高数第四章圆与方程42422圆与圆的位置关系423直线与圆的方程的应用学案新人教A版必修20502144.docx
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高数第四章圆与方程42422圆与圆的位置关系423直线与圆的方程的应用学案新人教A版必修20502144
4.2.2 圆与圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.
自主预习
1.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法:
若两圆的半径分别为r1、r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<
d d=|r1-r2| d<|r1-r2| (2)代数法: 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 一元二次方程 2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”: 即时自测 1.判断题 (1)两圆无公共点,则两圆外离.(×) (2)两圆有且只有一个公共点,则两圆内切和外切.(√) (3)设两圆的圆心距为l,两圆半径长分别为r1,r2,则当|r1-r2|<l<r1+r2时,两圆相交.(√) (4)两圆外切时,有三条公切线: 两条外公切线,一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点,则两圆外离和内含. 2.圆O1: x2+y2-2x=0和圆O2: x2+y2-4y=0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切 解析 圆O1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1;圆O2的圆心坐标为(0,2),半径长r2=2;1=r2-r1<|O1O2|= 答案 B 3.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4 解析 两圆的圆心坐标和半径分别为(-2,2),(2,-5),1,4,圆心距d=>8,1+4=5<8,∴两圆相离,公切线有4条. 答案 D 4.两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则r的值是________. 解析 由题意可知=2r,∴r=. 答案 类型一 与两圆相切有关的问题 【例1】求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 则=r+1,① =,② =r.③ 联立①②③解得a=4,b=0,r=2,或a=0,b=-4,r=6,即所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有: (1)设两圆的圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2, 则两圆相切 (2)两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P(a,b),则 =1.① (1)若两圆外切,则有=1+2=3,② 联立①②,解得a=5,b=-1,所以,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1; (2)若两圆内切,则有=|2-1|=1,③ 联立①③,解得a=3,b=-1,所以,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 综上所述,所求圆的方程为 (x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1. 类型二 与两圆相交有关的问题(互动探究) 【例2】已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0. (1)判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度. [思路探究] 探究点一 当两圆相交时,其公共弦所在直线的方程是什么? 提示 两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二 如何求公共弦长? 提示 (1)代数法: 将两圆的方程联立,求出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法: 求出公共弦所在的直线方程,半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长,利用勾股定理求弦长. 解 (1)将两圆方程配方化为标准方程, C1: (x-1)2+(y+5)2=50, C2: (x+1)2+(y+1)2=10, 则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5, 圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=. 又∵|C1C2|=2,r1+r2=5+,r1-r2=5-, ∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0. (3)法一 由 (2)知圆C1的圆心(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离 d==3, ∴公共弦长l=2=2=2. 法二 设两圆相交于点A,B,则A,B两点满足方程组 解得或即A(-4,0),B(0,2). 所以|AB|==2, 即公共弦长为2. 规律方法 1.两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.公共弦长的求法 (1)代数法: 将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法: 求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解. 【训练2】已知圆C1: x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2: x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 解 设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组的解, ①-②得: 3x-4y+6=0. ∵A,B两点坐标都满足此方程, ∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r1=3. 又C1到直线AB的距离为d==. ∴|AB|=2=2=. 即两圆的公共弦长为. 类型三 直线与圆的方程的应用 【例3】一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 解 以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图),其中取10km为单位长度, 则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9, 港口所对应的点的坐标为(0,4), 轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0), 则轮船航线所在直线l的方程为+=1, 即4x+7y-28=0. 圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离 d==,而半径r=3,∴d>r, ∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风的影响. 规律方法 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面: 【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5小时B.1小时 C.1.5小时D.2小时 解析 以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,则台风中心在直线y=x上移动,又B(40,0)到y=x的距离为d=20,由|BE|=|BF|=30知|EF|=20,即台风中心从E到F时,B城市处于危险区内,时间为t==1小时.故选B. 答案 B [课堂小结] 1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种,其中几何法较简便易行、便于操作. 2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用,要善于利用其解决一些实际问题,关键是把实际问题转化为数学问题;要有意识用坐标法解决几何问题,用坐标法解决平面几何问题的思维过程: 1.圆x2+y2=1与圆x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标为( ) A.(1,0)和(0,1)B.(1,0)和(0,-1) C.(-1,0)和(0,-1)D.(-1,0)和(0,1) 解析 由解得或 答案 C 2.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B,则线段AB的垂直平分线方程为( ) A.x+y-1=0B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0D.x-y+1=0 解析 直线AB的方程为: 4x-4y+1=0,因此它的垂直平分线斜率为-1,过圆心(1,0),方程为y=-(x-1),即两圆连心线. 答案 A 3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A、B两点,则直线AB的方程是________. 解析 ⇒2x+6y=0,即x+3y=0. 答案 x+3y=0 4.已知圆C1: x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2: x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m的取值满足什么条件时,圆C1与圆C2相切? 解 对于圆C1与圆C2的方程,化为标准方程得C1: (x-m)2+(y+2)2=9,C2: (x+1)2+(y-m)2=4,所以两圆的圆心分别为C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为r1=3,r2=2,且|C1C2|=. 当圆C1与圆C2相外切时,则|C1C2|=r1+r2,即=3+2,解得m=-5或m=2. 当圆C1与圆C2相内切时,则|C1C2|=|r1-r2|, 即=|3-2|,解得m=-1或m=-2. 综上可知,当m=-5或m=2或m=-1或m=-2时,两圆相切. 基础过关 1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离 解析 两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d==.∵3-2 答案 B 2.若圆C1: x2+y2=1与圆C2: x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于( ) A.21B.19C.9D.-11 解析 圆C2的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25-m. 又圆C1: x2+y2=1,∴|C1C2|=5. 又∵两圆外切,∴5=1+,解得m=9. 答案 C 3.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米 解析 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8,h-3.6)半圆所在圆的方程为: x2+(y+3.6)2=3.62把A(0.8,h-3.6)代入得0.82+h2=3.62.∴h=4≈3.5(米). 答案 B 4.两圆x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的公共弦长为________. 解析 由 ②-①得两圆的公共弦所在的直线方程为x-y-3=0, ∴圆x2+y2=5的圆心到该直线的距离为d==, 设公共弦长为l,∴l=2=. 答案 5.已知圆C1: x2+y2=4和圆C2: x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程为________. 解析 圆C2可化为(x+2)2+(y-2)2=4,则圆C1,C2的圆心为C1(0,0),C2(-2,2),所以C1C2的中点为(-1,1),kC1C2==-1,所以所求直线的斜率为1,所以直线l的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0. 答案 x-y+2=0 6.求与圆O: x2+y2=1外切,切点为P,半径为2的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为C(a,b),则所求圆的方
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