数量关系第三部分打印Word格式.docx
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区别二
各类办法之间是互斥、并列、独立的
各步之间是关联的、独立的。
关联确保不遗漏,独立确保不重复
1.书架的上层放有20本不同的英语书,中层放有10本不同的数学书,下层放有5本不同的图画书,问某人想从中任取一本书,有多少种不同的取法?
A.35B.40C.42D.72
2.从10种不同的种子中取出5种放到5个不同的容器中,其中,小麦不放在第一个容器中有多少种类放法?
()
A27216B27215C27213D27218
二、排列中的数学思想及方法:
直排插空和捆绑,隔板整体特殊化;
附加条件有特殊,特殊优先顾大局;
元素位置分得清,切忌无序乱排列。
分类讨论思想:
1.5个人从左到右站成一排,其中小张不站在排头,小李不站在第二的位置,不同的站法有多少种?
A.120B.96C.78D.72
2.五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有多少种?
A.120种 B.96种 C.78种 D.72种
3.从6名运动员中选4人参加4×
100米接力,甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种?
A.120 B.240 C.180 D.60
转化思想:
4.在100个球员中进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行几场?
A.120B.99C.50D.200
5.某科技小组有6名同学,现在从中选择3人参加航空活动,至少一名女生入选时的选择有16种,则小组中的女生数目是()
A2B3C4D5
6.5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本,则不同方法有多少种?
A480B240C120D96
7.3个人要坐在8个空位上,若每个人左右都有空座位,不同的坐法有多少种?
A.24B.96C.32D.72
8.一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法?
A.20 B.12 C.6 D.4
9.7个人排一排,要求甲、乙、丙两两不相邻有多少种排法?
A488B1244C1440D968
10.安排甲、乙、丙三人星期一至星期六值班,每个人值班两天,甲不值星期一,乙必须值班星期六,则不同排有多少?
A18B24C14D8
11.六人站成一排,求甲不在排头,乙不在排尾的排列数?
A.120 B.64 C.124 D.136
12.6名学生站队,要求甲、乙、丙三人的相对顺序不变,不同排法多少种?
A180B240C140D120
总体点拔:
问题有法,法无定法
⑴解决排列、组合问题最常用最基本的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法。
若以位置为主,需要满足特殊位置的要求,再处理其他位置。
有两个以上约束条件,往往考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件。
若以元素为主,需要满足特殊元素的要求,再处理其他的元素。
⑵间接法有的也称做排除法或排异法,有时这种方法解决问题简单、明快。
⑶捆绑法主要解决相邻问题,捆绑相邻元素。
⑷插空法主要解决不相邻问题,谁不相邻就让谁插空。
三、多题同解法和同题多解
1.有5名同学报考10所大学,每人只能报考一所,有多少种不同的报考方法?
A100000B50000C25000D12500
2.4封信投入到5个邮筒中,最多投法有多少种?
A54B45C55D44
3.5名同学参加4项体育比赛,每个人只能参加一个,参赛的方法有多少?
A是5的4次方B是4的5次方C是5的5次方D是4的4次方
4.现有3名同学和4个课外兴趣小组,并且每个同学都可以任选4个课外小组中的一个,分别回答以下问题:
⑴每个同学只能参加一个课外兴趣小组,有多少种不同的选法?
A4的4次方B是4的3次方C是3的3次方D是3的4次方
⑵每个同学只能参加一个,并每个小组中只能有一个同学参加,有多少种选法?
A24B36C40D64
⑶每个小组只有一名同学参加,每名同学参加几个小组不限,多少种?
第三节排列问题中的特殊形式
1.甲乙两人一起攀登一个有300个台阶的山坡,甲每步上3个台阶,乙每步上2个台阶。
从起点处开始,甲乙走完这段路共踏了多少个(不同)台阶?
(重复踏的台阶只算一个)。
2.小明给住在五个国家的五位朋友分别写一封信,这些信都装错了信封的情况共有多少种?
()
A.32B.44C.641D.120
3.甲、乙、丙、丁四个人站成一排,已知:
甲不站在第一位,乙不站在第二位,丙不站在第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?
A.6B.12C.9D.24
4.五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则错的可能情况共有多少种?
A.6B.10C.12D.20
5.某小组有四位男性和两位女性,六人围成一圈跳集体舞,不同排列方法有多少种?
A.720B.60C.480D.120
6.用6枚不同的珍珠串一条项链,共有多少种不同的串法?
第二节组合
一、等价转化方法
在解有关组合问题时,往往转化思维角度,或者在正面解答比较困难时,从对应的面考虑反而更容易,体现“正难则反”的思想,实际也是间接法。
1.从6名男生和4名女生中,选择3名代表,要求至少包括1名女生,则不同的选择有多少种?
A180B240C100D120
二、数形结合方法
在分析有关组合问题时,可以借助直观形状。
2.有A、B、C、D四个小岛,要建设三座桥,把四个小岛连接起来,则不同建桥方案多少?
A18B24C14D16
3.正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?
A.70 B.64 C.61 D.58
三、分配问题——插板法
一般解决相同元素分配问题,而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零),只对分成的份数有要求。
4.从5个班级中选择10名同学参加比赛,每一个班级最少有一名,有多少种?
A126B125C140D120
5.将10台相同的电脑分配给5个村,每村至少一台,那么有多少种不同的分配方法?
A126B320C3024D1024
6.把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?
A.190 B.171 C.153 D.19
7.10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?
A.45 B.36 C.9 D.30
8.将10本没有区别的图书分到编号为1、2、3的图书馆,要求每个图书馆分得的图书不小于其编号数,共有多少种不同的分法?
A12B15C30D45
重复剔除型
9.将6个人平均分成三组,请问一共有多少种分配的方法?
A.15B.30C.45D.90
四、排序问题——选“一”法
10.6人站成一排,要求甲站在乙的右边的排法是多少?
A180B240C360D120
11.马路上有编号为l,2,3,……,10十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?
A.60 B.20 C.36 D.45
点评:
解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。
解决一道排列、组合提的方法很多,但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。
这就要求我们准确掌握各种解题方法,能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。
第三节抽屉原理
这个也叫做抽屉原理:
将多于N件物品任意放到N个抽屉里,那么至少有一个抽屉的物品件数不少于2(即至少有2个在同一抽屉里);
扩展开来,将N×
M个物品放到N个抽屉里,至少有一个抽屉的物品不少于M+1个.
1.在座的有200人,至少有多少人在同一个月里出生()?
A.12B17C38D16
2.有20名乒乓球员参加比赛,共比赛22场,参加比赛最多的那个球员最少比赛几场()?
A.2B7C3D1
3.把150个玩具分给幼儿园小朋友,如果不管怎么分,都至少有一个小朋友分到5个或5个以上玩具,问幼儿园最多有多少个小朋友()?
A.36B37C38D39
第四节分堆问题
1.苹果平均分给四个小朋友,问有多少种不同的分配方法?
A2520B1260C630D105
2.将8个苹果平均分成4堆有多少种分法?
第二章容斥(集合)原理
第一节集合的定义及表示
一般地,把一些能够确定的不同对象看作一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),构成集合的各个对象叫做这个集合的元素(或成员)。
集合通常用大写字母A、B、C、…来表示,它们的元素通常用小写英文字母a、b、c…来表示。
集合是高中数学的重要内容之一,它贯穿整个数学的教学之中,并且作为一种数学语言和工具在其它数学问题中有广泛的应用。
在高考中,它是年年必考内容之一,也是我们公务员考试年年必考内容之一。
集合概念具有高度的统一性和概括性,要求学生具有较强的抽象概括能力和严密的逻辑思维能力。
在集合学习要注意以下五个问题:
一、注意集合元素中的“三性”
1.元素的确定性
对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,这就是说,任何一个对象要么是集合中的元素,要么不是这个集合中的元素,二者必居其一,不能确定的对象不能构成集合。
比如,“很大额的钞票”、“在坐的帅哥”、“富裕的家庭”都不能构成集合。
2.元素的互异性
对于一个给定的集合,集合中的元素一定是互异的,这就是说,集合中任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时只能算作集合中的一个元素,即集合中的元素没有重复现象。
例如,方程﹝x-1﹞﹝x-1﹞﹝x-2﹞的解集不能写成{1,1,2},而应该写成{1,2}。
3.元素的无序性
集合中的元素可以任意排列顺序,因此,在用列举法表示集合时,通常不考虑元素之间的先后顺序,例如集合{a、b、c}与集合{b、c、a}是相等的集合。
元素与集合之间的关系
关系
定义
符号
读法
属于
a是集合A中的元素
a∈A
a属于A
不属于
a不是集合A中的元素
a∈/A
A不属于A
1、空集的概念
不含有任何元素的集合,表示符号是圆圈加斜杠。
2、集合中元素的性质:
确定性:
作为一个集合的元素,必须是确定的。
这就是说,不能确定的对象就不能构成集合。
互异性:
对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的。
相同的对象归入一个集合时只能算作集合的一个元素。
无序性:
集合中的元素可以任意排列顺序。
3、集合的分类:
有限集:
含有有限个元素的集合
无限集:
含有无限个元素的集合。
空集:
不含有任何元素的集合。
4、集合的表示方法:
列举法、特征性质描述法。
方程思想:
是指在解题过程中,根据某些要求,需要确定某些变量的值,这时往往通过问题中已知量与未知量之间的数量关系,运用数学抽象语言(符号语言)列出这些变量所满足的方程(或方程组),通过方程(或方程组)求出它们的值,从而使问题得到解决。
运算求解能力:
主要考查法则的运用、公式的变形,并能根据问题的条件和要求,寻找并设计合理简捷的运算方法,依据要求对数据进行估计和近似计算等。
推理论证能力:
是指在一定的逻辑法则下进行思考活动的一种思维能力。
能够正确理解和运用各种逻辑推理方法和论证方法,思维过程目的明确,条理清晰,并且善于将知识系统化、结构化。
它是一种有条件、有步骤、有依据、渐进式思维活动能力。
集合中元素的三个特性的应用:
例题1:
下列各组对象中能够构成集合的是()
A我国所有的老人B参加国家公务员考试的某些同学
C去年参加奥运的国家D美国NBA的篮球明星
解析:
因为老人没有明确的判定标准,故A中元素不确定,不能构成集合;
B中参加考试的同学没有具体给出,所以不能构成集合。
C参加奥运的国家是确定的,所以构成集合。
D因为美国NBA篮球明星没有确定的标准,所以对象不确定,故不能构成集合。
点拔:
判断一组对象能否构成一个集合,就是根据集合中元素的确定性来判断的,若符合集合中元素的确定性、互异性、无序性就可以构成一个集合,否则,就不能构成一个集合。
而判断某一组对象是否符合确定性,就是要看这些对象是否有一个明确的判断标准。
纵观近几年公务员考试真题,无论是国考还是地方考试,集合问题作为一个热点问题几乎每年都会考到,此类题目的特点是总体难度不大,只要方法得当,一般都很容易求解。
下面为大家介绍用数形结合方法解这类题的经典方法:
文氏图。
一般来说,考试中常考的集合关系主要有下面两种:
1.并集∪定义:
取一个集合,设全集为I,A、B是I中的两个子集,由所有属于A或属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集,表示:
A∪B。
比如说,现在要挑选一批人去参加篮球比赛。
条件A是,这些人年龄要在18岁以上,条件B是,这些人身高要在180CM以上,那么符合条件的人就是取条件A和B的并集,就是两个条件都符合的人:
18岁以上且身高在180CM以上。
2.交集∩定义:
(交就是取两个集合共同的元素)A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素,而没有其他元素的集合。
A和B的交集写作“A∩B”。
形式上:
x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。
例如:
集合{1,2,3}和{2,3,4}的交集为{2,3}。
数字9不属于素数集合{2,3,5,7,11}和奇数集合{1,3,5,7,9,11}的交集。
若两个集合A和B的交集为空,就是说他们没有公共元素,则他们不相交。
(I)取一个集合,设全集为I,A、B是I中的两个子集,X为A和B的相交部分,则集合间有如下关系:
A∩B=X,A+B=A∪B-X;
文氏图如下图。
(II)取一个集合,设全集为I,A、B、C是I中的两个子集,D=A∩C,E=B∩C,F=A∩B,x为A、B、C的公共部分,即x=A∩B∩C,则集合间有如下关系:
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C;
文氏图如下图
例题:
1.如下图所示,X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片,它们部分重叠放在一起盖在桌面上,总共盖住的面积为290,且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36,问阴影部分的面积是多少?
()
A.15B.16C.14D.18
2.旅行社对120人的调查显示,喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5:
3,喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7:
5,两种活动都喜欢的有43人,对这两种活动都不喜欢的人数是()。
A.18B.27C.28D.32
3.某外语班的30名学生中,有8人学习英语,12人学习日语,3人既学英语也学日语,问有多少人既不学英语又没学日语?
A.12B.13C.14D.15
4.电视台向100人调查昨天收看电视情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过。
问,两个频道都没有看过的有多少人?
A.4B.15C.17D.28
5.现有50名学生都做物理、化学试验,如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人,两种实验都做错的有4人,则两种实验都做对的有()
A.27人B.25人C.19人D.10人
6.接受采访的100个大学生中,88人有手机,76人有电脑,其中有手机没电脑的共15人,则这100个大学生中有电脑但没手机的共有多少:
A.25B.15C.5D.3
第三章行程、工程、牛顿问题
第一节行程问题
其中涉及距离、速度和时间三者之间的关系转变,距离=速度×
时间。
沿途人车相遇问题:
1.某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告,往返须1小时。
该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来,途中遇到接他的车,便坐上车去学校,于下午2点40分到达。
问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?
A.5倍
B.6倍
C.7倍
D.8倍
追及问题知识要点提示:
追及时间=追及距离/速度差
2.A、B两地相距20千米,甲、乙两人分别从A、B两站同时出发,乙在前,甲在后,1小时后甲因取物返回A地,取物后立即返回追乙,从开始算,经过8个小时甲追乙,已知道甲每个小时行14千米,乙每个小时行多少千米?
A6B8C10D9
发车时间间隔问题:
3.小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校,该路公共汽车也以不变速度不停地运行。
每隔10分钟就就有辆公共汽车从后面超过他,每隔6分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,公共汽车的速度是小红骑车速度的()倍?
A.3B.4C.5D.6
往返平均速度问题:
4.上楼速度以每分钟54个台阶走了10分钟,下楼走了8分钟,问上下楼平均速度是多少()
A30B20C31D21
5.一辆汽车以10千米/时的速度从A地开往B地,它又以15千米/时的速度从B地返回A地,则汽车行驶的平均速度为多少千米/小时?
A.11B.12C.13D.14
二次(多次)相遇问题:
6.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回,第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路。
()
A.130千米B.150千米C.180千米D.200千米
7.两辆汽车分别从A、B两地相向而行,在离A地52千米相遇,到达对方的城市后立刻以原来速度原路返回,在离A地44千米地方再次相遇。
两地距离()里?
A.200
B.150
C.120
D.100
顺流逆流问题
知识要点提示:
顺流速度=船速+水速,逆流速度=船速-水速;
船速=(顺流速度+逆流速度)÷
2,水速=(顺流速度—逆流速度)÷
2。
8.某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米,第二天在同河道中顺流航行12千米,逆流航行7千米,结果两次所用的时间相等。
假设船本身速度及水流速度保持不变,则顺水船速与逆水船速之比是:
A.2.5:
1B.3:
1C.3.5:
1D.4:
1
“漂流”问题:
9.一艘游轮逆流而行,从A地到B地需6天;
顺流而行,从B地到A地4天。
问若不考虑其他因素,一块塑料漂浮物从B地漂流到A地需要多少天?
A.12天B.16天c.18天D.24天
其他行程问题
10.解放军某部有600人,他们排成四列纵队,每相邻两排之间前后距离1米,队伍每分钟行进100米,现在要通过一个长801米的桥,问队伍完全通过该桥需要多少分钟?
A8分钟B9.5分钟C8.5分钟D10分钟
11.一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔5米。
这列车队共排列了多长?
如果车队每秒行驶2米,那么这列车队要通过535米长的检阅场地,需要多少时间?
第二节工程问题
工作量:
指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用“1”表示,也可以是部分工作量,常用分数表示。
工作效率:
指的是做工作的快慢,其意义是单位时间里所做的工作量。
核心公式:
工作量=工作效率×
工作时间
一般常用的计算公式:
工作效率=工作量÷
工作时间=工作量÷
工作效率
总工作量=各分工作量之和
求工作效率
1.甲、乙二人2小时共加工54个零件,甲加工3小时的零件比乙加工4小时的零件还多4个。
甲每小时加工多少个零件?
A.11B.16C.22D32
求工作时间
2.一篇文章,现有甲、乙、丙三人,如果由甲、乙两人合作翻译,需要10小时完成,如果由乙、丙两人合作翻译,需要12小时完成。
现在先由甲、丙两人合作翻译4小时,剩下的再由乙单独去翻译,需要12小时才能完成。
则,这篇文章如果全部由乙单独翻译,要()小时能够完成。
A.15B.18C.20D.25
求工作量
3.某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套;
如果每天生产23套服装,就可超过订货任务20套。
那么,这批服装的订货任务是多少套?
A.760B.1120C.900D.850
注意使用特值法。
4.一个蓄水池,1号进水管单独放水需要2小时,2号进水管单独放需要8小时,两管同时放水,期间1号管子停放2个小时,2号管子停放30分钟(不在同一时段),从开始放水到注满需要多少时间()
A3小时18分B2小时30分C8/5小时D4/5小时
5.大小两只猴子掰玉米,小猴子比大猴子少掰8个,小猴子掰的量是大猴子的12/13,那么,两个猴子总共掰了多少?
A300B200C312D210
第三节牛吃草问题(牛顿问题)
基本关系是:
不同头数的牛吃同一片草,吃光草的天数并不是相应比例的不同,因为,草地在生长。
解题的关键是:
求出草地的生长速度,再求
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