1.0sD.1.5s
【解析】 由于振幅A为20cm,振动方程为y=Asinωt(平衡位置计时,ω=
),由于高度差不超过10cm,游客能舒服地登船,代入数据可知,在一个振动周期内,临界时刻为t1=
,t2=
,所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt=t2-t1=
=1.0s,答案选C.
【答案】 C
2.(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA=3sin
m,物体B做简谐运动的振动位移xB=5sin
m.比较A,B的运动( )
A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10m
B.周期是标量,A,B周期相等,为100s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A的相位始终超前B的相位
【解析】 振幅是矢量,A,B的振幅分别是3m,5m,A错;
A,B的周期T=
=
s=6.28×
10-2s,B错;
因为TA=TB,故fA=fB,C对;
Δφ=ΔAO-φBO=
为定值,D对.故选CD.
【答案】 CD
简谐运动图象和表达式的对比应用
简谐运动两种描述方法的比较:
(1)简谐运动图象即xt图象是直观表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律.
(2)x=Asin(ωt+φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况.
(3)两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的.我们能够做到两个方面:
一是根据振动方程作出振动图象;
二是根据振动图象读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式.
有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20cm,振子在2s内完成了10次全振动.若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过
周期振子有负向最大位移.
(1)求振子的振幅和周期;
(2)画出该振子的位移—时间图象;
(3)写出振子的振动方程.
【思路点拨】
(1)确定了零时刻的位置、周期、振幅等就可以画出振动图象.
(2)书写振动方程需要确定振幅、圆频率和初相位.
【解析】
(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动,故振幅A=10cm,振子在2s内完成了10次全振动,振子的周期T=
=0.2s.
(2)振子从平衡位置开始计时,故t=0时刻,位移是0,经
周期振子的位移为负向最大,故如图所示.
(3)由函数图象可知振子的位移与时间函数关系式为x=10sin(10πt+π)cm.
【答案】
(1)10cm 0.2s
(2)见解析
(3)x=10sin(10πt+π)cm
——[先看名师指津]——————————————
(1)明确表达式中各物理量的意义,可直接读出振幅、圆频率、初相.
(2)ω=
=2πf是解题时常涉及的表达式.
(3)解题时画出其振动图象,会使解答过程简捷、明了.
——[再演练应用]———————————————
如图1122所示,质点在前6s内通过的路程是多少?
在6~8s的平均速度大小为多少?
方向如何?
图1122
【解析】 质点在前6s内通过的路程s=
×
4×
2cm=6cm.6~8s内平均速度大小v=
=1×
10-2m/s,方向沿x轴正方向.
【答案】 6cm 1×
10-2m/s 方向沿x轴正方向
课时作业
(二) 简谐运动的描述
1.(多选)振动周期指振动物体( )
A.从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B.从一侧最大位移处,运动到另一侧最大位移处所用时间
C.从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间
D.经历了四个振幅的时间
2.关于振幅的各种说法中,正确的是( )
A.振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B.位移是矢量,振幅是标量,位移的大小等于振幅
C.振幅等于振子运动轨迹的长度
D.振幅越大,表示振动越强,周期越长
3.两个简谐运动的表达式分别为x1=4sin4πt(cm)和x2=2sin2πt(cm),它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A.2∶1,2∶1 B.1∶2,1∶2
C.2∶1,1∶2D.1∶2,2∶1
4.有一个弹簧振子,振幅为0.8cm,周期为0.5s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的运动表达式是( )
A.x=8×
10-3sin
B.x=8×
C.x=8×
10-1sin
D.x=8×
5.一个质点以O为中心做简谐运动,位移随时间变化的图象如图1123所示,a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置,下列说法正确的是( )
图1123
A.质点在位置b比位置d时相位超前
B.质点通过位置b时,相对平衡位置的位移为
C.质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等
D.质点从位置a到b和从b到c的平均速度相等
6.如图1124所示,弹簧振子的频率为5Hz,让它从B位置开始振动,并开始计时,则经过0.12s时( )
图1124
A.小球位于BO之间,运动方向向右
B.小球位于BO之间,运动方向向左
C.小球位于CO之间,运动方向向右
D.小球位于CO之间,运动方向向左
7.一个做简谐运动的质点,它的振幅是4cm,频率是2.5Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5s后,位移的大小和经过的路程为( )
A.4cm、10cmB.4cm、100cm
C.0、24cmD.0、100cm
8.一个简谐运动的振动方程为x=5cos
cm,这个振动的振幅是________cm;
频率是________Hz;
在t=0.1s时的相位是________;
在1s的时间内振子通过的路程是________cm.
9.一个做简谐运动的弹簧振子,周期为T,振幅为A,设振子第一次从平衡位置运动到x=
处所经历的时间为t1,第一次从最大位移处运动到x=
所经历的时间为t2,关于t1与t2,以下说法正确的是( )
A.t1=t2 B.t1<t2
C.t1>t2D.无法判断
10.
图1125
一个做简谐运动的质点,先后以同样大小的速度通过相距10cm的A、B两点,且由A到B的过程中速度方向不变,历时0.5s(如图1125).过B点后再经过t=0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点,则质点振动的周期是( )
A.0.5sB.1.0s
C.2.0sD.4.0s
11.一个小球和轻质弹簧组成的系统,按x1=5sin
cm的规律振动.
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相;
(2)另一简谐运动表达式为x2=5sin
cm,求它们的相位差.
12.如图1126为一弹簧振子的振动图象,试求:
图1126
(1)写出该振子简谐运动的表达式;
(2)在第2s末到第3s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的?
(3)该振子在前100s的位移是多少?
路程是多少?
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