方差分析Word下载.docx
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),确定标准:
α=?
step2:
ANOVA检验总是单尾
step3:
指出检验的df(有两个df)
step4:
查表找出临界F统计量
step5:
对于样本,计算F统计量
step6:
比较F统计量和临界F统计量
step7:
对于H0作出结论
单因素,独立测量研究设计的例子:
检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组
方法A:
让学生只读课本,不去上课.
方法B:
上课,记笔记,不读课本.
方法C:
不读课本,不去上课,只看别人的笔记
Step1:
陈述假设和设定标准(选择α)
H0:
μ1=μ2=μ3
H1:
其中一个组与另一个(或更多)的组均值不同。
备择假设可能的形式很多:
μ1不等于μ2=μ3
μ1=μ3不等于μ2
μ1=μ2不等于μ3
μ1不等于μ2不等于μ3
因此,只需给出虚无假设就够了
ANOVA检验总是单尾.因为不存在负的方差.F分布表也只有单侧的Alpha.(F分布图)
找出检验的df.注意要考虑几个df(
从表找出临界F统计量
分子的df
分母的df
1
2
3
4
5
1
161
4052
200
4999
216
5403
225
5625
230
5764
2
18.51
98.49
19.00
99.00
19.16
99.17
19.25
99.25
19.30
99.30
3
10.13
34.12
9.55
30.92
9.28
29.46
9.12
28.71
9.01
28.24
:
与t分布表类似,F分布表也是描述一族F分布.
需要用到两个df,用一个找出正确的行另一个找出正确的列.上面一行对应于α=0.05,下面一行对应于α=0.01.
计算样本的F统计量观测值
概念的水平的讨论:
ANOVA非常类似两个独立样本的t检验
tobs=得到的样本均值间差异
期望的机会差异
对于ANOVA检验统计量(称为F比率)类似
F=样本均值间方差(差异)
期望的机会(误差)方差(差异)
为什么用方差?
因为有多于两个组.
如何计算一个分数来描述差异间分布?
差异不能够分割,但是方差能够分割。
这就是ANOVA-方差分析名字的由来.
首先考虑方差的来源.
什么造成样本的不同(处理间变异)?
处理/组效应-处理造成的差异
个体差异效应-个体差异变异
随机误差
每一个样本内部的变异(处理内变异)
个体差异效应
F比率可以表达为:
F比率=样本均值间的方差(差异)
期望的机会(误差)方差(差异)
F比率=处理间方差
处理内方差
F比率=处理效应+个体差异+随机误差
个体差异+随机误差
注意:
有时分母叫做误差部分,其量度了由于机会造成的方差
如果H0为真,处理效应的值应该如何?
如果没有差异,效应方差=0
如果效应方差=0,F比率值?
F比率=0+个体差异+随机误差=1=1.0
个体差异+随机误差1
如果H0为假,F比率应该大于1.
比较F统计量的观测值与临界F统计量
如果F统计量的观测值(Fobs)在统计上显著地大于1.0则拒绝H0
2.ANOVA的专用符号
K=处理条件(或组)的数目
n=每一个组的数目(如果它们相等)
ni=第i组的数目(如果它们不等)
N=∑ni=总的样本容量
Ti=∑Xij
G=∑Xij=总的和
G-bar=G/N=总的均值
SSi=每一个组的和方=∑(Xij-
i)2
在上例中:
研究方法
方法A
只读课本
方法B
只作笔记
方法C
借别人笔记
4
6
T1=5
T2=20
T3=5
SS1=6
SS2=6
SS3=4
n1=5
n2=5
n3=5
1=1
2=4
3=1
∑X2=106
G=30=总的和
N=15=总的样本容量
G-bar=30/15=2=总的均值
K=3=处理条件(或组)的数目
F比率=处理间方差
处理内方差
需要找出两个方差.
最基本公式s2=SS/df.
SS和=∑X2-(G2/N)
SS和=106-(302/15)=106-60=46
需要将其分解为组间变异和组内变异.
SS和=SS组间+SS组内
如何得到SS组内?
将每一个组SS相加
SSwithin=∑SS每一个处理内部=∑SSi
=6+6+4=16
如何得到SS组间?
快捷的方法是:
SS和-SS组内
⏹若数据足够,不推荐用这种方法,因为:
◆无法检查计算错误
◆未涉及SS组间是如何组成.
直接计算SS组间的两个公式:
定义公式和计算公式
定义公式
计算公式
SS间=∑[ni(
-G-bar)2]
SS间=∑(T2/ni)-G2/N
=5(1-2)2+5(4-2)2+5(1-2)2
=5+20+5
=30
=52/5+202/5+52/5-302/15
=5+80+5-60
SS和=SS组间+SS组内=16+30=46
s2=SS/df.
已计算出SS,找出df:
共有两个(或三个)自由度,一个组间方差df,一个组内方差df(以及一个总的df).
df和=N-1
df组内==N-K
df组间=K-1
df和=df组内+df组间
在例子中:
df组内=15-3=12
df组间=3-1=2
df和=15-1=14,=12+2
现在计算方差.这里称为均方.
方差=均方=MS=SS/df
MS组间=SS组间/df组内
-->
上例中=30/2=15
有时MS组间称为误差的均方.
MS组内=MS误差=误差的均方=SS组内/df组内
上例中=16/12=1.33
F比率=处理间方差=MS组间
处理内方差MSw组间
上例中的F比率是:
15/1.33=11.28
将结果总结到方差分析表中:
来源
SS
df
MS
处理间
30
15.0
F=11.28
处理内
16
12
1.33
总的
46
14
查F表确定Fcrit对假设作出结论
df组间=分子的df
df组内=分母的df(误差)
上例中:
df组内=12;
df组间=2
分子的df
4.75
9.33
3.88
6.93
3.49
5.95
3.26
5.41
3.11
5.06
13
4.67
9.07
3.80
6.70
3.41
5.74
3.18
5.20
3.02
4.86
如果选择α=.05,Fcrit=3.88
如果选择α=.01,Fcrit=6.93
F比率的观测值11.28大于Fcrit.,所以拒绝H0(μ1=μ2=μ3).
报告结果
F(df组间,df组内)=Fobs,p<
?
"
单因素方差分析发现学习方法有显著的效应,F(2,12)=11.28,p<
0.01."
电脑的结果输出会给出实际p-值.假设检验的逻辑是必须事前预设Alpha水平.如果选择了.01,就必须将其用于所有的检验.所以,如果有两个实验,电脑程序得到实验1的p值=.001,实验2的p-值=.01.它们都在统计上显著.假设检验是yes/no决策.上例中,结论都是YES.实验1的结果并不比实验2"
更显著"
.
4.事后检验(Posthoctests)
ANOVA的结果是检验H0:
μ1=μ2=μ3,这是一个两点(拒绝/不拒绝)决策.并未提供哪个备择假设得到支持.也就是说,只知道一些组与其它组不同,但并知道差别在哪些组之间.
所以从ANOVA得到显著差异的结果(拒绝H0)后,一定要做作some事后检验.事后检验使我们能够比较各组,发现差异产生在什么地方.
事后检验就是比较每一个处理组与另一个处理组,一次比较两个.这称为成对比较.
在上例中,可以比较μ1与μ2,μ1与μ3,以及μ2与μ3.
这样的做法有没有问题?
每一个比较都是一个单独的假设检验,每一个都有犯I类错误的风险.所以,比较对数越多,作结论的风险越大。
即容易发现实际不存在的差异。
这称为实验导致的(experimentwise)alpha水平(或族系(familywise)误差)
αEW=1-(1-a)cc=比较对数
对于上述例子,如果选择α=0.05作3对比较
αEW=1-(1-a)c=1-(.95)3=1-.857=.143
I类错误的机会增加到14.7%而不再是5%,多数事后检验设计中都控制了实验导致误差.
这里介绍两个事后检验:
Tukey'
sHSD检验(honestly差异显著性)检验和Scheff检验.
a)Tukey'
sHSD检验
可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异,考查此差异在统计上是否显著.
此检验要求各组有相等的样本容量.
HSD=q*sqrt(MS组内/n)
q值可以从表中查出(附表6).需要用到K和df组内,以及αEW
在上例中(用αEW=.05):
HSD=q*sqrt(MS组内/n)=(3.77)sqrt(1.33/5)=(3.77)(.516)=1.94
比较1:
H0:
μ1=μ2
2-1=4.0-1.0=3.0
HSD=1.94<
3.0,拒绝H0
比较2:
μ1=μ3
3-1=1.0-1.0=0.0
HSD=1.94>
0.0,不能拒绝H0
比较3:
μ2=μ3
2-3=4.0-1.0=3.0
3.0,拒绝H0
所以B与A和C不同,而A与C没有差异
b)ScheffŽ检验
用F比率检验差异.这是最保守的检验(降低I类错误的风险,但增加II类错误的风险).特别适用于n不等的情况
重新计算MS组间,每次只检验一个比较.注意:
用整体的df组间和整体的MS组内.
SS组间==52/5+202/5-252/10=22.5
MS组间==22.5/2=11.25
MS组内==16/12=1.33
F比率=MS间=11.25/1.33=8.46MS组内
查F表.α=.05,Fcrit(2,12)=3.88
8.46>
3.88,拒绝H0
SS组间==+-=0
MS组间==0/2=0
F比率=MS间=0/1.33=0MS组内
0<
3.88,不能拒绝H0
SS组间==52/5+202/5-252/10=22.5
F比率=MS间/MS组内=11.25/1.33=8.46
与t-检验的关系
差异间独立样本t-检验与两个水平的单因素组间ANOVA有和区别?
没有.F比率=t2
差异间t-检验和ANOVA,t-检验是考察两个均值间的差异ANOVA是考察方差.如果只有两个组,t统计量的平方就是F统计量.
例:
一位研究者研究三种键盘设计。
记录了三组被试的错误次数:
键盘A:
04010
键盘B:
68542
键盘C:
65946
键盘类型对打字错误有无显著的影响?
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