相交线垂线Word格式.docx
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∵OC是AOB的平分线
∴AOC=COB(或AOC=
AOB)
反之
∵AOC=COB(或AOC=
则OC是AOB的平分线。
对顶角定义“一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角”
⑵要理解点到直线的距离
理解概念,要从定义出发,定义是反映概念最基本的属性,“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离,”距离是指长度,点到直线的距离是指一条线段的长度,什么样的线段呢?
从这点到直线作垂线,这点到垂足之间线段。
这条垂线段的长度,就是点到直线的距离。
具体表示出来是一个正数,而不是一个图形,但这个概念可以通过具体图形来表示。
垂线段PM表示点P到直线AB的距离(图2)。
⑶用比较法认识图形
初学者在辨认某些图形时较为困难,因而采用比较的方法,让正位图形与变式图形进行比较进行判断。
如
从图3中I图的正位图形,去认识II图中的同位角、内错角和同旁内角。
II图,AB、CD被AD所截,5和ADC是同位角;
AB、CD被DB所截,1和4是内错角;
AB、CD被BC所截,DCB与ABC是同旁内角。
【思维基础】
一、填空:
⑴一个角的两边分别是另一个角的两边的______叫做对顶角。
⑵如图4,直线AB、CD相交于O,如果1=30,那么2=_____,根据___________;
AOC=_______,根据_____________。
⑶如图5,直线AB、CD、EF相交于O,1的对顶角是_______;
FOA的对顶角是______;
如果1=40,2=20,则AOD=___________;
图中共有______对对顶角。
⑷两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线______,其中的一条直线______________。
⑸经过一点有______直线与已知直线垂直。
⑹直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,__________________。
⑺从直线外一点到这条直线的___________,叫做点到直线的距离。
⑻如图6,1和C_______角;
2和D是_______角;
3和D是_______角;
2和3是______角,直线AB、CD被ED所截的同旁内角是_____和_____。
二、判断题:
⑴两条直线相交,就产生对顶角。
()
⑵直线的垂直平分线也叫中垂线。
⑶对顶角的余角相等。
⑷两条直线相交,如果两个角相等,那么这两个角是对顶角。
【精典题解】
⒈填注理由(图7)
⑴∵AOOB于O
∴AOB=90()
⑵∵AOB是直角
⑶∵AOC与BOC互为余角,
∴AOC+BOC=90()
⑷∵BOOA(已知)
∴BOA=90(①)
即AOC+BOC=90
∵OE平分BOC(已知)
∴EOC=
BOC(②)
∵OD平分COA(已知)
∴DOC=
COA(③)
∵AOC+BOC=90
∴
AOC+
BOC=45
思考:
⒈括号内要填写哪些内容?
为什么?
⒉请你叙述角平分线定义,垂直定义。
思路分析:
学习数学要讲“理”,学习代数与学习几何过程讲“理”的表现形式不同,在学习几何讲“理”的最简形式就是“∵,∴”。
因为说是条件,所以说的是结论,有原因才得结果,填理由,就是填上根据什么才能得到结果。
这个根据就是“已知”、“定义”、“图形性质”等等。
常常有不同的依据而得出相同结论,如上例中⑴、⑵、⑶就是如此。
⑴因为有了两直线垂直才得到了AOB=90,所以它的理由是“垂直定义”。
⑵因为AOB是直角,才有AOB=90,所以填注的理由应该是“直角定义”。
⑶因为AOC与BOC互为余角,才有AOB=90,所以应填注的理由是“互为余角定义”。
⑷由上述分析,阅读本题,填注理由就不困难了。
①垂直定义;
②角平分线定义;
③角平分线定义。
⒉选择题(图8)OAOB,OCOD,则()
(A)1=2(B)2=3
(C)1=3(D)以上都不对
⒈互为余角的两角有何关系?
⒉你会用数学式子表示互余角的关系吗?
举例说明。
思路分析:
观察图形和已知条件,并相对照,然后思考,1和2是什么关系?
2和3是什么关系?
1和2互为余角,你知道为什么吗?
2和3互为余角,你知道为什么吗?
互为余角的角,有什么数量关系?
∵OAOB()
∴AOB=90()
即1+2=90①
∵OCOD()
∴COD=90()
即2+3=90②
比较①和②两式可知1=3
所以正确答案该选择(C)
小结:
这就证明了“同角的余角相等”。
【创新园地】
用一对直角三角板,你能画出15角吗?
还能画出哪些这样的角?
三、智能显示
⒈如图9,直线AB、CD相交于O,OE是射线,已知1=2,又AOE=100,求DOB的度数。
⒉如图10,直线AB、CD相交于O,OECD于O,OFAB于O,1=65,求BOE的度数。
⒊如图11,直线CD截AB、EF所成的同位角互补,1=50,求2的度数。
⒋自钝角的顶点引它的一边的垂线,把这个钝角分成两个角的度数比是2:
3,求钝角的大小。
【参考答案】
⒈∵COD是平角(已知)
∴1+2+100=180(平角定义)
∴1+2=80
∵1=2(已知)
∴22=80,2=40
∵2=DOB(对顶角相等)
∴DOB=40
⒉∵OECD(已知)
∴DOE=90(垂直定义)
即2+BOE=90①
∵OFAB(已知)
∴FOB=90(垂直定义)
即1+2=90②
比较①、②可知
1=BOE
∵1=65
∴BOE=65
⒊∵1与3是同位角(已知)
又1+3=180(已知)
即3=180-1
∵1=50
∴3=130
∵2和3是对顶角
∴2=130(对顶角相等)
⒋这个钝角是150(图12)
四、同步题库
一、填空题
1.如图2-12A,∠1和∠4是,∠2和∠3是,∠2和∠4是.
图2-12A图2-12B图2-13
2.如图2-12B,∠BEF的同位角是,内错角是,同旁内角是.
3.如图2-13,∠1和∠2是直线和被直线所截成的.
4.如图2-14,直线a、b、c两两相交,共构成对对顶角.
图2-14图2-15图2-16
5.如图2-15,∵∠BOC=90°
(已知)
∴⊥()
6.如图2-16,∵AB⊥CD(已知)
∴=90°
7.如图2-17,∠1和∠2是角,∠3和是内错角,∠4和∠5是角.
图2-17图2-18图2-19
8.如图2-18,∠1和∠2互为余角,EF⊥AB,则∠1=;
∠2=.
9.如图2-19,直线AB、CD、EF相交于O点,则∠AOC=,∠COE=,∠AOC的邻补角是.
10.如图2-20,∠AOB是直角,C、O、D三点共线,∠AOC=25°
,则∠AOC的余角的补角为.
11.如图2-21,已知直线AB、CD相交于点O,OE是∠DOB的平分线,设∠AOC=70°
,则∠EOB=.
图2-20图2-21图2-22
12.如图2-22,直线AB、CD、EF相交于点O,写出∠AOE和∠DOF的对顶角与.
13.过一点与已知直线垂直.
14.如图2-23,∠1和∠C是直线和直线被直线截成的.
15.如图2-24,直线AB、CD、EF相交于点O,∠AOC=70°
,则∠BOD与∠COB的度数为,.
图2-23图2-24
二、选择题
16.如图2-25,O是直线AB上的一点,OC⊥OD,以下两个结论:
①∠AOC与∠BOD互为余角
②∠AOC、∠COD、∠BOD互为补角
它们的正确与否应是.
(A)①②都正确(B)①正确②不正确
(C)①不正确②正确(D)①②都不正确
图2-25
17.如图2-26,∠1和∠2是对顶角的是.
图2-26
18.如图2-27,∠1和∠2是同位角的是.
图2-27
19.如图2-28,对顶角的对数是.
(A)3对(B)4对(C)5对(D)6对
图2-28
20.下列说法,正确的是.
(A)相等的两个角是对顶角
(B)等角的补角相等
(C)C到直线的距离就是这点到直线所作的垂线段
(D)两条直线被第三条直线所截,内错角相等.
21.下列说法,错误的是.
(A)垂线段最短(B)对顶角相等
(C)同位角相等(D)一个锐角的补角大于这个锐角
22.如图2-29,判断错误的是.
(A)∠1和∠7是同旁内角(B)∠3和∠4是同位角
(C)∠5和∠6是对顶角(D)∠8和∠1是内错角
图2-29
23.已知直线a与直线c的夹角等于直线b与直线c的夹角,则直线a和直线b的位置关系是.
(A)平行(B)相交(C)垂直(D)不能确定
24.点到直线的距离是指.
(A)直线外一点与这条直线上一点所连结的线段
(B)直线外一点与这条直线上任一点所连结的线段的长度
(C)直线外一点到这条直线的垂线段
(D)直线外一点到这条直线的垂线段长度
25.互为邻补角的角平分线关系是.
(A)互相垂直(B)相交而不垂直
(C)成一条直线(D)以上都有可能
26.下列说法正确的是.
(A)直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短
(B)直线的垂线有且只有一条
(C)直线外一点与直线上各点连结的线段长度都大于点到直线的距离
(D)直线外一点与直线上各点连结的线段中,垂线段最短
27.直线a上一点A与a外一点B的距离为2,与a外一点C的距离为3,则点B到a的距离d1与点C到直线a的距离d2的关系是.
(A)d1<
d2(B)d1=d2(C)d1>
d2(D)以上都有可能
28.如果∠AOB和∠BOC互补,则∠AOB和∠BOC的角平分线关系是.
(A)垂直(B)相交但不垂直(C)重合(D)以上三种情况都有可能
图2-30图2-31
三、解答题
29.如图2-30,两直线相交于点O,∠1=2∠2,求∠2、∠3、∠4.
30.如图2-31,已知∠3=60°
,∠7=50°
,求∠1、∠2、∠4、∠5、∠6、∠8.
31.如图2-32,AB、CD、EF相交于O且AB⊥CD,∠1=35°
求
(1)∠2
(2)∠BOE(3)∠BOF
图2-32
32.如图2-33,CO⊥OB,∠AOC:
∠AOB=2:
5,求∠AOC、∠AOB的度数.
33.如图2-34,EOF为一条直线,∠AOB=∠COD=90°
,OE平分∠COB,∠EOB=15°
30′,求∠AOF.
图2-33图2-34
参考答案
同步题库
一、填空题
1.同位角,同旁内角,内错角2.∠BGD,∠AGC,∠EGD3.AD,BC,AC,内错角4.65.AB,CD垂直定义6.∠BOC,垂直定义7.邻补,∠4,同旁内8.∠4,∠39.∠BOD,∠DOF,∠AOD或∠COB10.115°
11.35°
12.∠BOF,∠EOC13.有且只有一条直线14.AB,CD,CE,内错角15.70°
110°
二、选择题
16.B17.C18.A19.D20.B21.C22.D23.D24.D25.A26.D27.D28.D
29.解:
依题意知
∠1=∠4(对顶角相等)∠2=∠3
∴∠1+∠3=∠2+∠4=180°
∵∠1=2∠2
∴2∠2+∠2=180°
∠2=60°
∴∠3=60°
∠4=120°
30.解,依题意知
∵∠1=∠3,∠3=60°
∴∠1=60°
又∠1+∠2=180°
∴∠2=120°
又∠2=∠4∴∠4=120°
∵∠7=50°
,∠5=∠7
∴∠5=50°
又∠5+∠8=∠6+∠7=180°
又∠6=∠8
∴∠6=130°
∠8=130°
31.解:
由题意知
∠1+∠AOC+∠2=180°
∵∠1=35°
,AB⊥CD
∴∠2=180°
-90°
-35°
=55°
又∠2+∠BOE=180°
∵∠2=55°
∴∠BOE=125°
∵AB、EF相交于O点
∴∠2=∠BOF=55°
32.解:
由题意知,设∠AOC=2x,则∠AOB=5x
故∠BOC=∠AOB-∠AOC=5x-2x=3x
∵CO⊥OB∴∠BOC=90°
∴3x=90°
则x=30°
∴∠AOC=60°
∠AOB=150°
33.解:
由题意知,
∵OE平分∠BOC
∴∠BOE=∠COE=15°
30′
∴∠BOC=30°
60′=31°
故∠DOB=∠AOC=90°
-31°
=59°
又∠AOF+∠AOC+∠EOC=180°
∴∠AOF=180°
-59°
-15°
=105°
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