三角函数单调性的教案Word格式文档下载.docx
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高2012级1班
授课地点:
四川省荣县玉章高级中学校授课时间:
2010年4月15日
4.8正弦函数、余弦函数的单调性
(一)
教学要求:
1.能正确求出正弦函数、余弦函数的单调区间;
2.会运用单调性,比较三角函数值的大小;
3.培养学生直觉猜想、归纳抽象、演绎证明的能力。
教学重点:
正弦函数、余弦函数的单调性.教学难点:
正弦函数、余弦函数单调性的应用.教学方法:
发现法讲练结合法课型:
新知型教学设计:
一、复习引入:
1、根据正弦函数和余弦函数的图像,回顾正、余弦函数的性质:
定义域、值域、周期性和奇偶性;
2、回忆具有单调性的函数图像在单调区间内的特征。
二、探究新课:
前面三节课我们研究了正、余弦函数的定义域、值域、周期性和奇偶性,本节课我们将研究正、余弦函数的第五个性质—单调性。
(板书:
4.8正弦函数、余弦函数的单调性)1.教学正弦、余弦函数的单调性:
通过观察正弦函数和余弦函数的图像,复习归纳总结,得出下表:
例2:
求下列函数单调递减区间.
2.思考:
函数y=2sin(
【篇三:
《函数单调性》的教学案例】
《函数单调性》教学案例1.【案例背景】
函数的单调性是函数的一条基本性质,从知识结构上看,函数的单调性既是函数概念的延续和拓展,又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。
在这之前,学生已经学过函数的定义,函数的表示,学习过一次函数,二次函数,反比例函数等,函数单调性是学生研究函数整体性质的开始,之后还有奇偶性周期性等,所以本节内容承前启后,不仅要用到以前学过的函数知识,还要由这些知识出发获得函数自身的更深人的认识,并由这些认识解决有关的函数问题,这一节学好了,学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。
2.【教学内容分析】
首先,从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段,第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识;
第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念;
第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习,既是初中学习的延续和深化,又为高三的学习奠定基础.
其次,从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;
学生对于这些概念的认识,都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从图象观察,以函数解析式为依据,经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后,从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础,是解决数学问题的常用工具,也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
3.【学情分析】
高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段,具备了一定的逻辑思维但要想使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。
函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质,如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一.另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明,如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.
因此首先要重视学生的亲身体验:
将新知识与学生的已有知识建立了联系.如:
学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。
运用新知识尝试解决新
问题.其次重视学生发现的过程.充分展现学生将函数图象(形)的特征转化为函数值(数)的特征的思维过程。
充分展现在正、反两个方面探讨活动中,学生认知结构升华、发现的过程.最后重视学生的动手实践过程.通过对定义的解读、巩固,让学生动手去实践运用定义.
4.【教学过程】
一、创设情境,引入课题
课前布置任务:
(1)由于某种原因,2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事.
下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.问题1:
请同学们观察图,指出该天的气温在如何变化?
(学生独立思考)
【设计意图】通过生活实例,让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识,让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关,进而激发学生的兴趣,引发学生进一步学习的好奇心。
生1(主动回答):
0~4时,温度下降,4~14时温度上升,14~24时温度下降。
问题2:
还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
预案:
水位高低、燃油价格、股票价格等.
归纳:
用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.
二.借助图象,直观感知
问题3:
观画出y=x和yx2的函数图象,回答下面两个问题:
⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的,在哪个区间是下降的?
【设计意图】顺应学生的认知规律。
(小组合作探求)
生1:
一次函数y=x其定义域上是
上升的,二次函数y=x2是先下降后上
升。
师:
这样回答准确吗?
生2:
一次函数y=x在区间(-∞,+∞)
上是“上升”的;
二次函数y=x2在区间(-∞,0)上是“下降”的,(0,-∞)上是“上升”的。
⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗?
【设计意图】有感性上升到理性。
(给学生适当的思考时间)
这时学生们思维较为混乱,无从下手。
教师及时通过几何画板展示y=x图象上a点的运动情况,让学生观察x,y值的变化。
师(及时提问):
同学们能用数学语言把y=x图象上升的特征描述出来吗?
生3:
该函数随着x的值增大,y的值相应的增大。
师(面向全体学生):
大家同意生4的回答吗?
生4:
老师,我有补充,应该说:
该函数在区间(-∞,+∞)上随着x的值增大,y的值相应的增大。
生5补充的很好,明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况,那么函数y=x2呢?
生5:
函数y=x2在区间(-∞,0)上随着x的值增大,y的值相应的减小;
在区间(0,+∞)上是随着x的值增大,y的值相应的增大。
在数学上,我们把y随着x的增大而增大,称为增函数;
把y随着x的增大而减小,称为减函数。
三.探究规律,理性认识
问题4:
如何从解析式的角度说明f(x)=x2在[0,+∞)为增函数?
生6:
因为12,f
(1)f
(2),所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数.
生7:
因为12345,f
(1)f
(2)f(3)f(4)f(5)所以f(x)=x2在
[0,+∞)为增函数.
生8:
不对,以上只在两个或有限个特殊值之间进行比较,不能代替所有值。
很好,所有的都拿出来比较,能做到吗?
一一列举行吗?
(意图:
通过这
一问题,让学生联想到用字母符号来表示任意的数值)
生:
拿两个就行了。
原来不都是每次拿两个来进行比较的吗?
为什么不行?
生(终于明白):
任意两个。
找任意两个?
怎样能做到这一点。
用字母表示数字。
更清晰一点说呢?
生:
用x1,x2表示两个变量,用f(x1),f(x2)表示对应的函数值。
好,请大家回想一下上述过程,试用x1,x2、f(x1),f(x2)来刻画增函数的定义。
学生尝试用符号表达单调增函数的定义,师生共同修正:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1x2,因为x1-x2=(x1+x2)(x1-x2)0,即x1x2,所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数.
对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1,x2.
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫.
四.抽象思维,形成概念
问题5:
你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.板书定义:
函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为i.
如果对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时:
若总有f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是增函数;
若总有f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是减函数。
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。
2222
【设计意图】打通抽象与具体之间的联系。
单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性;
对于某个具体函数的单调区间,可
以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数),因此单调性是函数的局部性质。
例1.证明函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数.x
1.分析解决问题针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.证明:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,设元
f(x1)-f(x2)=11-求差x1x2
x2-x1变形x1x2=
∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),
断号
∴函数f(x)=x+2在(2,+∞)上是增函数.定论x
〖设计意图〗函数在定义域内的两个区间a,b上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在ab上是增(或减)函数.
五、巩固概念,适当延展
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- 三角函数 调性 教案