高中数学竞赛系列讲座指数函数与对数函数Word格式.docx
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0,N>
0)
3.指数运算与对数运算的关系:
X=alogax;
mlogan=nlogam
4.负数和零没有对数;
1的对数是零,即
loga1=0;
底的对数是1,即logaa=1
5.对数换底公式及其推论:
换底公式:
logaN=logbN/logba
推论1:
logamNn=(n/m)logaN
推论2:
三、指数函数与对数函数
函数y=ax(a>
0,且a≠1)叫做指数函数.它的基本情况是:
(1)定义域为全体实数(-∞,+∞)
(2)值域为正实数(0,+∞),从而函数没有最大值与最小值,有下界,y>
(3)对应关系为一一映射,从而存在反函数--对数函数.
(4)单调性是:
当a>
1时为增函数;
当0<
a<
1时,为减函数.
(5)无奇偶性,是非奇非偶函数,但y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax与y=-ax的图象关于x轴对称;
y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称.
(6)有两个特殊点:
零点(0,1),不变点(1,a)
(7)抽象性质:
f(x)=ax(a>
0,a≠1),
f(x+y)=f(x)·
f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)
函数y=logax(a>
0,且a≠1)叫做对数函数,它的基本情况是:
(1)定义域为正实数(0,+∞)
(2)值域为全体实数(-∞,+∞)
(3)对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数.
1时是增函数,当0<
1时是减函数.
(5)无奇偶性.但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称,y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称,y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称.
(6)有特殊点(1,0),(a,1)
(7)抽象运算性质f(x)=logax(a>
f(x·
y)=f(x)+f(y),
f(x/y)=f(x)-f(y)
例1.若f(x)=(ax/(ax+√a)),求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)
分析:
和式中共有1000项,显然逐项相加是不可取的.需找出f(x)的结构特征,发现规律,注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1,
而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·
√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了,这启示我们将和式配对结合后再相加:
原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500
说明:
观察比较,发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口.
(1)取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题:
设f(x)=(4x/(4x+2)),那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= .
(2)上题中取a=9,则f(x)=(9x/(9x+3)),和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).
(3)设f(x)=(1/(2x+√2)),利用课本中推导等差数列前n项和的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 .这就是2003年春季上海高考数学第12题.
例2.5log25等于:
()
(A)1/2(B)(1/5)10log25(C)10log45(D)10log52
解:
∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×
10log25
∴选(B)
这里用到了对数恒等式:
alogaN=N(a>0,a≠1,N>0)
这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题.
例3.计算
解法1:
先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形.
解法2:
利用算术根基本性质对真数作变形,有
乘法公式的恰当运用化难为易,化繁为简.
例4.试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小.
对于两个正数的大小,作商与1比较是常用的方法,记122003=a>0,则有
((122002+1)/(122003+1))÷
((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·
((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))>1
故得:
((122002+1)/(122003+1))>((122003+1)/(122004+1))
例5.已知
(a,b为实数)且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是()
(A)-5(B)-3(C)3(D)随a,b的取值而定
设lglog310=t,则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t
而f(t)+f(-t)=
∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3
由对数换底公式可推出logab·
logba=(lgb/lga)·
(lga/lgb)=1,即logab=(1/logba),因而lglog310与lglg3是一对相反数.设
中的部分
则g(x)为奇函数,g(t)+g(-t)=0.这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解,关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形.
例6.已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R)
(1)求反函数y=f-1(x)
(2)判断函数y=f-1(x)是奇函数还是偶函数
(1)求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来,然后再对调x,y即得到y=f-1(x);
(2)判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义,看当X∈R时是否有
f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0)
或f(-x)=f(x)
恒成立.
(1)由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x,设10x=t,上式化为:
2y=t-t-1两边乘t,得2yt=t2-1整理得:
t2-2yt-1=0,解得:
由于t=10x>0,故将
舍去,得到:
将t=10x代入上式,即得:
所以函数y=((10x-10-x)/2)的反函数是
(2)由
得:
∴f-1(-x)=-f(x)
所以,函数
是奇函数.
①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论:
函数y=((ax-a-x)/2)(X∈R,a>0,a≠1)的反函数是
它们都是奇函数.当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目.进一步还可以研究它们的单调性,如1992年高考数学试题:
函数y=((ex-e-x)/2)的反函数
(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数;
(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数;
(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数;
(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.
②函数y=((ax-a-x)/2)是由y=f(x)=ax构造而得,全日制普通高级中学教科书(试验修订本.必修)《数学》第一册(上)(人民教育出版社中学数学室编著)P107复习参考题二B组第6题:
设y=f(x)是定义在R上的任一函数,
求证:
(1)F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数;
(2)F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.
而f(x)=F1(X)+F2(x),它说明,定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一个偶函数(F1(x))的代数和.从这个命题出发,由f(x)=ax就可以构造出诸多奇函数,比如,y=((ax-a-x)/2);
y=((ax-a-x)/(ax+a-x))=((a2x-1)/(a2x+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…(无理数)作底,作函数sh(x)=((ex-e-x)/2),ch(x)=((ex+e-x)/2),th(x)=((ex-e-x)/(ex+e-x))它们分别叫做双曲正弦函数,双曲余弦函数,双曲正切函数,它们具有如下性质:
(1)ch2(x)-sh2(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)·
ch(y)+ch(x)·
sh(y);
(3)ch(x+y)=ch(x)·
ch(y)+sh(x)·
(4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·
th(y)));
(5)ch(-x)=ch(x);
(6)sh(-x)=-sh(x);
(7)th(-x)=-th(x).
令x=y,则有
(8)sh(2x)=2sh(x)·
ch(x);
(9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x)
其中①⑧⑨合起来,就是课本P107的第8题.
例7.已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a>0,a≠1)
(1)求f(x)的定义域
(2)判断f(x)的奇偶性并给以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x取值范围;
(4)求它的反函数f-1(x)
(1)由对数的定义域知((1+x)/(1-x))>0
解这个分式不定式,得:
(x+1)(x-1)<0,-1<x<1
故函数f(x)的定义域为(-1,1)
(2)f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))-1=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x)
由奇函数的定义知,函数f(x)是奇函数.
(3)由loga((1+x)/(1-x))>0<=>loga((1+x)/(1-x))>loga1,
因为a>1,所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))>1,考虑由
(1)知x<1,1-x>0,去分母,得:
1+x>1-x,x>0故:
0<x<1
所以对于a>1,当x∈(0,1)时函数f(x)>0
(4)由y=loga((1+x)/(1-x))得:
((1+x)/(1-x))=ay应用会比分比定理得:
((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:
(2/2x)=((ay+1)/(ay-1))
∴x=((ay-1)/(ay+1))交换x,y得:
y=((ax-1)/(ax+1)),它就是函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数f-1(x)即f-1(x)=((ax-1)/(ax+1))
(1)函数y=loga((1+x)/(1-x))与y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数.取a=e,函数y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 .这就是89年的高考题目.
(2)已知f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈(-1,1)求证:
f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))(P89习题2.8第4题)可以看作该类函数的性质.
(3)y=ax与y=logax;
y=((ax-a-x)/2)与
;
y=((ax-1)/(ax+1))与y=loga((1+x)/(1-x))这三对互反函数及其性质需要理解记忆.
例8.22003的十进制表示是个P位数,52003的十进位表示是个q位数,则p+q= .
∵22003是个P位数,
∴10p-1<22003<10p①
∵52003是个q位数,
∴10q-1<52003<10q②
①×
②得:
10p+q-2<(2×
5)2003<10p+q
即10p+q-2<102003<10p+q③
∴2003=p+q-1
∴p+q=2004
例9.已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根,求实数a的范围.
方程有一正根一负根的充分必要条件是:
loga(a2-a)<0(由韦达定理而来)①
由a>0,a≠1,a2-a=a(a-1)>0,可得a>1②,从而由loga(a2-a)<0=loga1得:
a2-a<1,a2-a-1<0,解得:
③,由②③得:
例10.设y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0),求使y为负值的x的取值范围
∵(1/2)<1,要使y<0,只要
a2x+2(ab)x-b2x+1>1,
即a2x+2(ab)x-b2x>0
→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]>0
→[(a/b)x]2+2(a/b)x-1>0
→
→∵
.
1°
当a>b>0时,a/b>1,
2°
当b>a>0时,0<a/b<1,
3°
当a=b>0时,x∈R.
练习四
1.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么()
(A)(1/c)=(1/a)+(1/b),(B)(2/c)=(2/a)+(1/b),(C)(1/c)=(2/a)+(2/b),(D)(2/c)=(1/a)+(2/b)
2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·
f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)()
(A)是奇函数(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数
3.若f(x)=3x+5,则f-1(x)的定义域是()
(A)(0,+∞)(B)(5,+∞)(C)(8,+∞)(D)(-∞,+∞)
4.求值:
6lg40×
5lg36
5.已知m,n为正整数,a>0,a≠1,且logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan.求m,n
6.X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间()
(A)(-2,-1)(B)(1,2)(C)(-3,-2)(D)(2,3)
7.计算:
(1)lg20+log10025
(2)lg5·
lg20+(lg2)2
8.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,∣x∣,y},则log8(x2+y2)= .
9.若x∈(1,10),则lg2x,lgx2,lglgx的大小顺序是:
(A)lg2x<lgx2<lglgx(B)lg2x<lglgx<lgx2
(C)lgx2<lg2x<lglgx(D)lglgx<lg2x<lgx2
10.计算:
11.集合{x∣-1≤log(1/x)10<-(1/2),x∈N}的真子集的个数是.
12.求函数y=(1/4)x2-2x-3的单调区间.
13.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),求满足f(3x2-4x-5)>
f(2x2-3x+1)的x的取值.
14.解方程8log6(x2-7x+15)=5log68
15.设有关于x的不等式lg(∣x+3∣+∣x-7∣)>a
(1)当a=1时,解这个不等式;
(2)当a为何值时,这个不等式的解集为R?
参考答案
1.(B);
2.(A);
3.(B);
4.216;
5.m=2,n=2;
6.(D);
7.
(1)2,
(2)1;
8.1/3;
9.(D);
10.1/2;
11.290-1;
12.单调增区间(-∞,1],单调减区间[1,+∞)
13.当a>1时,x<-2或x>3,当0<a<1时,-2<x<3;
14.x1=2,x2=5;
15.
(1)x<-3或x>7,
(2)a<1
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