北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 11 菱形的性质与判定 同步练习题副本Word文档下载推荐.docx
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二、填空题
8.如图,菱形ABCD的周长是12,∠ABC=120°
,那么这个菱形的对角线BD的长是3.
9.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°
,AD=8.P是AB边上的一点,E,F分别是DP,BP的中点,则线段EF的长为4.
10.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(3,5),则点C的坐标为(3,-5).
11.如图,菱形ABCD的周长为16,∠C=120°
,E,F分别为AB,AD的中点,则EF的长为2
.
12.如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°
,∠A=30°
,BC=6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作平行四边形CDEB,当AD=6时,平行四边形CDEB为菱形.
13.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有以下四个式子:
①AB=BC;
②AC=BD;
③AC⊥BD;
④∠ABC=90°
,从中任取一个作为条件,即可推出▱ABCD是菱形的概率为
14.若菱形的两条对角线的比为3∶4,且周长为20cm,则它的面积为24cm2.
15.如图,线段AB=10,分别以点A,B为圆心,6为半径作弧,两弧分别交于点C,D,连接CD,则CD的长为2
16.如图,在等边△ABC中,BC=8cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)当t=
或8s时,以A,F,C,E为顶点的四边形是平行四边形;
17.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OC=2cm,∠ABO=30°
,则菱形ABCD的面积是8
_cm2.
18.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥AD于点E,交BC于点F,则EF的长为
三、解答题
19.如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
(1)求证:
四边形BEDF为菱形;
(2)若∠A=90°
,∠C=30°
,BD=6,则菱形BEDF的面积为6
证明:
∵DE∥BC,DF∥AB,
∴四边形BEDF是平行四边形.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBF.
∴∠ABD=∠EDB.∴DE=BE.
∴四边形BEDF为菱形.
20.如图,在△ABC中,点D是AB边上一点,AC=AD,连接CD.点O是CD的中点,连接AO并延长交BC于点E,连接ED.过点D作DF∥BC交AE于点F,连接CF.求证:
四边形CEDF是菱形.
∵AC=AD,点O是CD的中点,
∴AO⊥CD.
∵DF∥BC,
∴∠FDO=∠ECO.
在△FDO和△ECO中,
∴△FDO≌△ECO(ASA).
∴FO=OE.
又∵EF⊥CD,OC=OD,
21.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF.求证:
四边形DFCE是菱形.
∵点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE∥CF,DE=
BC,DF∥CE,DF=
AC.
∴四边形DECF是平行四边形.
∵AC=BC,∴DE=DF.
22.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是BC的中点,DF⊥BC,垂足为F,AD=5,BC=12,DF=4,∠C=45°
,点P是BC边上一动点,设PB的长为x.
(1)当x的值为1或11时,以点P,A,D,E为顶点的四边形是平行四边形;
(2)点P在BC边上运动的过程中,以P,A,D,E为顶点的四边形能否构成菱形?
试说明理由.
解:
能,理由如下:
当x=11时,四边形AEPD是平行四边形,此时P在E的右边,
在Rt△CFD中,∵∠C=45°
,
∴CF=DF=4.
又∵CP=BC-BP=12-11=1,
PF=CF-CP=4-1=3,
在Rt△PFD中,PD=
=
=5,
∴PD=AD=5.
∴四边形AEPD是菱形.
23.如图,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF.求证:
四边形BFDE是菱形.
∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,
∴BO=DO,AD∥BC.
∴∠EDO=∠FBO.
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(ASA).
∴OE=OF.
又∵EF⊥BD,BO=DO,
∴四边形BFDE为菱形.
24.如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,交BF于点C,BD平分∠ABC,交AE于点D,连接CD,求证:
四边形ABCD是菱形.
∵AE∥BF,
∴∠BCA=∠CAD,∠CBD=∠BDA.
∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=∠BCA.
∴AB=BC.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=∠BDA.
∴AB=AD.∴AD=BC.
又∵BC∥AD,
∴四边形ABCD是菱形.
∴四边形DFCE是菱形.
25.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°
,点E在边BC上,点F在边CD上.
(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°
,求证:
BE=DF;
(2)如图2,若∠EAF=60°
△AEF是等边三角形.
(1)连接AC.
∵在菱形ABCD中,∠B=60°
,AB=BC=CD,
∴∠BCD=180°
-∠B=120°
,△ABC是等边三角形.
∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.
∵∠AEF=60°
,∴∠FEC=90°
-∠AEF=30°
.
∴∠CFE=180°
-∠FEC-∠ECF=180°
-30°
-120°
=30°
∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF.
∴BE=DF.
(2)连接AC.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60°
∴∠B=∠ACF=60°
∵∠BAC=∠EAF=60°
,∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(ASA).∴AE=AF.
∵∠EAF=60°
∴△AEF是等边三角形.
26.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°
,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,过点A作AF∥BC,连接DF交AC于E.若E是DF的中点,请你判断四边形ADCF的形状,并证明.
四边形ADCF是菱形.
∵AF∥CD,
∴∠AFE=∠CDE.
∵E是DF的中点,
∴EF=ED.
在△AFE和△CDE中,
∴△AFE≌△CDE(ASA).∴AE=CE.
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC=2AE,AC=2AB,∴AB=AE.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD.
在△AED和△ABD中,
∴△AED≌△ABD(SAS).
∴∠AED=∠B=90°
,即DF⊥AC.
∴四边形ADCF是菱形.
27.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°
,H是对角线BD上任意一点.
(1)如图1,当H是线段BD的中点,且AB=6时,求△DBC的面积;
(2)如图2,当点H不是线段BD的中点时,I是线段CB延长线上一点,且DH=BI,连接CH,HI.求证:
CH=HI.
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BCD=∠A=60°
,BC=DC=AB=6.
∴△BCD是等边三角形.
∴BD=BC=6.
∵H是线段BD的中点,
∴BH=
BD=3,CH⊥BD.
∴CH=
=3
∴S△DBC=
BD·
CH=9
(2)证明:
过点H作GH∥BC,交CD于点G.
∵△BCD是等边三角形,
∴∠DHG=∠DBC=60°
,∠DGH=∠DCB=60°
,CD=BD.
∴△DGH是等边三角形.
∴DH=DG=GH.
∴CG=HB,∠CGH=∠HBI.
∵DH=BI,∴GH=BI.
在△CGH和△HBI中
∴△CGH≌△HBI(SAS).
∴CH=HI.
28.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
▱ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°
又∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD(ASA).
∴AB=AD.∴▱ABCD是菱形.
(2)连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,AO=CO=
AC=
×
6=3.
∴BO=
=4.
∴BD=2BO=8.∴S▱ABCD=
AC·
BD=24.
29.如图1,在▱ABCD中,E,F分别为CD,BC上两点,AF平分∠BAE,∠EAD=∠FEC.
AB=AE;
(2)如图2,若∠B=90°
,AF与DC的延长线交于点H,求证:
四边形ABHE为菱形;
(3)在
(2)的条件下,若DH=16,AD=8,则AF的长为5
(1)∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠EAD+∠D,∠EAD=∠FEC,∴∠AEF=∠D.
∴∠B=∠D.∴∠B=∠AEF.
∵AF平分∠BAE,∴∠BAF=∠EAF.
在△ABF和△AEF中,
∴△ABF≌△AEF(AAS).
∴AB=AE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.∴∠BAF=∠EHA.
∵∠BAF=∠EAF,∴∠EHA=∠EAF.
∴AE=HE.
∵AB=AE,∴AB=EH.
又∵AB∥EH,∴四边形ABHE为菱形.
30.如图,在▱ABCD中,CE平分∠BCD,交AB边于点E,EF∥BC,交CD于点F,点G是BC边的中点,连接GF,且∠1=∠2,CE与GF交于点M,过点M作MH⊥CD于点H.
四边形BCFE是菱形;
(2)若CH=1,求BC的长;
(3)求证:
EM=FG+MH.
∴AB∥CD.∴∠1=∠ECF.
∵EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形.
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECF.
∴∠BCE=∠1.∴BC=BE.
∴四边形BCFE是菱形.
(2)∵∠1=∠ECF,∠1=∠2,
∴∠ECF=∠2.∴CM=FM.
∵MH⊥CD,∴CF=2CH=2×
1=2.
∵四边形BCFE是菱形,∴BC=CF=2.
(3)证明:
连接BF,交CE于点O.
∵点G是BC的中点,∴CG=
CB.
∵CH=
CF,∴CG=CH.
在△CGM和△CHM中,
∴△CGM≌△CHM(SAS).
∴∠CGM=∠CHM=90°
,即FG⊥BC.∴CF=BF.
∵BC=CF,∴BC=CF=BF.
∴△BCF是等边三角形.∴∠BFC=60°
∴∠2=∠BFG=30°
∵BF⊥CE,∴OM=MH.
∵
BC·
FG=
BF·
OC,
∴OE=OC=FG.∴EM=OE+OM=FG+MH.
31.如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连接EF.
△ADE≌△CDF;
(2)若∠A=60°
,AD=4,求△EDF的周长.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠A=∠C.
∵DE⊥BA,DF⊥CB,
∴∠AED=∠CFD=90°
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(AAS).
(2)∵△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∵∠A=60°
∴∠ADC=120°
,∠ADE=∠CDF=30°
∴∠EDF=60°
.∴△DEF是等边三角形.
在Rt△AED中,∵AD=4,∠A=60°
∴AE=2.∴DE=2
∴△EDF的周长为3DE=6
32.某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°
角的直角三角板ABC与三角板AFE按如图1所示放置,现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°
<
α<
90°
),如图2,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
AM=AN;
(2)当旋转角∠α=30°
时,判断四边形ABPF的形状,并说明理由.
∵∠α+∠EAC=90°
,∠NAF+∠EAC=90°
,∴∠α=∠NAF.
又∵∠B=∠F,AB=AF,
∴△ABM≌△AFN(ASA).∴AM=AN.
时,四边形ABPF是菱形.
理由:
∵∠α=30°
,∠EAF=90°
∴∠BAF=120°
又∵∠B=∠F=60°
∴∠B+∠BAF=60°
+120°
=180°
∠F+∠BAF=60°
∴AF∥BC,AB∥EF.
∴四边形ABPF是平行四边形.
又∵AB=AF,
∴四边形ABPF是菱形.
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