高考数学命题热点名师解密专题解三角形的方法理docxWord下载.docx
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【答案】
(1);
(2)
【解析】
(Ⅰ)由正弦定理,求得,再由余弦定理,求得,即可求解的大小;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,得,化简,根据三角函数的图
象与性质,即可求解.
【详解】
(1)因为,
由正弦定理,得,
由余弦定理,
又因为,所以
(Ⅱ)设.
1
在中,由余弦定理得
即
解得.
∴.
∴的面积.
练习1.在△ABC中,角A,BC的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=,2sinC=5sinA.
(1)求B;
(2)求BC边上的中线长.
(1)60°
;
(2).
(1)又2sinC=5sinA,利用正弦定理可得:
2c=5a,又a=2,解得c.利用余弦定理即可得出B;
(2)利用余弦定理求出BC边上的中线即可.
练习2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.
(1)求角C的大小;
(2)若A=,△ABC的面积为,M为BC的中点,求AM.
【答案】
(1)
(2).
(1)利用正弦定理,结合同角三角函数的关系化简已知的等式,得到三边的关系式,再利用余弦定
理表示出的值,可求角的大小;
(2)求得,为等腰三角形,由三角形面积
公式可求出的值,再利用余弦定理可得出的值.
2
(2)由
(1)知,∴
∴△ABC为等腰三角形,即CA=CB
又∵M为CB中点∴CM=BM
设CA=CB=2x则CM=BM=x
∴解得:
x=2
∴CA=4,CM=2
【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知
条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
(三)面积的最值问题
例3.在
中,角A,B,C的对边分别为
且
.
(1)若
,且<
,求
的值.
(2)求
的面积的最大值.
(2)
(1)由余弦定理可得,解得,又由且,联立方程组,即
可求解,
(2)由余弦定理,又由,求得,即可求解面积的最大值.
3
【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式的应用,其中解答中合理利用余弦定理,得到的关系,
再利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
练习1.已知△ABC的内角A,B,C满足.
(1)求角A;
(2)若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.
(1);
(2).
(1)利用正弦定理将角化为边可得,再由余弦定理即可得;
练习1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知(sinA+sinB)(a+b)=c·
(sinC+sinB).
(1)求角A;
(2)若,求△ABC周长的取值范围。
(1)利用正弦定理将题目所给方程转化为边的形式,再利用余弦定理化简,可求得角的余弦值,
并求得角的大小.
(2)先利用余弦定理得到,利用基本不等式求得,由此求得周长
的最大值.再根据三角形两边的和大于第三边,求得周长的范围.
(五)三角形与三角函数综合
4
例5.已知向量,函数.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)在中,角对边分别是,且满足,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简得出,
通过配凑角的方法即可得出的值.
(Ⅱ)由,结合余弦定理即可得出从而,得出B的范围即可求得
的取值范围.
(Ⅱ)由,得
从而得故
(1)
令,,解得;
,;
所以函数的单调递増区间为,.
5
(2),.
,,,即.
由得,
又由余弦定理得,
【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角
函数的关系,然后求解,对于面积公式,一般考查哪个角就使用哪一个公式,
与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化
(六)角的范围问题
例6.在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求的取值范围.
【解析】由已知及正弦定理可解得2cosB,由,可得B,解得cosB的范围,即可解得的取
值范围.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式,余弦函数的图象和性质的应用,熟练掌握正弦定理,余弦函数的图象和性质是解题的关键,属于中档题.
练习1.已知的内角的对边分别为,且2acosC+c=2b.
(1
)若点
在边
上,且
求
的面积;
(2
)若
为锐角三角形,且
【解析】
(1)2acosC+c=2b,由正弦定理化简得A=.再利用正弦定理求出AB=4,利用余弦定理求出AM=5,
最后求三角形的面积.
(2)先利用余弦定理求出a=2,再利用正弦定理得到再求出
6
,再求出函数的值域,得到的取值范围.
(2)由A=知,.
又∵,
所以
由正弦定理,
则
由△ABC为锐角三角形,则
所以b+c=4sin,即b+c的取值范围为.
【点睛】
(1)本题主要考查三角恒等变换,考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角函数的图像和性质,
意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解
答,求复合函数的最值,一般从复合函数的定义域入手,结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
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(2)由
(1)得.
由正弦定理得,
即.
因为、,
所以或,
即或,即或.
所以知等腰三角形或直角三角形.
当时,,所以;
当
时,
,所以
.
练习1.已知向量
,
,且函数
,求
的值;
(2)在
中,
面积的最大值.
(1)根据向量数量积的坐标运算可得
,利用正角函数的二倍角公式即可求解(
2)由
,可得,再根据余弦定理及均值不等式得,即可求出三角形面积的最值.
(2)由题可得,
8
因为,所以,
又,所以.
在中,由余弦定理可得,即.
所以,当且仅当时等号成立,
故面积的最大值为.
练习2.在中,角的对边分别是,且.
(2)已知公差为的等差数列中,,且成等比数列,记,求数列
的前项和.
(1)由正弦定理可得,再根据三角函数恒等变换即可求出
,又为三角形的内角,可得
(2)先求出等差数列,再根据裂项相消法求的前n
项和.
(2)根据题意,因为平分,
所以,故,
变形可得,,则,
所以.
练习1.在中,角所对的边分别是,为其面积,若
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(2)设的平分线交于,.求的值.
(1)由余弦定理可得,代入题中条件即可得解;
(2)在中,由正弦定理得,从而得,可得,再由
代入即可得解.
(1)由得
得
练习2.在中,角所对的边分别是,为其面积,若.
【答案】:
(1)
(2)
(I)由已知及余弦定理可求得cosB=,结合范围B∈(0,π),可求B的值.
(II)由正弦定理可得sin∠BAD,进而根据同角三角函数基本关系式可求cos∠BAD,根据二倍角的正弦函
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数公式即可求解sin∠BAC的值.
(1)因为所,所以,,即,所以.
(2)在
中,由余弦定理,
由正弦定理,
,以为
所以
所以,
所以=
也可以由角分线定理,再用余弦定理解
(十)三角形的判断问题
例10.在中,角的对边分别为,满足.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,试求的面积的最大值,并判断此时的形状.
(I);
(II)等边三角形.
(I)由正弦定理可化条件为,利用三角恒等变换即可求解(II)利用余弦定理及
均值不等式可得,结合面积公式即可求出最值,根据等号成立条件知三角形形状.
练习1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC..
(1)求角A的大小;
(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.
(2)等边三角形.
(1)利用余弦定理表示出cosA,然后根据正弦定理化简已知的等式,整理后代入表示出的
cosA中,
化简后求出cosA的值,由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出
A的度数;
(2)由A为60°
,利用三角形的内角和定理得到
B+C的度数,用B表示出C,代入已知的sinB+sinC=
利用两角和与差的
正弦函数公式及特殊角的三角
函数值化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特
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殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,由B的范围,求出这个角的范围,利用特殊角的三角函数值求出
B为60°
,可得出三角形ABC三个角相等,都为60°
,则三角形ABC为等边三角形.
【点睛】此题考查了三角形形状的判断,正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,等边三角形的判定,
以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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