高一数学必修1各章知识点总结Word下载.docx
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集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
A即:
①任何一个集合是它本身的子集。
A
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)B,且A②真子集:
如果A
CC,那么AB,B③如果A
B④如果AA那么A=B同时B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作,即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
ABB
(CuA)(CuB)
=Cu(AB)
=Cu(AB)
A(CuA)=U
A(CuA)=Φ.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是.
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
1.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
○1任取x1,x2∈D,且x1<
x2;
○2作差f(x1)-f(x2);
○3变形(通常是因式分解和配方);
○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-x)与f(x)的关系;
○3作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±
f(x)=0或f(x)/f(-x)=±
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2利用图象求函数的最大(小)值
○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
1.求下列函数的定义域:
⑴⑵
2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__
3.若函数的定义域为,则函数的定义域是
4.函数,若,则=
5.求下列函数的值域:
(3)(4)
6.已知函数,求函数,的解析式
7.已知函数满足,则=。
8.设是R上的奇函数,且当时,,则当时=
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
⑴⑵⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证:
.
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>
1,且∈*.
负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)•;
(2);
(3).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>
10<
a<
1
定义域R定义域R
值域y>0值域y>0
在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;
取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:
一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:
(—底数,—真数,—对数式)
说明:
○1注意底数的限制,且;
○2;
○3注意对数的书写格式.
两个重要对数:
○1常用对数:
以10为底的对数;
○2自然对数:
以无理数为底的对数的对数.
指数式与对数式的互化
幂值真数
=N=b
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
○1•+;
○2-;
○3.
换底公式
(,且;
,且;
).
利用换底公式推导下面的结论
(1);
(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念:
函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
○1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:
,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○2对数函数对底数的限制:
,且.
2、对数函数的性质:
定义域x>0定义域x>0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:
一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;
当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
1.已知a>
0,a0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
2.计算:
①;
②=;
=;
③=
3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为
4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=
5.已知,
(1)求的定义域
(2)求使的的取值范围
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
○1(代数法)求方程的实数根;
○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型
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2012-2-620:
18瑞德电器|四级
高中高一数学必修1各章知识点总结
1、集合的含义:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性;
2.元素的互异性;
3.元素的无序性
(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:
{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:
2.集合的表示方法:
注意啊:
非负整数集(即自然数集)记作:
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:
a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作aÏ
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:
②数学式子描述法:
不等式x-3>
2的解集是{xÎ
R|x-3>
2}或{x|x-3>
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例:
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:
A=B
AÍ
②真子集:
如果AÍ
B,且A¹
B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AÍ
B,BÍ
C,那么AÍ
C
④如果AÍ
B同时BÍ
A那么A=B
1.交集的定义:
一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
记作:
A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:
设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
CSA即CSA={x|xÎ
S且xÏ
A}
S
CsA
(2)全集:
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(3)性质:
⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)
构成函数的三要素:
定义域、对应关系和值域
再注意:
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:
①表达式相同;
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
A、描点法:
根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;
2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
5.什么叫做映射
记作“f:
AB”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;
②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;
③对于映射f:
(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注
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