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白噪声在任意两个相邻时刻(不管这两个时刻多么的近)的取值都是不相关的,这意味着白噪声过程随时间的起伏很快,过程的功率谱极宽。
这种形式定义的白噪声只是一种理想化的模型,实际上这种白噪声是不存在的,因为按照定义,白噪声的均方值为无限大,而物理上存在的随机过程,其均方值总是有限的。
在实际工作中,当所研究的随机过程通过某一系统时,只要过程的功率谱密度在一个比系统宽大的多的频率范围内近似均匀分布,就可以把它作为白噪声来处理。
现产生一均值为0,方差为3高斯白噪声,如图1所示:
均值为0方差为3的高斯白噪声
图1白噪声时域波形图
1.2设计线性滤波器
为了产生一个窄带信号,
让白噪声通过一理想带通线性系统。
设理
想带通系统的频幅特性为
A
H(w)0A
ww0
其他
w/2
(3)
若输入白噪声的物理谱
GX(w)N0,则输出的物理谱为
GY(w)H(w)GX(w)
N0A2
(4)
输出相关函数为
RY()
20
N0Aw
sincosw0
GY(w)coswdw
1w0
2w0
w/22
N0A2cosww/2
a()cosw0
dw
式中
a()
N0A2w
24
sin
w
若ww0,即(3)式所示的系统的中心频率远大于系统的带宽,则称这样的系统为窄带系统。
这时,(4)式所表示的随机信号的功率谱分布在高频w0周围一个很窄的频域内。
设计线性滤波器为窄带滤波器,使高斯白噪声通过其变成窄带信号,此线性滤波器可选择带通滤波器,采样频率fs=25000Hz。
分别设置三种不同中心频率和带通宽度,如下:
滤波器1:
中心频率f0=1000Hz,带通:
900~1100Hz。
滤波器1的幅度相位图以及滤波器1输出信号波形如下:
500
-500
-1000
图2滤波器1的幅度相位图
窄带信号在时域的波形
图3滤波器1输出信号的时域波形
窄带信号的频谱
图4滤波器1输出信号的频域波形
滤波器2:
中心频率f0=700Hz,带通:
650~750Hz。
滤波器2的幅
度相位图以及滤波器2输出信号波形如下:
-50
-100
-150
图5滤波器2的幅度相位图
图6滤波器2输出信号的时域波形
图7滤波器2输出信号的频域波形
滤波器3:
中心频率f0=400Hz,带通:
375~425Hz。
滤波器3的幅度相位图以及滤波器3输出信号波形如下:
NormalizedFrequency(rad/sample)
图9滤波器3输出信号的时域波形
dB度幅
图10滤波器3输出信号的频域波形
2窄带随机过程的莱斯(Rice)表示
任何一个实平稳随即过程X(t)都可以表示为
X(t)a(t)cosw0tb(t)sinw0t(5)
式中,w0是固定值,对于窄带随机过程来说,一般取窄带滤波器的中心频率。
a(t)和b(t)是另外两个随机过程。
a(t)X(t)cosw0tX?
(t)sinw0t
(6)
(7)
a(t)和b(t)波形分别如下为:
b(t)X(t)sinw0tX?
(t)cosw0tX?
(t)为X(t)的希尔伯特变换。
对于本文的窄带信号,在经过不同滤波器后
图11滤波器1输出信号a(t)和b(t)波形
0.5
-0.5
-1
图11滤波器2输出信号a(t)和b(t)波形
3窄带随机信号瞬时频率、瞬时相位和包络检测
窄带随机过程可以表示为
X(t)A(t)cos(w0t(t))
(8)
式中w0是窄带随机过程的中心频率或称载波频率。
其中,
221/2
A(t)a2(t)b2(t)1/2
(9)
(t)arctan(b(t)/a(t))
(10)
瞬时相位为:
Q(t)w0t(t)
(11)
瞬时角频率为:
dQ(t)
w(t)2f
dt
d(t)
(12)
由希尔伯特变换得:
X2(t)X?
2(t)a
(t)
(13)
则包络幅值为:
(t)tan1XX?
((tt))
w(t)ddt(t)dt
图14~图22所示。
瞬时频率
图14滤波器1输出信号瞬时频率
瞬时相位
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
0.9
0.8
0.7
窄带信号的包络
图16滤波器1输出信号包络检测
x10
图18滤波器2输出信号瞬时相位
图19滤波器2输出信号包络检测
4
图20滤波器2输出信号瞬时频率
图21滤波器2输出信号相位
图22滤波器3输出信号包络检测本文相关仿真所使用的软件为matlab,以滤波器1为例,仿真程序见附件一。
附件一
滤波器1输出信号仿真程序
clearall
closeall
clc
%产生高斯白噪声
N=25000;
%序列长度
my_var=2;
noise=sqrt(my_var)*randn(1,N);
%均值为0,方差为2
figure
(1)
plot(noise)
title('
均值为0方差为2的高斯白噪声'
)
gridon
fs=25000;
%采样频率
f0=1000;
%中心频率
%滤波器
f_pass=[9001100];
omega_pass=2*f_pass/fs;
b=fir1(192,omega_pass);
figure
(2)
freqz(b,1,1024)%滤波器幅度和相位图像
%噪声通过窄带滤波器
filter_outpu=filter(b,1,noise);
figure(3)
plot(filter_outpu)
窄带信号在时域的波形'
%做fft变换
Nfft=fs;
%窄带信号的频谱
fft_x=fft(filter_outpu,Nfft);
ff=0:
fs/Nfft:
fs-fs/Nfft;
figure(4)plot(ff,20*log10(abs(fft_x)))title('
窄带信号的频谱'
xlabel('
频率Hz'
ylabel('
幅度dB'
%窄带信号在时域的波形
X_t=filter_outpu;
t=0:
1/fs:
1-1/fs;
figure(5)
plot(t,X_t)
t/s'
%莱斯表示法
h_X=hilbert(X_t,Nfft);
%希尔伯特变换
omega0=2*pi*f0;
A_t=X_t.*cos(omega0*t)+h_X.*sin(omega0*t);
B_t=-1*X_t.*sin(omega0*t)+h_X.*cos(omega0*t);
figure(6)
subplot(2,1,1);
plot(t,A_t)
holdonsubplot(2,1,2);
plot(t,B_t)
gridon%瞬时频率瞬时相位
theta_t=atan(h_X./X_t);
xh1=unwrap(angle(h_X));
omega_t=fs*diff(xh1)/(2*pi);
figure(7)plot(omega_t);
瞬时频率'
)omega_t=diff(theta_t);
figure(8)plot(t,theta_t)title('
瞬时相位'
)gridon
%包络检测am=abs(h_X);
figure(9)
plot(t,X_t,t,am,'
r'
)%包络title('
窄带信号的包络'
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