春季高考数学考点汇编Word下载.docx
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A-B,或f:
x一y.其中A叫做函数f的定义域.函数f在x=a的函数值,记作f(a),函数值的全体构成的集合C(C?
B),叫做函数的值域.
(2)函数的表示方法:
列表法、图像法、解析法。
在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
2.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(1)定义域的求法:
使函数(的解析式)有意义的X的取值范围
主要依据:
分母不能为0,偶次根式的被开方式>
0,
0X
特殊函数th义域:
y=x,x=0y=a,(a.0且a1),xR
y=logax,(a0且a=1),x0
(2)值域的求法:
y的取值范围
1正比例函数:
y=kx和一次函数:
y=kx+b的值域为R2
2二次函数:
y=ax+bx+c的值域求法:
配方法。
如果x的取值范围不是R则还需
画图像
…1…
3反比例函数:
y=—的值域为{y|y#0}
x
4另求值域的方法:
换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
(3)解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
3.函数图像的变换
(1)平移
(2)翻折
沿x轴
y=f(x)上、下对折‘y=-f(x)
保留x轴上方图像
y=f(x)下方翻折到上方y=|f(x)|
4.函数的奇偶性
(1)
定义域关于原点对称
①若奇函数在X=0处有意义,则f(0)=0
②常值函数f(x)=a(a00)为偶函数③f(x)=0既是奇函数又是偶函数
5.函数的单调性
对于Vx1>
x2亡[a,b]且x1<
x2,若*
7(x1)<
f(x2),称f(x)在[a,b]上为增函数
f(xi)>
f(x2),称f(x)在[a,b]上为减函数
增函数:
x值越大,函数值越大;
x值越小,函数值越小。
减函数:
x值越大,函数值反而越小;
x值越小,函数值反而越大。
6.二次函数
(1)二次函数的三种解析式
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a=0)
②顶点式:
f(x)=a(x—k)2+h(a#0),其中(k,h)为顶点
③两根式:
f(x)=a(x—xi)(x—X2)(a00),其中x「X2是f(x)=0的两根
(2)图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
①开口a〉0T开口向上a<
0T开口向下
bb4ac-b、
②对称车由:
x=—-顶点坐标:
(——,)
2a2a4a
「△》0T有两交点
③△与x轴的交点:
{A=0t有1交点④根与系数的关系:
(韦达定理)
工△<
0T无交点
r"
b
x1+x2=__
4a
cx1x2=一
-a
⑤f(x)=axbxc为偶函数的充要条件为b=0
⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0)
a>
0
f(x)0:
三
产0U图像位于x轴上方
©
<
a<
f(x):
二0:
二
」a0二图像位于x轴下方
40
⑦若二次函数对任意x都有f(t—x)=f(t+x),则其对称轴是x=t。
第四章指数函数与对数函数
1.指数哥的性质与运算
(1)根式的性质:
①n为任意正整数,(n/a)n=a②当n为奇数时,n:
an=a;
当n为偶数时,nan=|a|
③零的任何正整数次方根为零;
负数没有偶次方根。
(2)零次哥:
a0=1(a#0)n1*(3)负数指数帚:
a=—(a=0,nwN)am
(4)分数指数哥:
an=n/am(a>
0,m,n=Nn>
1)
(5)实数指数哥的运算法则:
(a>
0,m,nwR)
mnmnm、nmnnn.n
①aa=a②(a)=a③(ab)=ab
2.哥运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;
一般将每个数都化为最小的一个
数的n次方。
「当a>
0时,y=xa在(0,+8)上单调递增
3.募函数y=xairty一~、、
、当a<
0时,y=xa在(0,十8)上单调递减
4.指数与对数的互化:
ab=NulogaN=b(a>
0且a#1)、(N>
0)
5.对数基本性质:
①logaa=1②loga1=0③alogaN=N④logaaN=N
1
5logab与logba互为倒数=logablogba=1=logab=
logba
6logambn=—logabm
6.对数的基本运算:
Mloga(MN)=logaM+logaN10g——=logMTogNN
7.换底公式:
logaN=l0gbN(bA0且b¥
1)logba
8.指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定
义
y=a(a>
0,a。
1的常数)
y=logax(a>
0,a#1的常数)
或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。
10.指数方程和对数方程:
指数式和对数式互化同底法换元法④取对数法
解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
第五章数列
等差数列
等比数列
每,项与前一项之差为同一个常数
隼-项与前一项之比为同一个常数
a2-ai=a3-a2=,-=an—an4=d
a2a3an/-n
==…==q(q=0)
aia2an」
当公差d=0时,数列为常数列
等比数列各项及公比均不能为0;
当公比为1时,数列为常数列
1.已知前n项和Sn的解析式,求通项an
通项
an=
a1+(n-1)d
n」
an=aiq
公式
an-am
H——
/nnn_man
(1)q=—
am
U一n-m
推
(2)
an=am+(n-m)d
n_m
⑵an=amq
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
(3)若m+n=p+q,贝Uaman=apaq
论
中项
三个娄
攵a、b、c成等差数列,则有
三个数a、b、c成等比数列,则有
2b=
a+c
b2=ac
aTC。
b—
前n
Sn=
n(ai+an)上n(n—1)7
=na1+d
22
n
a1(1-q)a1-anq/一、
Sn--(q*1)
1-q1-q
项和
4.特殊三角函数值
0=0°
00
一=300
6
一=450
4
n0
一=600
3
一=900
sina
①
包
双
吏
44
cosa
V3
迎
不
氏
tan«
於
33
不存在
5.三角函数的符号判定
3.任意三角函数的定义:
(1)口诀:
一全二正弦,三切四余弦。
(三角函数中为正的,其余的为负)
(2)图像记忆法
6.三角函数基本公式
sin二一——
=(可用于化简、证明等)
cos■■
sin口+cosa=1(可用于已知sina求cosa;
或者反过来运用)
7.诱导公式:
口诀:
奇变偶不变,符号看象限。
冗
解释:
指k-+a(k=Z),若k为奇数,则函数名要改变,若k为偶数函数名不变。
8.已知三角函数值求角:
(1)确定角a所在的象限;
(2)求出函数值的绝对值对应的锐角a'
;
(3)写出满足条件的
0~2n的角;
(4)加上周期(同终边的角的集合)
9.和角、倍角公式
⑴和角公式:
sin(久士P)=sinacosB±
cos^sin0注意正负号相同
cos(a±
P)=cosacos+sinasin0注意正负号相反
tan(、之二1:
)
tan不:
;
:
tan:
1-tan二tan:
2.222
co2:
-cos:
-sin=二2cos:
-1=1-2sin;
tan2:
2tan:
"
;
2~
1一tan.■
9.三角函数的图像与性质
函数
图像
性质
定义域
值域
同期
奇偶性
单调性
y=sinx
■
A.
xwR
[-1,1]
T=2几
奇
jiji
[2依,2依+-]
33n।
[2/+—,2内+——]J
A,
y=cosx
1k………f\昔、./」DAT/
xwR
偶
[2内-n,2M]
[2内,2内+叼J
9.正弦型函数y=Asin(0x+*)(A>
0,®
>
(1)定义域R,值域[-A,A]
皿2二
(2)周期:
T=——
(3)注意平移的问题:
一要注意函数名称是否相同,二要注意将X的系数提出来,再看是怎样
平移的。
(4)y=asinx+bcosx=da2+b2sin(x+中)
10
(R为AABC的外接圆半径)
.正弦定理
sinAsinBsinC
其他形式:
(1)a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC(注意理解记忆,可只记一个)
(2)a:
b:
c=sinA:
sinB:
sinC
11.余弦定理
222
2.22bc-a
2bc
a=b+c-2bccosA=cosA=(注意理解记忆,可只记一个)
12
.三角形面积公式
abc
13
.海伦公式:
SAbc=、,P(P—a)(P—b)(P—c)(其中P为^ABC的半周长,P=---)
1.向量的概念
既有大小又有方向的量。
(2)向量的表示:
书写时一定要加箭头!
另起点为A,终点为B的向量表示为AB。
(3)向量的模(长度):
|AB|或|a|
(4)零向量:
长度为0,方向任意。
单位向量:
长度为1的向量。
向量相等:
大小相等,方向相同的两个向量。
反(负)向量:
大小相等,方向相反的两个向量。
2.向量的运算
(1)图形法则
三角形法则平形四边形法则
(2)计算法则
加法:
AB+BC=AC减法:
AB—AC=CA
(3)运算律:
加法交换律、结合律注:
乘法(内积)不具有结合律
—I--b■—F-F
3.数乘向量:
九a
(1)模为:
|九||a|
(2)方向:
九为正与a相同;
九为负与a相反。
4.AB的坐标:
终点B的坐标减去起点A的坐标。
AB=(xB-xA,yB-yA)
5.向量共线(平行):
三唯一实数九,使得a=Kb。
(可证平行、三点共线问题等)
6.平面向量分解定理:
如果e,e2是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一
—*■—*■■,..
向量a,都存在唯一的一对实数xi,X2,使得a=Xi&
+X2e2。
7.注意^ABC中,重心(三条中线交点卜外心(外接圆圆心:
三边垂直平分线交点)、内心(内
、垂心(三高线的交点)
切圆圆心:
三角平分线交点)
8.向量的内积(数量积)
(1)向量之间的夹角:
图像上起点在同一位置;
范围[0,冗]。
(2)内积公式:
ab=|a||b|cos<
a,b>
9.向量内积的性质:
(1)cos<
a,ba__(夹角公式)
(2)a,b=a,b=0
|a||b|
(3)aa=|a|2或|a|=Maa(长度公式)
10.向量的直角坐标运算:
(1)aB=(xB—xA,yB—yA)
(2)设a=(x1,y)b=(X2,y2),则a±
b=(x1土X2,y1土y2)Ka=(Kx1,九y1)
—fc--t
ab=x1x2y1y2
11.中点坐标公式:
若AJ,%),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则
x〔x2y〔y2
x=,y=
ff
12.向量平行、垂直的充要条件:
设a=(X,y1),b=(x2,y2),则
一x1y1
alibu(相对应坐标比值相等)
x2y2
—r—«
■—r—■-
a^buab=0ux1x2+y1y2=0(两个向量垂直则它们的内积为0)
11.长度公式
(1)向量长度公式:
设a=(x,y),则|a|={x2十y2
(2)两点间距离公式:
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=...(x2-x1)2(丫2-%)2
12.向量平移
———,,一r‘x'
=x+a〔
(1)平移公式:
点P(x,y)平移向量a=(&
a2)到P'
(x'
y'
),则』记忆法:
ky-y+a2
“新=旧+向量”
(2)图像平移:
y=f(x)的图像平移向量a=(a1,a2)后得到的函数解析式为:
y-a2=f(x_ai)
第八章平面解析几何
1.曲线C上的点与方程F(x,y)=0之间的关系:
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;
(2)以方程F(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上。
则曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程。
2.求曲线方程的方法及步骤:
(1)设动点的坐标为(x,y);
(2)写出动点在曲线上的充要条
件;
(3)用x,y的关系式表示这个条件列出的方程;
(4)化简方程(不需要的全部约掉);
(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。
如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省
略。
3.两曲线的交点:
联立方程组求解即可。
4.直线:
(1)倾斜角a:
一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。
其
范围是[0,二)
(2)斜率:
①倾斜角为900的直线没有斜率;
②k=tana(倾斜角的正切)
③经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率K=y2-y1(x1二x2)
x2-x1
(3)直线的方程
①两点式:
y-y1=x"
x1②斜截式:
y=kx+b
y2-Yix2-Xi
③点斜式:
y—y0=k(x—x0)④一般式:
Ax+By+C=0
1.若直线l方程为3x+4y+5=0,则与l平行的直线可设为3x+4y+C=0;
与l垂直的直线
可设为4X-3Y+C=0
2.求直线的方程最后要化成一般式。
(4)两条直线的位置关系
l1:
y=k1x+b12:
y=k2x+b2
Ax+B1x+C1=0l2:
A2x+B2x+C2=0
ll与12平行
k1=k2且b1手b2
A1二更3cl
A2B2C2
ll与12重合
k1=k2且b1=b2
A一旦_C2A2—B2—C2
l1与l2相交
ki丰k2
A1J1
—^—
A2B2
l11l2
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
系数为0的情况可画图像来判定。
(5)点到直线的距离
…I__.|Ax。
By。
C
①点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:
d一0,0
•-A2B2
5.圆的方程
(1)标准万程:
(x-a)+(y-b)=r(r>
0)其中圆心(a,b),半径r。
半径:
r:
D2E2一4F
一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4Fa0)
「、DE
圆心(—一,—一)
d和半径r比较。
(4)直线和圆的位置关系:
主要用几何法,利用圆心到直线的距离
d<
ru相交;
d=ru相切;
dar仁相离
6.椭圆
几何定义
动点与两定点(焦点)的距离之和等于常数2a
|PFi|+|PF2|=2a
标准方程
2+y2=1(焦点在x轴上)
a2b2
?
+斗=1(焦点在y轴上)ba
iy
■!
!
-i-■
a,b,c的关系
a2=b2+c2注意:
通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心
x轴:
长轴长2a;
y轴:
短轴长2b;
0(0,0)
顶点坐标
(土a,0)(0津b)
焦点坐标
(土c,0)焦距2c注:
要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
cbb2.
e--11-2.<
a\a
7.双曲线
动点与两定点(焦点)的距离之差的绝对值等于常数2a
IIPF1I-IPF2||=2a
2-2=1(焦点在x轴上)
-yr-2=1(焦点在y轴上)
\
i
2-
b
/
-%'
-b
口;
a■CJT-W
%\
c2=a2+b2注意:
实轴长2a;
虚轴长2b;
(土a,0)
(士c,0)焦距2c注:
ce=—=a
a\
1+'
渐近线
y=±
-xa
(焦点在x轴上)
-x(焦点在y轴上)b
等轴双曲线:
(1)实轴长和虚轴长相等=a=b
(2)离心率e=J2(3)渐近线y=±
8.抛物线
几何到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹
定义|MF|=d(d为抛物线上一点M到准线的距离)
焦点
x轴正半轴x轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴
位置
标准
方程
2c/
y=2px(p>
2c/
y=-2px(p>
0)
x=2py(p>
x=-2py(p>
坐标
F(*0)
F(-J。
)
F。
F(0,-1)
准线
P
x=—一
x」2
py=-2
y=1
顶点
O(0,0)
对称
轴
x轴
y轴
离心
率
e=1
(1)p的几何意义表示焦点到准线的距离。
(2)掌握焦点在哪个轴上的判断方法
(3)圆锥曲线中凡涉及到弦长,都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式:
|AB尸三1k2JxiX2)2-4xiX2
(4)圆锥曲线中最重要的是它本身的定义!
做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的
定义的!
第九章立体几何
1.空间的基本要素:
点、线、面
用集合符号表示空间中点(元素)、线(集合)、面(集合)的关系
2.平面的基本性质
(1)三个公理:
①如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
②如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条
直线。
③经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(2)三个推论:
①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
②经过两条相交直线,有且只有一个平面。
③经过两条平行直线,有且只有
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