第一章解析几何教案Word文档格式.docx
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总计
64
一、课程内容
第一章矢量与坐标
【说明】:
学习目标
知识结构
一、知识网络
二、重点内容提示表,
1、矢量的概念
2,矢量的线性运算
运算
定义
性质
矢量的加法
设已知矢量a,b,以空间任意一点o为始点,做矢量OA=a,AB=b,得一折线OAB,从折线的端点o到另一端点的矢量OB=c,叫做矢量a,b的和,记做c=a+b。
把求两矢量和的运算叫做矢量加法。
1、交换律a+b=b+a
2、结合律(a+b)+c=a+(b+c)
3、矢量加法有三角形法则、平行四边形法则、多边形法则。
矢量减法
当矢量b与矢量c的和等于矢量a,即b+c=a时,我们把矢量c叫做矢量a,b的差,并记做c=a-b。
由两矢量a,b求它们的差的运算叫做矢量减法。
1、a-b=a+(-b)
2、a-(-b)=a+b
数量与矢量的乘法
实数λ与矢量a的乘积是一个矢量,记做λa,它的模是∣λa∣=∣λ∣∣a∣;
λa的方向,当λ>
0时,与a的方向相同,当λ<
0时,与a的方向相反。
我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法,简称数乘。
1、1·
a=a
2、结合律
λ(μa)=(λμ)a
3、第一分配律
(λ+μ)a=λa+μa
4、第二分配律
λ(a+b)=λa+λb
3,矢量线性关系的概念
线性关系
注释
矢量a1,a2,……an的线性组合
由矢量a1,a2,……an与数量λ1,λ2,…λn所组成的矢量a=λ1a1+λ2a2+….+λnan叫做矢量a1,a2,……an的线性组合。
1、当矢量a是矢量a1,a2,……an的线性组合时,也说:
矢量a可以分解为a1,a2,……an的线性组合
2、λa也称为矢量a的线性组合
矢量a1,a2,……an的线性相关
对于n(n≥1)个矢量a1,a2,……an,如果存在不全为零的n个数λ1,λ2…λn使得λ1a1+λ2a2+….+λnan=0,那么n个矢量a1,a2,……an叫做线性相关。
1、只有当λ1=λ2=…=λn=0时,λ1a1+λ2a2+….+λnan=0才能成立,则称矢量a1,a2,……an线性无关。
2、矢量a1,a2,……an线性相关的充要条件是其中一个矢量是其余矢量的线性组合(n≥2)
3、一个矢量线性相关的充要条件是a=0
4、如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关
5、一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关。
4,矢量间的线性关系
矢量关系
线性表示
线性相关
注
矢量r,e共线
r=xe
R与e线性相关
X被r,e唯一确定(e≠0,称为共线矢量的基底)
矢量r与e1,e2共面
R=xe1+ye2
R与e1,e2线性相关
x,y被e1,e2,r唯一确定(e1,e2不共线,e1,e2叫平面上矢量的基底)
四个矢量r,e1,e2e3共体
R=xe1+ye2+ze3
R与e1,e2e3线性相关
1、e1,e2e3不共面
2、x,y,z被r,e1,e2e3唯一确定(e1,e2e3不共面,叫空间矢量的基底)
四个以上矢量r,a1,a2,……an
R=x1a1+x2a2+….+xnan
R与a1,a2,……an总是线性相关的
5,矢量的乘法运算
几何意义
典型应用
两矢量的数性积(a·
b)
两矢量a,b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a,b的数性积(内积),记做a·
b或ab即a·
b=∣a∣∣b∣cos∠(a,b)
矢量a与b间的夹角cos∠(a,b)=
1、交换律
a·
b=b·
a
2、数因子的结合律
(λa)·
b=λ(a·
b)=a·
(λb)
3、分配律
(a+b)·
c=a·
c+b·
c
判断两矢量是否相互垂直,若a·
b=0,则a⊥b
两矢量的矢性积(a×
两矢量a,b的矢性积是一个矢量,记做a×
b或[ab]它的模是∣a×
b∣=∣a∣∣b∣sin∠(a,b).它的方向与a,b都垂直,并按a,b,a×
b这个顺序构成右手标架
两矢量a,b不共线时.∣a×
b∣等于以a,b为邻边的平行四边形的面积
1,a×
b=-(b×
a)
2,λ(a×
b)=(λa)×
b=a×
3,(a+b)×
c=a×
c+b×
判断两矢量是否共线,若a×
b=0,则a与b共线.
三矢量的混合积(abc)
给定空间的三个矢量a,b,c,如果先做前两个的矢性积a×
b,再作所得的矢量与第三个矢量c的数性积,最后得到的这个数叫做三个矢量a,b,c的混合积,记做(a×
b)·
c或(a,b,c)或(abc)
三个不共线矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积,即V=
(abc)=(bca)=cab)=-(bac)=-(acb)=-(cba)
判断三个矢量是否共面,若(abc)=0,则矢量a,b,c共面.
三矢量的双重矢性积(a×
b)×
给定空间三矢量,先做其中两个矢量的矢性积,再作所得矢量与第三个矢量的矢性积,那么最后的的结果仍然是一矢量,叫做所给三矢量的双重矢性积,简称三矢矢积.
(a×
1,它与a,b共面
2,它与c垂直
3,它与a×
b垂直
1.(a×
c=(a·
c)b-(b·
c)a
2.(a×
c)b-(a·
b)c
§
1.3数量乘矢量
一、定义1.3.1实数λ与矢量a的乘积是一个矢量,记做λa.它的模是λa=λa;
λa的方向,当λ>
0时与a相同,当λ<
0时,与a的方向相反.我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法.简称为数乘.
二、定理1.3.1数量与矢量的乘法满足下面的运算规律:
2、结合律λ(μa)=(λμ)a
3、第一分配律(λ+μ)a=λa+μa
4、第二分配律λ(a+b)=λa+λb
这里a,b为矢量,λ,μ为任意实数.
三、例题
例1,设AM是ABC的中线,求证AM=1/2(AB+AC)
例2,用矢量法证明:
连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
1.4矢量的线性关系与矢量的分解
一,概念
定义1.4.1由矢量a1,a2,……an与数量λ1,λ2,…λn所组成的矢量
a=λ1a1+λ2a2+….+λnan叫做矢量a1,a2,……an的线性组合。
当矢量a是矢量a1,a2,……an的线性组合时,也说:
矢量a可以分解为a1,a2,……an的线性组合。
λa也称为矢量a的线性组合。
定义1.4.2对于n(n≥1)个矢量a1,a2,……an,如果存在不全为零的n个数λ1,λ2…λn使得λ1a1+λ2a2+….+λnan=0,那么n个矢量a1,a2,……an叫做线性相关。
不是线性相关的矢量叫做线性无关。
只有当λ1=λ2=…=λn=0时,λ1a1+λ2a2+….+λnan=0才能成立,称矢量a1,a2,……an线性无关.
推论:
一个矢量线性相关的充要条件是a=0.
二,基本定理
定理1.4.1如果矢量e≠0,那么矢量r与矢量e共线的充要条件是r可以用矢量e线性表示,或者说r是e的线性组合,即r=xe,并且x被r,e唯一确定。
这时e称为用线性组合来表示共线矢量的基底。
定理1.4.2如果矢量e1,e2不共线,那么矢量r与e1,e2共面的充要条件是r可以用e1,e2线性表示,或者说矢量r可以分解为e1,e2的线性组合,即r=xe1+ye2。
并且x,y被e1,e2,r唯一确定。
这时e1,e2叫平面上矢量的基底。
定理1.4.3如果矢量e1,e2,e3不共面,那么任意矢量r可以由e1,e2e3线性表示,或者说空间任意矢量r可以分解为e1,e2,e3的线性组合,即R=xe1+ye2+ze3。
并且系数x,y,z被r,e1,e2,e3唯一确定。
这时e1,e2,e3叫空间矢量的基底。
定理1.4.4当n≥2时,矢量a1,a2,……an线性相关的充要条件是其中一个矢量是其余矢量的线性组合
定理1.4.5如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关
一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关。
定理1.4.6两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定理1.4.7三矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定理1.4.8空间任何四个矢量总是线性相关.
空间四个以上的矢量总是线性相关.
三、应用
例1,已知三角形ABC,其中OA=a,OB=b,而M,N分别是三角形两边OA,OB上的点,且有OM=λa,(0<
λ<
1).ON=μb(0<
μ<
1),设AN与BM相交于P,试把矢量OP=p分解成a,b的线性组合。
例2,证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分。
例3,设Opi=ri(i=1,2,3),试证P1,P2,P3三点共线的充要条件是存在不全为零的实数λ1,λ2,λ3使得λ1r1+λ2r2+λ3r3=0且λ1+λ2+λ3=0.
例4,设a,b为两不共线矢量,证明矢量u=a1a+b1b,v=a2a+b2b共线的充要条件是
。
1.5标架与坐标
一.概念
定义1.5.1标架{o;
e1,e2,e3}:
空间中任一点o,和三个不共面的有序矢量e1,e2,e3的全体.一般叫仿射标架.
笛卡儿标架{o;
e1,e2,e3}:
e1,e2,e3都是单位矢量的标架.
笛卡儿直角标架(简称直角标架):
e1,e2,e3为两两相互垂直的笛卡儿标架.
右旋标架(右手标架)左旋标架(左手标架)
定义1.5.2r=xe1+ye2+ze3中,x,y,z叫做矢量r关于标架{o;
e1,e2,e3}的分量或称为坐标,记做r{x,y,z}或{x,y,z}.
定义1.5.3对于取定了标架{o;
e1,e2,e3}的空间中任意点P,矢量OP叫做点P的径矢,径矢OP关于标架{o;
e1,e2,e3}的分量x,y,z叫做点P关于标架{o;
e1,e2,e3}的坐标,记做P(x,y,z)或(x,y,z).
坐标系:
当空间取定标架{o;
e1,e2,e3}后,空间全体矢量的集合或全体点的集合与全体有序三数组x,y,z的集合具有一一对应的关系。
标架坐标系卦限
平面上的类似概念
坐标系中有关定理
二.定理
1)用矢量的始点和终点坐标表示矢量的分量。
定理1、5、1矢量的分量等于其终点坐标减去其始点的坐标。
P1P2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}
2)用矢量的分量进行矢量的线性运算。
定理1、5、2两矢量的和的分量等于两矢量对应的分量的和。
a+b={x2+x1,y2+y1,z2+z1}
定理1、5、3数乘矢量的分量等于这个数与矢量的对应分量的积。
λa={λx,λy,λz}
3)两矢量共线、三矢量共面的条件
定理1、5、4两个非零矢量a{X1,Y1,Z1},b{X2,Y2,Z2}共线的充要条件是对应分量成比例。
即
=
推论:
三点A{x1,y1,z1},B{x2,y2,z2},C{x3,y3,z3}共线的充要条件是
定理1、5、5三个非零矢量a{X1,Y1,Z1},b{X2,Y2,Z2}c{X3,Y3,Z3},共面的充要条件是
四个点Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4)共面的充要条件是
或
4)线段的定比分点坐标
对于有向线段P1P2(P1≠P2),如果点P满足P1P=λPP2我们称点P是把有向线段P1P2分成定比λ的分点。
可以看出,给定了点P1P2,分点由λ唯一确定。
定理1、5、6设有向线段P1P2的始点P1P2终点P1P2,那么分有向线段P1P2成定比λ(λ≠-1)的分点P的坐标是
推论:
设Pi(xi,yi,zi)(i=1,2)那么线段P1P2的中点坐标是
三.应用
例、已知三角形三顶点为Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)求
的重心坐标。
G
1.6矢量在轴上的射影
一、基本概念
1、点在轴上的射影:
已知空间一点A与一轴l,过点A作垂直于轴l的平面α,这个平面与轴l的交点A`叫做点A在轴l上的射影。
2、定义1、6、1设矢量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为点A`,B`,那么矢量A`B`叫做矢量AB在轴l上的射影矢量。
记做射影矢量lAB。
3、取轴上与轴同方向的单位矢量e,那么有
射影矢量lAB=A`B`=xex就叫做矢量AB在轴l上的射影,记作射影lAB,即射影lAB=x
射影矢量lAB和射影lAB可以分别写作射影矢量eAB和射影eAB.
4、矢量的夹角:
设a,b为两非零矢量,自空间任一点O做OA=a,OB=b,,我们把由射线OA和OB构成在0与
之间的角,叫做矢量a与b的夹角,记做∠(a,b).
二、定理
定理1、6、1矢量AB在轴l上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦:
射影lAB=∣AB∣cosθ,θ=∠(l,AB)
相等矢量在同一轴上的射影相等。
定理1、6、2对于任何矢量a,b有射影l(a+b)=射影la+射影lb
定理1、6、3对于任何矢量与任意实数λ有:
射影l(λa)=λ射影la。
例:
设在直角坐标系{O;
i,j,k}下,矢量a=Xi+Yj+Zk,试证明射影ia=X射影ja=Y射影ka=Z
1.7两矢量的数性积
一、引入
二、定义:
定义1、7、1两个矢量a,b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a和b的数性积(也称内积)。
记做a•b或ab即
a•b=∣a∣∣b∣cos∠(a,b)
方向角:
矢量与坐标轴(或坐标矢量)所成的角叫矢量的方向角。
方向余弦:
方向角的余弦叫做方向余弦。
一个矢量的方向完全可由它的方向角来决定。
三、定理
定理1、7、1两矢量a,b相互垂直的充要条件是a•b=0
定理1、7、2矢量的数性积满足下面的运算规律
1)交换律a•b=b•a
2)关于数因子的结合律(λa)•b=λ(a•b)=a•(λb)
3)分配律(a+b)•c=a•c+b•c
定理1、7、3设a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k那么a•b=X1X2+Y1Y2+Z1Z2
设a=Xi+Yj+Zk,那么a•i=Xa•j=Ya•k=Z
定理1、7、4设a=Xi+Yj+Zk,那么
定理1、7、5空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离是
定理1、7、6非零矢量的a=Xi+Yj+Zk方向余弦是
且cos2α+cos2β+cos2γ=1
式中的α,β,γ分别是矢量a与x轴,y轴,z轴的交角,即矢量a的三个方向角。
定理1、7、7设空间中两个非零矢量为a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2},那么他们夹角的余弦是
cos∠(a,b)=
推论矢量a{X1,Y1,Z1}与b{X2,Y2,Z2}相互垂直的充要条件是X1X2+Y1Y2+Z1Z2=0
1、以上结论在平面直角坐标系中的推广。
2、解决问题
例1:
证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。
例2:
证明如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么它就和平面内的任何直线都垂直,即它垂直于平面。
例3:
试证三角形的三条高交于一点。
例4:
已知三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),且BC=a,CA=b,AB=c,求
(1)a与b的夹角;
(2)a在c上的射影。
例5:
利用数性积证明柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式
1.8两矢量的数矢性积
一、定义
定义1、8、1两矢量a与b的矢性积(也称外积)是一个矢量,记做a×
b或[ab].它的模是
,它的方向与a,b都垂直,并且按a,b,a×
b这个顺序构成右手标架{O;
a,b,a×
b}
定理1、8、1两不共线矢量a,b的矢性积的模,等于以a,b为边所构成的平行四边形的面积。
定理1、8、2两矢量a,b共线的充要条件是a×
b=0
定理1、8、3矢量积是反交换的,即a×
b=-(b×
定理1、8、4矢性积满足关于数因子的结合律,即
λ(a×
式中a,b为任意矢量,λ为任意实数。
推论设λ,μ为任意实数,那么
(λa)×
(μb)=(λμ)a×
b
定理1、8、5矢性积满足分配律,即
(a+b)×
推论c×
(a+b)=c×
a+c×
定理1、8、6如果a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k,那么
a×
b=
或写为a×
三、举例应用
例1:
证明(a-b)×
(a+b)=2(a×
b),并说明它的几何意义。
例2:
证明:
b)2+(a·
b)2=a2b2
已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),试求
(1)△ABC的面积;
(2)△ABC的AB边上的高。
1.9三矢量的混合积
一、定义
定义1、9、1给定空间的三个矢量a,b,c,如果先做前两个矢量a与b的矢性积,再做所得矢量与第三个矢量c的数性积,最后所得的这个数叫做三矢量a,b,c的混合积,记做(a×
c或(a,b,c)或(abc).
二、性质
定理1、9、1三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积V,并且当a,b,c构成右手系时,混合积是正数;
当a,b,c构成左手系时,混合积是负数,也就是有(abc)=εV。
当a,b,c构成右手系时,ε=1;
当a,b,c构成左手系时,ε=-1。
定理1、9、2三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)=0。
定理1、9、3轮换混合积的三个因子,并不改变它的值,对调任何两个因子要改变乘积符号,即
(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(acb)=-(cba)
(a×
c=a·
(b×
c)
定理1、9、4如果a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k,c=X3i+Y3j+Z3k,那么
三矢量a{X1,Y1,Z1}、b{X2,Y2,Z2}c{X3,Y3,Z3}共面的充要条件是
三、例题
例1设三矢量a,b,c满足a×
b+b×
c+c×
a=0,试证三矢量a,b,c共面。
例2已知四面体ABCD的顶点坐标A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0).
D(2,-1,3),求它的体积。
例3设a,b,c为三个不共面的矢量,求矢量d对于a,b,c的分解式。
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