普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题及解答Word格式文档下载.docx
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=a+a
,且a=-6,那么a等于()
A.-165
n
B.-33
C.-30
p+qpq210
D.-21
12
7.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l,l,当直线l,l关于
y=x对称时,它们之间的夹角为()
A.30B.45C.60D.90
8.如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面
BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()
D1C1y
A1B1
yyy
N
MCO
xOxOxOx
ABA.
B.C.D.
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)(北京卷)
第Ⅱ卷(共110分)
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.已知(a-i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=.
10.已知向量a与b的夹角为120,且a=b=4,那么b(2a+b)的值为.
11.若⎛x2+
⎝
1⎫n
⎭
x3⎪
展开式的各项系数之和为32,则n=,其展开式中的常数项
为.(用数字作答)
12.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),
y
则f(f(0))=;
4AC
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“hehezmv”
2
1
B
O12
3456x
lim
∆x→0
f(1+∆x)-f
(1)=
∆x
.(用数字作答)
2⎡-ππ⎤
13.已知函数f(x)=x
-
cosx,对于⎢⎣
,上的任意x,x,有如下条件:
22⎦
①x>
x;
②x2>
x2;
③x>
x.
121212
其中能使f(x1)>
f(x2)恒成立的条件序号是.
14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:
第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,
⎧x=x
+1-
⎡⎛k-1⎫-T⎛k-2⎫⎤
⎪kk-1
5⎢Tç
5⎪ç
5⎪⎥
⎪⎣⎝⎭⎝⎭⎦
⎨
⎪y=y
+T⎛k-1⎫-T⎛k-2⎫.
⎪kk-1ç
5⎪ç
5⎪
⎩⎝⎭⎝⎭
T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为;
第2008棵树种植点的坐标应为.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数f(x)=sin2ωx+
3sinωxsin⎛ωx+π⎫(ω>
0)的最小正周期为π.
ç
2⎪
⎝⎭
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间⎡02π⎤上的取值范围.
,
⎣3⎦
16.(本小题共14分)
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(Ⅰ)求证:
PC⊥AB;
P
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;
(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.
AB
C
17.(本小题共13分)
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.
18.(本小题共13分)
已知函数f(x)=
2x-b
(x-1)2
,求导函数f'
(x),并确定f(x)的单调区间.
19.(本小题共14分)
已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(Ⅱ)当∠ABC=60时,求菱形ABCD面积的最大值.
20.(本小题共13分)
对于每项均是正整数的数列A:
a1,a2,,an,定义变换T1,T1将数列A变换成数列
T1(A):
n,a1-1,a2-1,,an-1.
对于每项均是非负整数的数列B:
b1,b2,,bm,定义变换T2,T2将数列B各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2(B);
又定义S(B)=2(b+2b++mb)+b2+b2++b2.
12m12m
设A0是每项均为正整数的有穷数列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,).
(Ⅰ)如果数列A0为5,3,2,写出数列A1,A2;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(T1(A))=S(A);
(Ⅲ)证明:
对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数K,当k≥K时,
S(Ak+1)=S(Ak).
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.D2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.-110.011.51012.2-2
13.②14.(1,2)(3,402)
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(共13分)
1-cos2ωx
解:
(Ⅰ)f(x)=+
sin2ωx=
sin2ωx-1cos2ωx+1
22
=sin⎛2ωx-π⎫+1.
222
6⎪2
因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω>
0,
所以2π=π,解得ω=1.
2ω
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin⎛2x-π⎫+1.
因为0≤x≤2π,
3
所以-π≤2x-π≤7π,
666
所以-1≤sin⎛2x-π⎫≤1,
2ç
6⎪
因此0≤sin⎛2x-π⎫+1≤3,即f(x)的取值范围为⎡0
3⎤.
6⎪22
⎣⎢,⎥⎦
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取AB中点D,连结PD,CD.
AP=BP,
∴PD⊥AB.
AC=BC,AB
∴CD⊥AB.
PDCD=D,C
∴AB⊥平面PCD.
PC⊂平面PCD,
∴PC⊥AB.
(Ⅱ)AC=BC,AP=BP,AB
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC,C
∴PC⊥BC.
又∠ACB=90,即AC⊥BC,且ACPC=C,
∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E.连结BE,CE.
AB=BP,∴BE⊥AP.
EC是BE在平面PAC内的射影,
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中,∠BCE=90,BC=2,BE=
3AB=,
∴sin∠BEC=BC=6.
BE3
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin6.P
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB⊥平面PCD,
∴平面APB⊥平面PCD.
过C作CH⊥PD,垂足为H.AB
平面APB平面PCD=PD,
∴CH⊥平面APB.C
∴CH的长即为点C到平面APB的距离.
由(Ⅰ)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且ABAC=A,
∴PC⊥平面ABC.
CD⊂平面ABC,
∴PC⊥CD.
在Rt△PCD中,CD=
1AB=,PD=
PB=6,
∴PC==2.
∴CH=PCCD=23.
PD3
∴点C到平面APB的距离为.
解法二:
(Ⅰ)AC=BC,AP=BP,
又PC⊥AC,
ACBC=C,
AB⊂平面ABC,
(Ⅱ)如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).
z
设P(0,0,t).P
PB=
AB=2,EH
yx
∴t=2,P(0,0,2).ABC
取AP中点E,连结BE,CE.
AC
=PC
,AB
=BP,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
E(0,1,1),EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),
∴cos∠BEC=
ECEB
ECEB
=2=.
∴二面角B-AP-C的大小为arccos.
(Ⅲ)AC=BC=PC,
∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H,且CH的长为点C到平面APB的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系C-xyz.
BH=2HE,
∴点H的坐标为⎛222⎫.
,,⎪
∴CH=
⎝333⎭
.
17.(共13分)
(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E,那么P(E
A31
)=3=,
A
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是1.
40
A24
54
A41
(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)=4=,
24
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=9.
10
(Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务,
C2A3
则P(ξ=2)=53
=1.
4
所以P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=3,ξ的分布列是
ξ
P
18.(共13分)
f
'
(x)=
2(x-1)2-(2x-b)2(x-1)(x-1)4
=-2x+2b-2(x-1)3
=-2[x-(b-1)].
(x-1)3
令f'
(x)=0,得x=b-1.
当b-1<
1,即b<
2时,f'
(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,b-1)
b-1
(b-1,1)
(1,+∞)
f'
(x)
+
当b-1>
1,即b>
2时,f'
(x)的变化情况如下表:
(-∞,1)
(1,b-1)
(b-1,+∞)
所以,当b<
2时,函数f(x)在(-∞,b-1)上单调递减,在(b-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
当b>
2时,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,b-1)上单调递增,在(b-1,+∞)上
单调递减.
当b-1=1,即b=2时,f(x)=
上单调递减.
19.(共14分)
x-1
,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)
(Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.
⎧x2+3y2=4
⎩
由⎨y=-x+n
得4x2-6nx+3n2-4=0.
因为A,C在椭圆上,
所以∆=-12n2+64>
0,解得-43<
n<
.
设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=
3n
2,x1x2
3n2-4
,y1=-x1+n,y2=-x2+n.
所以y+y=n.
122
⎛3nn⎫
所以AC的中点坐标为ç
,⎪.
44⎭
由四边形ABCD为菱形可知,点ç
,⎪在直线y=x+1上,
所以n=3n+1,解得n=-2.
44
所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60,
所以AB
=BC
=CA.
所以菱形ABCD的面积S=
3AC2.
-3n2+16
由(Ⅰ)可得AC
=(x1-x2)
+(y1-y2)=2,
所以S=
3(-3n2+16)⎛-<
⎫.
4ç
33⎪
所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值4.
20.(共13分)
(Ⅰ)解:
A0:
5,3,2,
T1(A0):
3,4,2,1,
A1=T2(T1(A0)):
4,3,2,1;
T1(A1):
4,3,2,1,0,
A2=T2(T1(A1)):
4,3,2,1.
(Ⅱ)证明:
设每项均是正整数的有穷数列A为a1,a2,,an,则T1(A)为n,a1-1,a2-1,,an-1,
从而
S(T1(A))=2[n+2(a1-1)+3(a2-1)++(n+1)(an-1)]
+n2+(a-1)2+(a-1)2++(a
-1)2.
12n
又S(A)=2(a+2a++na)+a2+a2++a2,
12n12n
所以S(T1(A))-S(A)
=2[n-2-3--(n+1)]+2(a+a++a)+n2-2(a+a++a
)+n
=-n(n+1)+n2+n=0,故S(T1(A))=S(A).
设A是每项均为非负整数的数列a1,a2,,an.
当存在1≤i<
j≤n,使得ai≤aj时,交换数列A的第i项与第j项得到数列B,则S(B)-S(A)=2(iaj+jai-iai-jaj)=2(i-j)(aj-ai)≤0.
当存在1≤m<
n,使得am+1=am+2==an=0时,若记数列a1,a2,,am为C,则S(C)=S(A).
所以S(T2(A))≤S(A).
从而对于任意给定的数列A0,由Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2,)
可知S(Ak+1)≤S(T1(Ak)).
又由(Ⅱ)可知S(T1(Ak))=S(Ak),所以S(Ak+1)≤S(Ak).
即对于k∈N,要么有S(Ak+1)=S(Ak),要么有S(Ak+1)≤S(Ak)-1.
因为S(Ak)是大于2的整数,所以经过有限步后,必有S(Ak)=S(Ak+1)=S(Ak+2)=.即存在正整数K,当k≥K时,S(Ak+1)=S(Ak).
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