九年级数学下册湘教版版第1章二次函数Word文件下载.docx
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8.如图,正方形ABCD的边长为5,点E是AB上一点,点F是AD延长线上一点,且BE=DF.四边形AEGF是矩形,则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为(D)
A.y=5-x
B.y=5-x2
C.y=25-x
D.y=25-x2
9.若等边三角形的边长为x,则它的面积y与x之间的函数关系式为y=
x2,其中x的取值范围是x>
0.
10.已知圆柱的高为6,底面半径
为r,底面周长为C,圆柱的体积为V.
(1)分别写出C关于r,V关于r,V关于C的函数表达式;
(2)这三个函数中,哪些是二次函数?
(1)∵圆柱的底面半径为r,底面周长为C,
∴C=2πr.
又∵圆柱的高为6,底面半径为r,圆柱的体积为V,∴V=πr2×
6=6πr2.
∵圆柱的高为6,底面周长为C,圆柱的体积为V,
∴V=π×
(
)2×
6=
(2)根据二次函数的定义知,V=6πr2,V=
是二次函数.
02 中档题
11.在半径为4cm的圆中,挖出一个半径为xcm(0<
x<
4)的圆,剩下的圆环的面积是ycm2,则y与x的函数关系为(D)
A.y=πx2-4
B.y=π(2-x)2
C.y=π(x2+4)
D.y=-πx2+16π
12.二次函数y=1-3x+5x2,若其二次项系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则a+b+c=3.
13.某校九
(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,试写出y与x之间的函数关系式:
y=
x2-
x,它是(填“是”或“不是”)二次函数.
14.顺达旅行社为吸引游客到黄山景区旅游,推出如下收费标准:
若某公司准备组织x(x>25)名员工去黄山景区旅游,则公司需支付给顺达旅行社旅游费用y(元),则y与x之间的函数表达式是y=-20x2+1__500x.
15.如图所示,某小区计划在一个长为40m,宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条宽均为xm的通路,使其中两条与AB垂直,另一条与AB平行,剩余部分种草,设剩余部分的面积为ym2,求y关于x的函数表达式,并写出自变量的取值范围.
依题意,得y=(40-2x)(26-x)=2x2-92x+1040.
由
解得x<
20.
又∵x>
0,
∴自变量x的取值范围是0<
∴所求函数表达式为y=2x2-92x+1040(0<x<20).
16.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
由题意知,每件商品的销售利润为(x-30)元,那么每天销售m件的销售利润为y=m(x-30)元.
∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),
即y=-3x2+252x-4860.
∵x-30≥0,∴x≥30.
又∵m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54.∴30≤x≤54.
∴所求函数关系式为y=-3x2+252x-4860(30≤x≤54).
03 综合题
17.如图,在△ABC中,∠B=90°
,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,设运动的时间为xs,四边形APQC的面积为ymm2.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)四边形APQC的面积能否等于172mm2.若能,求出运动的时间;
若不能,说明理由.
(1)由运动可知,AP=2x,BQ=4x,则
BC·
AB-
BQ·
BP
=
×
24×
12-
·
4x·
(12-2x),
即y=4x2-24x+144.
(2)∵0<AP<AB,0<BQ<BC,
∴0<
6.
(3)当y=172时,
4x2-24x+144=172.
解得x1=7,x2=-1(负值,舍去).
又∵0<
6,
∴四边形APQC的面积不能等于172mm2.
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质
知识点1 二次函数y=ax2(a>
0)的图象
1.下列各点在二次函数y=4x2图象上的点是(C)
A.(2,2)B.(4,1
)
C.(1,4)D.(-1,-4)
2.二次函数y=3x2的图象是(B)
AB
CD
3.画二次函数y=2x2的图象.
列表:
x
…
-2
-1
-0.5
0.5
1
2
y=2x2
8
描点、连线:
知识点2 二次函数y=ax2(a>0)的性质
4.二次函数y=x2的图象的开口方向是(A)
A.向上B.向
下
C.向左D.向右
5.对于函数y=
x2,下列结论正确的是(D)
A.当x取任何实数时,y的值总是正数
B.y的值随x的增大而增大
C.y的值随x的增大而减小
D.图象关于y轴对称
6.在同一坐标系中,作出y=x2、y=2x2、y=
x2的图象,它们的共同特点是(D)
A.都是关于x轴对称,抛物线开口向上
B.都是关于原点对称,顶点都是原点
C.都是关于y轴对称,抛物线开口向下
D.都是关于y轴对称,顶点都是原点
7.如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是m>1.
8.二次函数y=
x2的图象开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).
9.画二次函数y=
x2的图象,并回答下列问题:
(1)当x=6时,函数值y是多少?
(2)当y=6时,x的值是多少?
(3)当x取何值时,y有最小值,最小值是多少?
(4)当x>
0时,y随x的增大怎样变化?
当x<
0时呢?
如图:
(1)当x=6时,y=
62=54.
(2)当y=6时,
x2=6,解得x=±
2.
(3)当x=0时,y有最小值,最小值是0.
0时,y随x的增大而增大;
0时,y随x的增大而减小.
10.已知y=mx(m2+1)的图象是经过第一、二象限的抛物线,则m=(A)
A.1B.-1
C.±
1D.2
11.已知点A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)在二次函数y=2x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(D)
A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1
C.y1<y3<y2D.y2<y3<y1
12.如图所示,在同一坐标系中,作出①y=3x2;
②y=
③y=
x2的图象,则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是(B)
A.①②③B.①③②
C.②③①D.②①③
第12题图 第13题图
13.函数y=mx2的图象如图所示,则m>0;
在对称轴左侧,y随x的增大而减小;
在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;
顶点坐标是(0,0),是抛物线的最低点;
函数在x=0时,有最小值,为0.
14.已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m值;
(2)m为何值时,二次函数的图象有最低点?
求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(1)m=2或m=-3.
(2)当m=2时,二次函数的图象有最低点,这个最低点为(0,0),且当x>
0时,y随x的增大而增大.
15.已知正方形的周长为Ccm,面积为Scm2,请写出S与C之间的函数关系式,并画出这个函数的图象.
由题意,得S=
C2(C>0).
C
4
6
S=
C2
描点、连线,图象如图所示.
16.已知点A(2,a)在抛物线y=x2上.
(1)求A点的坐标;
(2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是等腰三角形?
若存在,写出P点坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)∵点A(2,a)在抛物线y=x2上,
∴a=22=4.
∴A点的坐标为(2,4).
(2)分下列3种情况:
①当OA=OP时,点P的坐标:
P1(-2
,0),P2(2
,0);
②当OA=AP,点P的坐标:
(4,0);
③当OP=AP时,如图,过点A作AE⊥x轴于点E.在△AEP′中,AE2+P′E2=AP′2,设AP′=x,则42+(x-2)2=x2.解得x=5.
∴点P的坐标:
(5,0).
综上所述:
使△OAP是等腰三角形的P点坐标为:
(-2
,0),(2
,0),(4,0),(5,0).
第2课时 二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质
知识点1 二次函数y=ax2(a<0)的图象
1.如图所示的图象对应的函数表达式可能是(B)
A.y=
x2
B.y=-
C.y=3x
D.y=-
2.函数y=-2x2,当x>0时图象位于(D)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.画二次函数y=-x2的图象.
-3
3
y=-x2
-9
-4
描点、连线,如图所示:
知识点2 二次函数y=ax2(a<0)的性质
4.抛物线y=-3x2的顶点坐标是(D)
A.(-3,0)B.(-2,0)
C.(-1,0)D.(0,0)
5.二次函数y=-
x2的最大值是(D)
A.x=-
B.x=0
C.y=-
D.y=0
6.若函数y=-4x2的函数值y随x的增大而减少,则自变量x的取值范围是(A)
A.x>0B.x<0
C.x>4D.x<-4
7.抛物线y=-2x2不具有的性质是(D)
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.函数有最小值
8.两条抛物线y=4x2与y=-4x2在同一坐标系中,下列说法中不正确的是(D)
A.顶点坐标相同B.对称轴相同
C.开口方向相反D.都有最小值
9.二次函数y=(2m+1)x2的图象开口向下,则m的取值范围是m<-
.
10.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点
坐标
最值
y=x2
向上
y轴
(0,0)
最小值0
向下
最大值0
y=-
11.下列说法错误的是(C)
A.二次函数y=3x2中,当x>0时,y随x的增大而增大
B.二次函数y=-6x2中,当x=0时,y有最大值0
C.抛物线y=ax2(a≠0)中,a越大图象开口越小,a越小图象开口越大
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
12.(毕节中考)抛物线y=2x2,y=-2x2,y=
x2共有的性质是(B)
A.开口向下
C.都有最低点
D.y随x的增大而减小
13.已知点A(-1,y1),B(-
,y2),C(-2,y3)在函数y=-x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(A)
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2
C.y3>y2>y1D.y2>y1>y3
14.(长沙中考)函数y=
与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)
15.已知抛物线y=ax2经过点(1,-3).
(1)求a的值;
(2)当x=3时,求y的值;
(3)说出此二次函数的三条性质.
(1)∵抛物线y=ax2经过点(1,-3),
∴a×
1=-3.∴a=-3.
(2)把x=3代入抛物线y=-3x2,得
y=-3×
32=-27.
(3)抛物线的开口向下;
坐标原点是抛物线的顶点;
当x>0时,y随着x的增大而减小;
抛物线的图象有最高点,当x=0时,y有最大值,是y=0等.
16.已知抛物线y=kxk2+k中,当x>0时,y随x的增大而减小.
(1)求k的值;
(2)作出函数的图象.
(1)∵抛物线y=kxk2+k中,当x>0时,y随x的增大而减小,
∴
解得k=-2.
∴函数的表达式为y=-2x2.
(2)列表:
y=-2x2
-8
描点、连线,画出函数图象如图所示.
17.已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A,B两点,如图所示,其中A(-1,-1),求△OAB的面积.
视频讲解
∵点A(-1,-1)在抛物线y=ax2(a≠0)上,也在直线y=kx-2上,
∴-1=a·
(-1)2,-1=k·
(-1)-2.
解得a=-1,k=-1.
∴两函数的表达式分别为y=-x2,y=-x-2.
解得
∴点B的坐标为(2,-4).
∵y=-x-2与y轴交于点G,则G(0,-2).
∴S△OAB=S△OAG+S△OBG=
(1+2)×
2=3.
第3课时 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
知识点1 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象的平移
1.(上海中考)如果将抛物线y=x2向右平移1个单位长度,那么所得的抛物线的表达式是(C)
A.y=x2-1B.y=x2+1
C.y=(x-1)2D.y=(x+1)2
2.(海南中考)将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2,则这个平移过程正确的是(A)
A.向左平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度
C.向上平移2个单位长度
D.向下平移2个单位长度
知识点2 画二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象
3.已知二次函数y=-
(x+1)2.
(1)完成下表;
-7
-5
5
y
(2)在下面的坐标系中描点,画出该二次函数的图象.
(1)如表.
(2)如图所示.
知识点3 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质
4.对称轴是x=1的二次函数是(D)
A.y=x2B.y=-2x2
C.y=(x+1)2D.y=(x-1)2
5.在函数y=(x+1)2中,y随x的增大而减小,则x的取值范围为(C)
A.x>-1B.x>1
C.x<-1D.x<1
6.(沈阳中考改编)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-2)2(a≠0)的图象可能是(D)
7.对于抛物线y=
(x+4)2,下列结论:
①抛物线的开口向上;
②对称轴为直线x=4;
③顶点坐标为(-4,0);
④x>-4时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为(B)
A.1B.2C.3D.4
8.
(1)抛物线y=3(x-1)2的开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0);
(2)抛物线y=-3(x-1)2的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0).
9.抛物线y=-(x+3)2,当x<-3时,y随x的增大而增大;
当x>-3时,y随x的增大而减小.
10.如果二次函数y=a(x+3)2有最大值,那么a<
0,当x=-3时,函数的最大值是0.
11.已知抛物线y=2x2和y=2(x-1)2,请至少写出两条它们的共同特征.
答案不唯一,如:
开口方向相同,开口大小相同,顶点均在x轴上等.
12.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是(A)
A.第一、二象限B.第二、四象限
C.第三、四象限D.第二、三象限
13.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象大致为(B)
14.已知A(-4,y1),B(-3,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为y3<
y1<
y2.
15.若函数y=a(x+m)2的图象是由函数y=5x2的图象向左平移
个单位长度得到的,则a=5,m=
16.某一抛物线和y=-3x2的图象形状相同,对称轴平行于y轴,并且顶点坐标是(-1,0),则此抛物线的表达式是y=-3(x+1)2.
17.已知二次函数y=2(x-1)2.
(1)当x=2时,函数值y是多少?
(2)当y=4时,x的值是多少?
(3)当x在什么范围内时,随着x值的增大,y值逐渐增大?
当x在什么范围内时,随着x值的增大,y值逐渐减少?
(4)这个函数有最大值还是最小值,最大值或最小值是多少?
这时x的值是多少?
(1)当x=2时,y=2×
(2-1)2=2.
(2)当y=4时,2(x-1)2=4,解得x=1±
(3)当x>
1时,随着x值的增大,y值逐渐增大;
1时,随着x值的增大,y值逐渐减小.
(4)这个函数有最小值,最小值是0,这时x=1.
18.已知点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,且点P在第一象限内.
(1)求m的值;
(2)过P点作PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,若a的值为3,试求P点,Q点及原点O围成的三角形的面积.
(1)∵点P(m,a)是抛物线y=a(x-1)2上的点,∴a=a(m-1)2.解得m=2或m=0.
∵点P在第一象限内,∴m=2.
(2)∵a的值为3,
∴二次函数的表达式为y=3(x-1)2.
∵点P的横坐标为2,
∴点P的纵坐标y=3(x-1)2=3.
∴点P的坐标为(2,3).
∵PQ∥x轴交抛物线y=a(x-1)2于点Q,
∴3=3(x-1)2.解得x=2或x=0.
∴点Q的坐标为(0,3).∴PQ=2.
∴S△PQO=
3×
19.已知一条抛物线y=a(x-h)2的顶点与抛物线y=-(x-2)2的顶点相同,且与直线y=3x-13的交点A的横坐标为3.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)把这条抛物线向右平移4个单位长度后,求所得的抛物线的表达式.
(1)由题意可知:
A(3,-4).
∵抛物线y=a(x-h)2的顶点与抛物线y=-(x-2)2的顶点相同,
∴h=2.
由题意,把点A的坐标(3,-4)代入y=a(x-2)2,得-4=a(3-2)2.
∴a=-4.
∴这条抛物线的表达式为y=-4(x-2)2.
(2)把抛物线y=-4(x-2)2向右平移4个单位长度后,得到的抛物线的表达式为y=-4(x-6)2.
第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的平移
1.(成都中考)将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为(A)
A.y=(x+2)2-3B.y=(x+2)2+3
C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3
2.抛物线y=-3(x-2)2-3可以由抛物线y=-3x2+1平移得到,则下列平移过程正确的是(C)
A.先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度
C.先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度
D.先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质
3.(呼伦贝尔中考)二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为(D)
4.(湘潭中考)抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是(A)
A.(3,1)B.(3,-1)
C.(-3,1)D.(-3,-1)
5.抛物线y=-(x+2)2-5的图象上有两点A(-4,y1),B(-3,y2),则y1,y2的大小关系是(C)
A.y1>y2B.y1=y2
C.y1<y2D.不能确定
6.(哈尔滨中考)二次函数y=2(x-3)2-4的最小值为-4.
7.写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标:
顶点坐标
y=-4(x+3)2+5
直线x=-3
(-3,5)
y=3(x+1)2-2
直线x=-1
(-1,-2)
y=(x-5)2-7
直线x=5
(5,-7)
y=-2(x-2)2+6
直线x=2
(2,6)
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- 九年级 数学 下册 湘教版版第 二次 函数