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(6)「厂_「;
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「:
冷」'
J'
:
二、例题讲解
例1、设集合A={—4,2m-1,m2},B={9,m-5,1—m},又AB={9},求实数m的值.
解:
IAB={9},二2m—1=9或m2=9,解得m=5或m=3或m=—3.
若m=5贝UA={—4,9,25},B={9,0,—4}与AB={9}矛盾;
若m=3则B中元素m—5=1—m=—2,与B中元素互异矛盾;
若m=-3,则A={—4,—7,9},B={9,—8,4}满足AB={9}.二m=-3.
例2、设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+ex+15=0},又AB={3,5},AAB={3},求实数a,b,e的值.
vAAB={3},二3€B,二32+3e+15=0,
•••e=—8,由方程x2—8x+15=0解得x=3或x=5.
•••B={3,5}.由A二(A」B)={3,5}知,3€A,A(否则5€AAB,与
AGB={3}矛盾)
故必有A={3},.••方程x2+ax+b=0有两相同的根3.
由韦达定理得3+3=—a,33=b,即a=—6,b=9,c=—8.
例3、已知A={x|x3+3x2+2x>
0},B={x|x2+ax+b<
0},且AGB={x|0vx<
2},
AUB={x|x>
—2},求a、b的值.
A={x|—2vxv—1或x>
0},
设B=[xi,X2],由AGB=(0,2]知X2=2,
且—1<
xW0,①
由AUB=(—2,+x)知一2wX1w—1.②
由①②知Xi=—1,X2=2,
a=—(X1+X2)=—1,b=X1X2=—2.
例4、已知A={x|x2—ax+a2—19=0},B={x|x2—5x+8=2},C={x|x2+2x—8=0}.若E=AGB,且AGC=],求a的值.
•-B={x|(x—3)(x—2)=0}={3,2},
C={x|(x+4)(x—2)=0}={—4,2},
又•••E=agB,
又•••AGC==,
•可知-4^A,2^A,3€A.
••由9—3a+a—19=0,
解得a=5或a=—2.
1当a=5时,A={2,3},此时AHC={2},矛盾,二a^5;
2当a=—2时,A={—5,3},此时AHC山,AHB={3}工它,符合条件.
综上①②知a=—2.
例5、已知全集U={不大于20的质数},MN是U的两个子集,且满足MA(•门)={3,5},(「r)HN={7,19},(」'
)H(•「)={2,17},求MN.
用图示法表示集合U,MN(如图),将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内,由图可知:
M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.
点评:
本题用填图的方法使问题轻松地解决,但要注意的是在填图时,应从已知区域填起,从已知区域推测未知区域的元素.
特别提示:
下列四个区域:
对应的集合分别是:
①一q:
:
:
②一-r二:
③―_5■'
④一I
一、选择题
1下列命题中,正确的是()
A.若U=R祐u,匸
B.若U为全集,①表示空集,则-①=①;
C.若A={1,①,{2}},则{2}二A;
D.若A={1,2,3},B={x|x二A},则A€B.
3I
M={工|畝迄忑€血¥
_}=(xl也}『
2、设数集'
-…且MN都是集合{x|0<
x
<
1}的子集,如果把b—a叫做集合{x|a<
x<
b}的“长度”,那么集合MnN的“长度”的最小值是()
12
A.-B.」
丄5
C.1-D.一
3、设MN是两个非空集合,定义M与N的差集为M—N={x|x€M且x己N},则M—(M—N)等于()
A.NB.MAN
C.MUND.M4、已知全集:
=R,集合朴11"
弔刀和严砂亠■“L的关系
的韦恩(Venn)图如下图所示,贝U阴影部分所示的集合的元素共有()
A.3个
C.1个
B.2个
D.无穷个
1、-••匚I-①=U,{2}€A,{2}单独看是一个集合,但它又
是A中的一个元素.
3£
2、集合M的“长度”为-,集合N的“长度”为」,而集合
—+——1
{x|0<
1}的“长度”为1,故MAN的“长度”最小值为4」
3、M-N={x|x€“且x^N}是指图
(1)中的阴影部分.
同样M-(M-N)是指图
(2)中的阴影部分.
4、t图形中的阴影部分表示的是集合=;
,由;
解得集
合
‘"
一—二一,而n是正奇数的集合;
-「,故选
B.
二、填空题
5、已知集合A={x|x2—3x+2=0},集合B={x|ax—2=0}(其中a为实数),且AUB=A则集合C={a|a使得AUB=A}=.
5、{0,1,2}
解析:
A={1,2},由AUB=A得匪A.
•••1€A,即得a=2;
或2€A,即得a=1;
或B=©
,此时a=0.
•••C={0,1,2}.
6、非空集合S^{1,2,3,4,5},且若a€S,则6-a€S,这样的S共有
个.
6、6
S={1,5}或{2,4}或⑶,或{1,3,5},或{2,4,3},或{1,5,2,4}.
三、解答题
7、设集合卫={込加7-①,吕―^—另1—^,9}
(1)若■■-丄),求实数a的值.
(2)若.'
'
■,求实数a的值.
7、解:
(1):
9三’1'
二9A.
则a2=9或.
解得a=±
3或5.
当时,'
■'
■'
-'
-(舍)
当a=—3时,卫={9,一兀一4},£
=〔一出4,9〕(符合)
当a=5时,乂={25,9,—={0,—4,9〕(符合).
综上知一?
或“一-.
(2)由
(1)知•,一二
8已知全集U=R,叮•二•….丄v0・,_=“V呗亠」或x>
5—「一
,若-J,求实数⑴的取值范围
8解:
依题设可知全集】=三且打丨■■-0=
0月=缶1一2三工W5),「月=仗冲+1=工w2喘_1},由题设
分类如下:
①若'
,贝Um^1>
2mn1=mV2.
②若加工0,则m^i<
2mn1,且I®
用一1«
5,解得2<
3.
由①②可得:
me3.
•••实数m的取值范围为{m|mc3}.
9、已知全集U={|a-1|,(a-2)(a-1),4,6}.
(1)若-八「•求实数a的值;
(2)若:
4'
求实数a的值.
9、解:
(1)tL•厂一;
且多U,
•••|a-1|=0,且(a-2)(a-1)=1,或|a-1|=1,且(a-2)(a-1)=0;
第一种情况显然不成立,在第二种情况中由|a-1|=1得a=0或a=2,
--a=2.
(2)依题意知|a-1|=3,或(a-2)(a-1)=3,若|a-1|=3,则a=4,或a=-2;
若(a—2)(a—1)=3,贝U-
经检验知a=4时,(4—2)(4—1)=6,与元素的互异性矛盾.
二a=-2或亠.
10、设集合A={:
广「二1},B屮|-,*},若A
B=B求实数二的值.
10、解:
先化简集合A=J'
.由A】B=B则Fa,可知集合B可为
二:
,或为{0},或{-4},或"
(i)若B』:
,则贝:
,解得立<-:
(ii)若--B,代入得--=0=应=1或:
=一-,
当丸=1时,B=A符合题意;
当:
』=-1时,B={0}二A,也符合题意.
(iii)若一4^B,代入得工上L=口=7或“=1,
』=1时,已经讨论,符合题意;
当屯=7时,B={-12,—4},不符合题意.
综上可得,^=1或立€-1.
11、已知集合A={x|x—4m灶2计6=0},B={x|xV0},若AABm,求实数m
的取值范围.
=^|A=(-4jK)3-4(2^4-5)^0}=(/w|或朋
11、解:
设全集'
」
m皂U,
珂4-x-=4^鼻0,
若方程X2—4mx+2m^6=0的两根x’,x?
均非负,贝卩山忑八载以―D
胆沖一
•••{m|-}关于U的补集是{m|m<
—1},二实数m的取值范围是
{m|m<
—1}.
1、(全国I,1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,乙8,9},全集U=AUB,则集合・⑺厂启)中的元素共有()
A.3个B.4个C.5个D.6个
答案:
A
2、(福建,2)已知全集U=R,集合A={x|x2—2x>
0},则干」等于()
A.{x|0<
x<
2}B.{x|0<
2}
C.{x|x<
0或x>
2}D.{x|x<
0或x>
■/x2—2x>
0,二x(x—2)>
0,得x<
2,
•••A={x|x<
2},[4;
.■i•.
3、(山东,1)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若AUB={0,1,2,4,16},则a的值为()
A.0B.1C.2D.4
D
tAUB={0,1,2,a,a2},又AUB={0,1,2,4,16},•{a,a2}={4,16},•a=4,故选D.
集合中的交、并、补等运算,可以借助图形进行思考。
图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了,同时也便于将各元素的归属确定下来,使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具,又是正确解题的手段•
例1、某地对农户抽样调查,结果如下:
电冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为85%,
洗衣机拥有率为44%,至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%,三种电器齐全的
为25%,那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为()
分析:
这是一个小型应用题.把各种人群看做集合,本题就是已知全集元素个数,求其某个子集的元素个数,可借助Venn图解法.
不妨设调查了100户农户,
U={被调查的100户农户},
A={100户中拥有电冰箱的农户},
B={100户中拥有电视机的农户},
C={100户中拥有洗衣机的农户},
由图知,丿U2UC的元素个数为49+85+44—63-25=90.
则。
僅的元素个数为100—90=10.
一般此类题利用Venn图直观手段,使集合中元素的个数,以及集合间的关系更直接的显示,进而根据图逐一把文字陈述的语句“翻译”为数学符号语言,通过解方程和限制条件的运用解决问题。
[变式延伸]某车间有120人,其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人,两车都乘的18人,求:
(1)只乘电车的人数;
(2)不乘电车的人数;
(3)乘车的人数;
(4)不乘车的人数;
(5)只乘一种车的人数.
设只乘电车的人数为龙人,不乘电车的人数为》人,乘车的人数为忑人,不乘车的人数为金人,只乘一种车的人数为芒人,如图所示:
(1)厂=66人,
(2)丁,36人,(3)二=98人,(4)」一--人,(5)•—工人
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