完整版算法分析与设计习题集整理Word文档格式.docx
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指在解决问题时,根据某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程.通俗讲,算法:
就是解决问题的方法或过程.
2)特征:
1)算法有零个或多个输入;
2)算法有一个或多个输出;
3)确定性;
4)有穷性
3、给出算法的定义何谓算法的复杂性
计算下例在最坏情况下的时间复杂性
for(j=1;
j++)
(1)
i++)
(2)
{c[i][j]=0;
(3)
k++)(4)
}(5)
1)定义:
指在解决问题时,根据某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程.
2)算法的复杂性:
指的是算法在运行过程中所需要的资源(时间、空间)多少.所需资源越多,说明算法的复杂性越高
3)该算法的主要元操作是语句5,其执行次数是n3次.故该算法的时间复杂度记
为O(n3).
4、算法A和算法B解同一问题,设算法A的时间复杂性满足递归方程
'
T(n)=1,n=1
T(n)=4T(n/2)+n,n>
1
算法B的时间复杂性满足递归方程3T"
)=1,n=1,假设要使得算法A时间复杂
T(n)=aT(n/4)+n,n>
性的阶高于算法B时间复杂性的阶,a的最大整数值可取多少
分别记算法A和算法B的时间复杂性为TA(n)和TB(n),解相应的递归方程得:
TA(n)=O(n2)
O(n),a<
4
TB(n)=<
O(nlogn),a=4
log4a.
0(n),a>
4
依题意,要求最大的整数a使彳11TB(n)〈TA(n).显然,当a<
=4时,TB(n)〈TA(n);
当a>
4时,TB(n)<
TA(n)u10g4am2ua<
42=16.
所以,所求的a的最大整数值为15.
5、算法分析的目的
1)为了对算法的某些特定输入,估算该算法所需的内存空间和运行时间;
2)是为了建立衡量算法优劣的标准,用以比拟同一类问题的不同算法.
6、算法设计常用的技术(写5种)
①分治法;
②回溯法;
③贪心法;
④动态规划法
⑤分治限界法;
⑥蛮力法;
⑦倒推法
三、算法设计题
1、蛮力法:
百鸡百钱问题
2、倒推法:
穿越沙漠问题
第二章分治算法〔1〕----递归循环
一、填空题:
1、直接或间接地调用自身的算法称为递归算法,用函数自身给出定义的函数称为_递
归函数.
2、递归方程和约束函数〔递归终止条件〕是递归函数的两个要素.
二、判断题:
1、所有的递归函数都能找到对应的非递归定义.〔V〕
2、定义递归函数时可以没有初始值.〔X〕
三、简做题:
1、什么是递归算法递归算法的特点
1〕递归算法:
是一个模块〔函数、过程〕除了可调用其它模块〔函数、过程〕外,还可以直接或间接地调用自身的算法.
2〕递归算法特点:
①每个递归函数都必须有非递归定义的初值;
否那么,递归函数无法计算;
〔递归终止条
件〕
②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值;
〔递归方程式〕
2、比拟循环与递归的异同
1〕相同:
递归与循环都是解决“重复操作〞的机制.
2〕不同:
就效率而言,递归算法的实现往往要比迭代算法消耗更多的时间〔调用和返回均需要额
外的时间〕与存贮空间〔用来保存不同次调用情况下变量的当前值的栈栈空间〕,也限制了
递归的深度.
每个迭代算法原那么上总可以转换成与它等价的递归算法;
反之不然.
递归的层次是可以限制的,而循环嵌套的层次只能是固定的,因此递归是比循环更灵活的重复操作的机制.
3、递归算法解题通常有三个步骤
1〕分析问题、寻找递归:
找出大规模问题与小规模问题的关系,这样通过递归使问题的规模逐渐变小.
2〕设置边界、限制递归:
找出停止条件,即算法可解的最小规模问题.
3〕设计函数、确定参数:
和其它算法模块一样设计函数体中的操作及相关参数.
四、算法设计题:
1、楼梯上有n个台阶,上楼时可以上1步,也可以上2步,设计一递归算法求出共有多少
种上楼方法F(n).
①写出F(n)的递归表达式
②并写出其相应的递归算法
解:
分析:
到n阶有两种走法:
1)n-1阶到n阶;
2)n-2阶到n阶;
1n=1
F(n)=2n=2
F(n-1)+F(n-2)n>
2
②写出其相应的递归算法
IntF(intn)
(
if(n=1)return1;
elseif(n=2)
return2;
else
returnF(n-1)+F(n-2);
2、设a,b,c是3个塔座.开始时,在塔座a上有一叠共n个圆盘,这些圆盘自下而上,由
大到小地叠在一起.各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到
塔座b上,并仍按同样顺序叠置.在移动圆盘时应遵守以下移动规那么:
规那么1:
每次只能移动1个圆盘;
规那么2:
任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上;
规那么3:
在满足移动规那么1和2的前提下,可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上.
①写出该问题的解题步骤
①第一步:
将n—1个盘子看成一个整体,从A移到C;
第二步:
将第n个盘子移到B;
第三步:
将n—1个盘子看成一个整体,从C移到B;
②写出其相应的递归算法:
voidhanoi(intn,inta,intb,intc)
{if(n>
0)
hanoi(n-1,a,c,b);
move(a,b);
hanoi(n-1,c,b,a);
第二章分治算法
(2)分治算法
1、在快速排序、插入排序和合并排序算法中,插入排序算法不是分治算法.
2、合并排序算法使用的是分治算法设计的思想.
3、二分搜索算法是利用分治算法思想设计的.
1、适合用分治算法求解的问题具有的根本特征
1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决;
2)该问题可以分解为假设干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质;
3)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题.
4)利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解;
2、分治算法根本思想,解题步骤?
三、算法设计题:
1、改写二分查找算法:
设a[1…n]是一个已经排好序的数组,改写二分查找算法,使得当搜索元素x不在数组中时,返回小于x的最大元素位置i,和大于x的最小元素位置j;
当搜索元素x在数组中时,i和j相同,均为x在数组中的位置.
并分析其时间复杂度
intbinsearch(inta[n],intx,)//x待查数据
{intmid,i,j;
low=1;
inthigh=n;
while(low<
=high)
{mid=(low+high)/2;
if(a[mid]=x)returni=j=mid;
if(a[mid]>
x)high=mid-1;
//继续在左边查找
else//(a[mid]<
x)
low=mid+1;
//继续在右边查找
}i=right;
j=left;
return0;
//low大于high查找区间为空,查找失败
计算时间复杂性为O(logn)2、棋盘覆盖在一个2kx2k个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其它方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘.在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖.
求:
①简述分治算法的根本思想
②设计该棋盘覆盖问题的分治算法
③计算所设计算法的时间复杂度〔要求写出递推公式〕
①
分解:
将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同子问题,以便各个击破,分
而治之.
对这k个子问题分别求解:
如果子问题的规模仍然不够小,那么再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止求小问题解、合并:
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问
题的解.
②、③
3、金块问题〔求最大最小兀问题〕
老板有一袋金块〔共n块〕,最优秀的雇员得到其中最重的一块,最差的雇员得到其中最轻的
一块.假设有一台比拟重量的仪器,我们希望用最少的比拟次数找出最重的金块.
②设计该金块问题的分治算法
①简述分治算法的根本思想:
问题可以简化为:
在含n〔n是2的哥〔n>
=2〕〕个元素的集合中寻找极大元和极小元.
用分治法〔二分法〕可以用较少比拟次数地解决上述问题:
1〕将数据等分为两组〔两组数据可能差1〕,目的是分别选取其中的最大〔小〕值.
2〕递归分解直到每组元素的个数w2,可简单地找到最大〔小〕值.
3〕回溯时将分解的两组解大者取大,小者取小,合并为当前问题的解.
第三章动态规划算法
1、动态规划算法中存储子问题的解是为了防止重复求解子问题.
2、〔最优子结构〕是问题能用动态规划算法求解的前提.
3、矩阵连乘问题的算法可由〔动态规划〕算法设计实现.
1、动态规划算法根本要素的是最优子结构.〔V〕
2、最优子结构性质是指原问题的最优解包含其子问题的最优解.〔V〕
3、动态规划算法求解问题时,分解出来的子问题相互独立.〔X〕
1、动态规划算法解题步骤
①找出最优解的性质,并刻划其结构特征;
〔即原问题的最优解,包含了子问题的最优解〕
②递归地定义最优值;
〔即子问题具有重叠性,由子问题定义原问题〕
③以自底向上的方式计算出最优值;
④根据计算最优值时得到的信息,构造最优解;
2、动态规划算法根本思想
动态规划算法与分治法类似,其根本思想也是将待求解问题分解成假设干个子问题;
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的.不同子问题的数目常常只有多项式量级.
在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许屡次;
如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以防止大量重
复计算,从而得到多项式时间算法.
3、动态规划与分治算法异同点?
4、动态规划算法的根本要素?
四、算法设计与计算题:
1、X=a,X2,L,XmNY={y1,y2,L,yj的最长公共子序列为Z={z1,4,L,zj.
问:
假设用c[i][j]记录序列Xj={%,x2,L,x}和丫={y1,y2,L,力}公共子序列长度.求:
①用动态规划法求解时,计算最优值的递归公式
②设计计算最优值的算法以及构造最优解的算法
2、长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2…n.游客可在这些游艇出租站
租用游艇,并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇.
游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r(i,j),其中1<
=i<
=n;
①用动态规划法求解时,计算最优值(最少租金)的递归公式
②设计计算最优值(最少租金)的算法
③并分析其时间复杂度
0i二j
r[i,j]min{r[i,k]r[k1,j]}ij.i_k:
;
:
j
②计算最优值算法
publicstaticvoidmatrixChain(int[]p,int[][]m,int[][]s){
intn=p.length-1;
for(inti=1;
i<
=n;
i++)m[i][i]=0;
//1个站
for(intr=2;
r<
r++)
=n-r+1;
i++)
{intj=i+r-1;
m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j];
s[i][j]=i;
//断点位置在i处
for(intk=i+1;
k<
j;
k++)
{intt=m[i][k]+m[k+1][j];
if(t<
m[i][j])
{m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}}}}
构造最优解算法
publicvoidtraceback(ints[][],intI,intj){if(i=j)return;
traceback(s,i,s[i][j]);
traceback(s,s[i][j]+1,j);
System.out.println("
A"
+i++s[i][j]+«
A+s[i][j]+1+
+j)
}//(m[i,s[i][j]])(m[s[i][j]+1,j])
③时间复杂度:
O(n3)
第4章贪心算法
一、填空题:
1、某单位给每个职工发工资〔精确到元〕.为了保证不要临时兑换零钱,且取款的张数最少,
统计所需各种币值〔100,50,20,10,5,2,1元共七种〕的张数.
贪心算法如下:
voidgreedy_zhaoling(floatGZ,intB[],intS[])〃GZ
计算当前总价值,mHF包剩余载重
;
//计算物品单位价值ww[]
初始化
按单位价值将物品排序,便于贪心选择
贪心选择,总是选择价值最大放入背包
当前物品小于背包剩余载重
2、贪心算法的两个根本要素是〔贪心选择性〕和〔最优子结构〕.
3、给定n种物品和一个背包.物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为M应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大.
floatgreedy_knapsack(floatM,floatw[],floatp[],floatx[])
//x[]背包问题最优解,w[]物品重量,P[]物品价值
{intn=w.length;
floatpp=0;
floatmm=M;
//pp
for(inti=1;
{
floatww[i]=p[i]/w[i]
x[i]=0;
}//
Mergesort(w[],n);
//
i++)//
x[i]=1;
mm=mm-w[i];
PP=PP+P[i];
}
〔
x[i]=mm/w[i];
PP=PP+x[i]*P[i];
break;
}//i局部放入背包
returnpp;
1、满足贪心选择性质必满足最优子结构性质.〔X〕
1、贪心算法的根本思想
2、贪心算法的根本要素
3、贪心算法与动态规划算法的异同
1、假设有7个物品,它们的重量和价值如下表所示.假设这些物品均可以被分割,且背包容量七150,如果使用贪心方法求解此背包问题〔背包不超载的前提下,装载的物品价值达到最大〕.
物品
A
B
C
D
E
F
G
35
30
60
50
40
10
25
价值
①利用贪心算法求解该问题时,为了进行贪心选择,首先应该做什么然后进行贪心装载,给出一种正确的物品装载顺序并给出其最优装载方案
②利用贪心思想设计该普通背包问题的贪心算法
③分析其时间复杂度
①1〕依据不同的标准对这些物品进行排序,标准有重量、价值、单位价值;
2〕重量从小到大:
FGBAEDC得到的贪心解为:
FGBAE全部放入,D放入20%,得到
价值为165;
价值从大到小:
DFBEGCA得到的贪心解为:
DFBE全部放入,G放入80%,得到价值为189;
单位价值从大到小:
FBGDECA得到的贪心解为:
FBGD全部放入,E放入87.5%,得到价值为190.625;
3)显然使用单位价值得出最正确转载方案.
2、设有n个活动集合,其中每个活动都要求使用同一资源,如足球场,而在同一时间只能
有一个活动使用该资源.
每个活动i都有一个要求使用该资源起始时间si和结束时间fi,且si<
fi;
如果选
择了活动i,那么它在半开区间[si,fi)占用资源.
假设两个活动[si,fi)与[sj,fj)不相交,那么称活动i与活动j是相容的;
活动安排问题:
就是在所给的活动集合中选出最大相容活动子集合;
①利用贪心算法求解该问题的根本思想
②设计该活动安排问题的贪心算法并分析其时间复杂度
3、给定以下图G=(V,E)是一个无向连通图,对每一条边(v,w),其权彳1为c(v,w);
①利用prim算法构造其最小生成树,画出其选边的过程
并构造其算法并分析其时间复杂度
②利用kruskal算法构造其最小生成树,画出其选边的过程?
4、对以下图中的有向图,应用Dijkstra算法计算从源(顶点1)到其它顶点间最短路径的过程
要求:
给出Dijkstra算法的迭代过程,计算源到给个顶点的最短路径(用表表示)
见课本123页表4-2
迭代过程:
迭代
S
U
dist[2]
dist[3J
dlst[4]
dist[5]
新骷
(1)
—
maxinI
100
{1,2}
[1,2,4)
90
3
{1,2,4,3}
41
[1,2,4,3,5)
5
P50
Dijkstra算法的迭代过程;
=士_丝枣二二;
V-S
第5章回溯算法
一、填空题
1、回溯法与分支限界法搜索方式不同,回溯法按深度优先搜索解空间,分支限界法按
广度优先或最小消耗优先搜索解空间.
二、判断题
1、回溯法中限界函数的目的是剪去得不到最优解的子树.〔V〕
2、分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法,两者的
搜索方式是相同的.〔X〕三、简做题
1、简述回溯法和分支限界法的相同点和不同点
2、什么是子集树什么是排列树什么叫满m叉树
3、回溯算法的根本思想回溯算法的解题步骤四、算法设计题
1、n皇后问题
在4X4格的棋盘上放置彼此不受攻击的4个皇后.根据国际象棋的规那么,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子.
用回溯算法解决4皇后问题:
①构造求解该问题的解空间树
②设计该4皇后问题的回溯算法
①解空间树
2、0—1背包问题:
假设有3个物品,它们的重量和价值如下表所示.假设这些物品均不可以被分割,且背包
容量M=10,问应该如何装入使背包中物品的总价值最大
用回溯算法求解该0—1背包问题:
②设计该0—1背包问题的回溯算法
1〕解空间树;
重量
6
42
2)3、图的着色问题:
如以下图
给定无向连通图G和m种不同的颜色;
用这m种颜色为图G的各个顶点着色,是否有一种方法使得图G中每一条边的两个顶点着不同颜色;
②设计该图的着色问题回溯算法
1〕解空间树:
2)算法:
doublemcoloring(intmm)
{intm=mm;
doublesum=0;
backtrack
(1);
returnsum;
//m
//sum
可用颜色数
当前着色方案数
深度优先搜索解空间
voidbacktrack(intt){if(t>
n)//
{sum++;
搜索到叶子节点
着色方案数加1
for(inti=1;
i++)system.out.print(x[i]);
}//输出解,顶点i着颜色else//搜索到中间节点{for(inti=1;
=m;
x[i]
{x[t]=i;
if(ok(t))
backtrack(t+1);
顶点t着颜色i=1.•.m
当前着色顶点与以前相邻顶点是否同色
booleanok(intk)//
{for(intj=1;
j<
j++)
if(a[k][j]&
&
(x[j]==x[k]))
//数组a[][]是图的邻接矩阵
且色同:
x[j]==x[k]
returnfalse;
elsereturntrue;
③算法分析(m种颜色,n个节点)
计算限界函数,一重for循环时间复杂度:
O(n);
在最坏的情况下每一个内节点都需要判断约束,内节点个数:
1+m+m+
n3++mn-1=(mn-1)/(m-1)个;
故图的m着色问题的回溯算法,时间复杂度为:
O(n*mn).
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