史宁中《小学数学教学中的若干问题》Word文档格式.docx
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整数集合上的乘法运算是一种推广/为什么负负为正/运算与算理等价
问题13为什么说除法是乘法的逆运算?
如何表示除法/得到的商是一个整数/得到的商不是整数/倒数/有理数集合
问题14为什么混合运算要先乘除后加减?
运算次序的两个基本法则/所有混合运算都是在讲述两个以上的故事
问题15为什么要学习估算?
精算有利于培养抽象水平/估算有利于培养直观水平/估算问题要有合适的实际背
景:
合适的量纲/绝大部分的估算问题是为了得到上界或者下界
问题16什么是符号意识?
用字母表示数/代数学的开始/两类符号:
概念符号和关系符号/基于符号的运算/
符号的表达具有一般性
问题17方程的本质是什么?
用字母表示未知的量/讲述的是现实世界中的两个故事/两个故事的共同点/要用等
式的性质解方程
问题18什么是模型?
小学数学中有哪些模型?
用数学的语言讲述现实世界中一类与数量相关的故事/总量模型/路程模型/植树模型/工程模型
问题19发现问题和提出问题有什么不同?
从双基到四基/发现问题与创新意识/提出问题与创新水平
第三部分图形与几何
问题20为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”?
时间和空间是人类理解世界最为基本的概念/几何学是研究如何构建空间度量方法的
学科/欧几里得几何是平直的/欧几里得几何的核心是直线距离
问题21如何理解点、线、面、体、角?
看到的物体都是立体的/点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念/如何用
描述的方法给出几何概念
问题22理解图形的教育价值是什么?
更重要的是让学生学会分类/制定标准和遵循标准/培养学生的抽象水平
问题23如何理解长度、面积、体积?
长度是一维空间图形的度量/面积是二维空间图形的度量/体积是三维空间图形的度
量/度量的基础是直线距离
问题24如何理解平移、旋转、轴对称?
图形的运动/保持两点间直线距离不变:
刚体运动/运动的参照物
问题25如何理解空间观点和几何直观?
空间观点的本质是空间想象力/直观是对事物的直接判断所以是经验层面的/直观能
力的养成依赖本人参与其中的思维活动/几何直观不限于几何甚至不限于数学
第四部分统计与概率
问题26:
为什么要强调数据分析观点?
统计学研究的基础是数据/描述数据分析/推断数据分析/通过样本推断总体
问题27:
三种统计图之间有什么共性和差异?
直观地表述数据是三种统计图的共性/条形统计图表述数量的多少/扇形统计图表
述数量的比例/折线统计图表述数量的变化
问题28:
如何理解数据的随机性?
随机性与不确定性有所区别/减少系统误差/减少人为因素/估计是统计推断的重
要手段/最大似然估计/通过样本频率估计概率
问题29:
平均数的意义是什么?
样本平均数不仅是一个算式/误差模型/误差的随机性:
正负抵消和为零/样本平均
数是随机的/样本平均数是无偏估计
问题30:
什么是概率?
如何得到概率?
概率是随机事件发生的属性/概率是未知的/估计概率/定义概率/定义概率是一
种度量/古典概率模型
附录1若干与小学数学有关的话题
话题1几种古代的数字符号
话题2数量的本质
话题3数量多少的比较
话题4十进制的自然数
话题5十二进制与六十进制
话题6公理体系定义的自然数
话题7借助算术公理体系解释加法运算
话题8公理体系的必要性与数学证明的形式
话题9加法运算和减法运算性质的证明
话题10负数的意义
话题11用符号表示分类
话题12素数的故事
话题13有理数与无理数
话题14用反证法证明√2是无理数
话题15数学证明的思维过程
话题16逻辑推理的思维起点
话题17数学归纳法的逻辑基础
话题18用小数定义有理数和无理数
话题19乘法的定义
话题20除法运算规定0不能为除数
话题21除数是分数时的除法运算
话题22数学中的符号表达
话题23路程模型:
绝对时间和相对时间
话题24几何学的由来
话题25欧几里得《几何原本》
话题26几何基本概念的进一步抽象
话题27长度单位的确定
话题28曹冲称象与浮力
话题29统计学的由来
话题30概率的定义和基于概率模型的估计
附录2相关内容的教学设计
问题2“如何认识自然数”的相关教学设计
问题3“表示自然数的关键是什么”的相关教学设计
问题4“如何认识自然数的性质”的相关教学设计
问题5“如何认识负数”的相关教学设计
问题6“如何认识分数”的相关教学设计
问题7“如何认识小数”的相关教学设计
问题8“什么是数感”的相关教学设计
问题9“如何解释自然数的加法运算”的相关教学设计
问题11“乘法是加法的简便运算吗”的相关教学设计
问题13“为什么说除法是乘法的逆运算”相关教学设计
问题14“为什么混合运算要先乘除后加减”的相关教学设计
问题15“为什么要学习估算”的相关教学设计
问题16“什么是符号意识”的相关教学设计
问题17“方程的本质是什么”的相关教学设计
问题18“小学数学中有哪些模型”的相关教学设计
问题21“如何理解点、线、面、体、角”的相关教学设计
问题23“如何理解长度、面积、体积”的相关教学设计
问题24“如何理解平移、旋转、轴对称”相关教学设计
问题27“三种统计图之间有什么共性和差异”相关教学设计
问题29“平均数的意义是什么”相关教学设计
前言
自从1998年担任东北师范大学校长以后,我开始关注基础教育,但关注的是一般性的问题,并没有深入到学科内部。
2005年,接受教育部的委托,担任了《义务教育数学课程标准》修改组的组长以后,才开始真正思考数学教育。
思考课程标准应当规定哪些教学内容,为什么要规定这些内容,这些内容的教育价值是什么?
思考数学的本质是什么,应当如何在教学中体现这些本质?
进一步,开始思考数学教育的本质,为了学生一生的发展,在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育?
开始思考培养创新性人才的核心是什么,应当通过什么样的教学活动进行培养?
思考的结果,促使我在传统的课程目标、即基础知识和基本技能这“双基”的基础上,又加上了数学的基本思想和基本活动经验,形成了“四基”的课程目标。
与传统的“双基”不同,基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西,不言而喻,恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。
我确信:
数学素养的培养、特别是创新人才的培养是“悟”出来的而不是“教”出来的;
数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的。
可以想象,会“悟”会“看”的底蕴是把握数学思想,会“悟”会“看”的教育是一种经验的积累(包括思维的经验和实践的经验),需要受教育者本人的思考和实践,因此,受教育者本人参与其中的教育教学活动是至关重要的。
令人欣慰的是,“四基”的提出得到修改组的成员的一致支持,后来又得到数学家、数学教育专家、教研员、以及活跃在教学第一线教师的广泛支持。
这样的支持迫使我更加深入地思考:
数学基本思想是什么?
为此,我给出了一个判定数学基本思想的准则,这个准则包含两条:
一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想;
二是学习过数学的人与没有学习过数学的人的思维差异。
这样,就把数学思想归纳为三方面的内容,可以用六个字表达:
抽象、推理、模型。
我计划写六本书来说明这些想法,即每一方面的内容写两本书。
在东北师范大学出版社的敦促下,已经写完五本并陆续出版了。
恰逢中国的基础教育要实现从“能上学”到“上好学”的转变,这个转变的核心是:
实现教育公平,提高教学质量;
实现这个转变的基础是:
全员提高教师的教育教学水平。
于是在我国,由政府主导的大规模的中小学教师培训开始了,培训内容从教育理念到教学方法是全方位的。
在这个培训中,修改了的课程标准的解读与实施就自然而然地成为了重要内容。
在培训的过程中,我收到了许多问题:
有来自培训者的、也有直接来自学员的;
有教育理念的、也有教学内容的。
在回答问题的过程中,我深切地感悟到基础教育阶段的数学教育应当有所变化,而变化的依据就是“四基”。
比如小学数学。
小学阶段所涉及到的数学内容几乎都是常识性的,只要记住一些法则就会计算;
此外,小学生的抽象能力、特别是演绎推理能力尚未养成,不应当、也不可能过多地讲授数学道理。
或许就是因为这些原因,在我国长期以来就形成了基于“双基”的数学教学,不仅影响到了小学、并且影响到了整个基础教育。
这种教学的目标是:
基础知识(主要是概念和法则的记忆)扎实,基本技能(主要是计算和证明的能力)熟练;
适于这种教学目标的主要教学形式是:
通过大量反复的练习,达到记忆扎实、熟能生巧;
对应于这种教学目标的考试是:
概念的记忆与理解,计算的准确与速度。
显然,对于这样的考试而言,上面所说的教学形式是合适的,效果也是明显的。
简而言之,就短期行为而言,上面所说的教学方法是简便有效的。
但是,这样的教学形式不利于培养学生的数学素养,不利于让学生感悟数学的思想,不利于帮助学生积累思维的和实践的经验,更不利于培养学生的创新意识和创新思维。
因此,这样的教学形式将无法实现基于“四基”的课程目标。
基于“四基”的课程目标对中小学数学教师提出了更高的要求,除了传统的“双基”之外,还要求教师:
能够把握教学内容的数学实质、并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质;
引发学生思考问题、并且帮助学生建立起良好的独立思考习惯;
引导学生能够正确地思维与实践、并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
在同样的条件下,一个人的事业成功与否,并不仅仅取决于知识掌握的多少,还取决于这个人的思维方法。
毋庸置疑,为了实现新的教学目标就必须改变传统的教育理念和教学方法。
这本书的写作目的就是讲述小学数学内容的实质,探讨能够实现“四基”课程目标的、适合小学生认知规律的表达方式和教学方法。
为了讲述得更加直接,这本书尝试以回答问题的方式来讲述这些内容,其中大部分问题来自数学教育工作者和教学一线的数学教师。
一共30个问题,我希望通过对这30个问题的理解就能够把握小学数学的核心,就可以增强教学的信心。
作为小学阶段数学知识的拓展,又在附录1中设定了30个话题,了解这些话题的内容对于教学是有益处的。
在问题和话题中,都没有直接涉及到“综合与实践”,因为我们讨论的问题针对的都是数学内容。
既便如此,在问题和话题的讨论过程中多次特别提到,有些内容可以在“综合与实践”的课程中实现,进一步,这些想法还体现在附录2的相关教学内容设计之中。
为了启发教师把“问题”所涉及的内容落实于具体的教学活动,东北师范大学教育科学学部的马云鹏教授组织了长春市的几位优秀小学教师,编写了部分教学片断设计。
这些教师有着丰富的教学经验和饱满的工作热情。
我多次参加他们的研讨会,商定了编写原则和编写体例,并且对他们编写的每一个教学设计都做了认真修改,这些内容构成了附录2。
需要说明的是,这些教学片断的设计是为了说明“问题”内容的教学实现,而不是为了具体的教学活动,因此,所设计的内容含量与教学时间无关,只是供教师在设计自己的教学活动时参考。
因为小学数学所涉及的内容,无论是基本概念(比如自然数、负数、有理数、点线面角等)还是基本法则(比如四则运算、交换律、分配率、全等、距离等)都是最基础的、因而是最本质的,要把这些本质的东西讲述清楚往往是非常困难的,因此我想,这本书的内容对于中学数学教师、甚至对大学生和大学教师都是有参考价值的。
我没有小学数学的教学经验,也没有系统地研究过课程论和教学方法,因此,这本书的内容述说可能并不完全符合实际,特别是关于如何实施教学的那些内容。
但是我相信,数学教育工作者、活跃在教学第一线的教研员和广大的教师有着无限的创造力,只要理解了这本书所述说的内容和理念,就一定能够创造出生动活勃、行之有效的教学方案和教学方法。
第一部分数的认识
数是对数量的抽象,因此在认识数之前,首先要认识数量。
但是,无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质,数学的本质是:
在认识数量的同时认识数量之间的关系,在认识数的同时认识数之间的关系。
数量之间最基本的关系是多与少,与此对应,数之间最基本的关系是大与小。
从零开始,依据数之间的大小关系就产生了自然数,表示自然数的关键在于十个符号和数位。
为了减法运算的需要,人们把自然数集合扩充到整数集合;
为了除法运算的需要,人们把整数集合扩充到有理数集合。
减法运算和除法运算都是逆运算,因此,逆运算是数集合扩充的原因,详细讨论参见第二部分:
数的运算。
虽然可以把分数看作除法运算,但分数更重要的还是数,人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系:
一种是整体与等分的关系,一种是比例关系。
最初人们用分数定义有理数,后来又用有限小数和无限循环小数定义有理数,这两个定义是等价的。
数量是对现实生活中事物量的抽象。
从远古时代开始,在日常生活和生产实践中,人们就需要创造出一些语言来表达事物(事件与物体)量的多少,比如,狩猎收获的多少,祭祀牺牲的多少等等。
在古代中国,这样的表述可以追溯到商代的甲骨文,参见附录的话题1。
虽然在这样的表达中出现了数字,但这些数字都是有具体背景的:
在这样的表达中,数字后面都有后缀名词。
在现代汉语中,一些表示数量的后缀名词的具体形式已经被根深蒂固地保留下来了,比如,一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子等等。
我们称这种有实际背景的、关于量的多少的表达为数量。
在上面的表达中,其中的数字还不具有数字符号的功能,只能把这些数字理解为与数量有关的事物的记载:
一粒米与一头牛是不可同日而语的,虽然都是数量“一”的具体例子;
此外,这样的表达是不利于进行运算的:
一粒米加上一头牛是什么呢?
因此,虽然数量是对现实世界中与量有关的事物的一种抽象,但数量还不能作为数学研究的对象,数学研究的对象应当是比数量更为一般的抽象。
为了实现更为一般的抽象,就必须把握数量的本质,这个本质表现在数量的关系之中。
数量关系的本质是多与少。
经验告诉我们,动物也能够分辨清楚的东西,这些东西往往就是本质的。
动物能够分辨多与少,一个生动的例子可以参见附录的话题2,因此,可以认为:
可是,当人们还不会计数时,如何准确地分辨数量的多与少呢?
对于同样的东西,问题还是比较简单的,因为数量是一个一个多起来的。
比如,四个苹果是在三个苹果的基础上又多了一个苹果,所以四个苹果要比三个苹果多;
同样的道理,五个苹果要比四个苹果多;
又因为“多”的关系具有传递性,因此五个苹果要比三个苹果多。
“少”与“多”是对应的,因此用同样的方法可以理解“少”。
对于不同的东西,问题将变得比较复杂,因为很难理解四粒米要比三头牛多。
这时,可以采用对应的方法来比较多少,比如,有若干个苹果,还有若干个橘子,如何判断是苹果多、还是橘子多呢?
可以实施下面的过程来判断多少:
把苹果看作一个集合,把橘子也看作一个集合;
从苹果的集合中拿出一个,同时也在橘子的集合中拿出一个;
重复这个过程,如果最后苹果的集合中还有剩余,这就说明:
苹果的数量比橘子的数量多,反过来也说明:
橘子的数量比苹果的数量少。
我们称这种比较数量多少的方法为对应,人们最初就是用这种对应的方法来比较数量的多少,一些例子可以参见附录的话题3。
在现代数学中,人们把这种对应的方法应用于无穷集合大小的比较。
从上面的讨论可以看到,比数量更为一般的抽象,或者说,能够成为数学研究对象的抽象已经呼之欲出了。
但是,应当如何来描述这个抽象呢?
问题2如何认识自然数?
数是对数量的抽象,数的关系是对数量关系的抽象。
在问题1中已经谈到,为了更好地研究现实世界中量的关系,就必须对数量进行更一般的抽象。
抽象的结果就是自然数。
在这个抽象过程中,人们把数量关系也一并抽象出来,形成数的关系。
数量关系的本质是多与少,与此对应,数的关系的本质是大与小。
因此,自然数是对数量、以及数量关系的抽象。
可以有两种方法实现这种抽象,或者说,可以有两种方法认识自然数。
一种方法是基于对应的。
基于对应的抽象过程大概是这样的:
首先利用图形对应表示事物数量的多少,然后再对图形的多少进行命名,最后把命名了的东西符号化。
比如,
□□←→2,
□□□←→3,
……
(1)
在汉语中,分别称其为“二”和“三”。
其中,小方块表示任何元素,既可以表示小石头(参见附录的话题3),也可以表示苹果或者橘子;
符号“←→”表示对应关系。
因为上面的表达具有一般性,因此可以把表达
(1)称为模式,其中小方块就是沟通数量与数字之间对应关系的桥梁。
之所以称这样的表达为模式,是因为这样的表达具有一般性,我们称能够表达或者解决一类数学问题的方法为模式。
可以看到,这种基于现实背景认识自然数的方法是直接的、也是深刻的,因此,我国现行小学数学教材普遍采用的就是这样的写法,在教学过程中普遍采用的也是这样的教学方法。
进一步,因为数量的“多与少”对应于数的“大与小”,所以从
(1)的对应法则应当让学生知道:
3﹥2。
一般来说,需要从两个角度来把握这种抽象:
在形式上,自然数去掉了数量后面的后缀名词;
在实质上,自然数去掉了数量所依赖的具体背景。
自然数的抽象过程深刻地表明,数学不是研究某一个有具体背景的东西,数学研究的是一般的规律性的东西;
反过来,人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物,这就体现了数学的价值。
比如,人们通过抽象了的自然数研究运算方法,反过来,又把自然数的运算方法应用于具体的数量运算。
一种方法是基于定义的。
数的定义紧紧地依赖于数的关系、即大小关系。
通过大小关系定义自然数的方法在本质上是利用了“后继”的概念。
比如,先有1;
称1的后继为2,2比1大1,表示为2=1+1;
称2的后继为3,3比2大1,表示为3=2+1;
……,通过这样的后继关系,人们就得到了自然数。
最初规定自然数是从1开始的,后来为了更一般的表示,又规定自然数从0开始。
关于定义自然数的详细讨论参见附录的话题6。
可以看到,通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景,这样的方法过于抽象,不适于小学阶段的数学教学。
但是,作为数学教师应当知道这样的方法,并且要理解其中的逻辑关系,因为数学的严谨性是从数的定义开始的。
在教学过程中还应当注意到,读数和用符号表示数是有所不同的,用符号表示数比读数更加抽象。
在读数的过程中,人们只需要用一个词与数量的多少对应起来就可以了,比如,用“十”对应于“十个”那么多、用“百”对应“百个”那么多。
但是,这样的方法对于符号表示是不可能的,因为不可能创造出无穷多个符号来表示数。
那么,表示自然数的关键是什么呢?
表示自然数的关键是十个符号和数位。
十个符号是与十进制联系起来的,因为在使用二进制时只需要两个符号。
人们在日常生活中之所以采用十进制,大概与人有十个手指头有关,正如前面问题所讨论的那样,人们在规定“数”的时候考虑到了对应,而十进制就是对应于人的十个手指头。
在现实生活中,与数量有关的规定还有十二进制和六十进制,这些规定大多与时间有关、与古代历法有关,参见附录的话题5。
自然数有无穷多个,可是,为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢?
关键在于数位:
在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的,在表示过程中0起到了重要的作用,参见附录的话题4。
从小到大,十进位的数位法则是依次相差十倍。
即十个“个”是“十”、十个“十”是“百”、十个“百”是“千”,十个“千”是“万”等等。
在现行小学教科书中,解释如何认识一万时说:
一万是由十个一千产生的。
这样的解释是不合适的,事实上,是“万”这个数位是十个“千”,而不是说一万这个数是十个“千”,数与数位是不同的。
在问题2中已经讨论过,数是一个一个大起来的,据此可以这样认识一万这个数:
已经知道用千位表示的最大数是9999,现在又多了1,那么,应当如何称呼这个新的数是什么呢?
在中国称这个数为“一万”,在西方称这个数为“十千”,但符号表示是一样的:
10000。
有了十个符号与数位,读自然数的法则是:
符号+数位。
比如,下面的形式
十个
23
表示的是两个“十”和三个“个”,在通常情况下读为二十三,符号表示为23。
同样的道理,把两个“十”和零个“个”读为二十,符号表示为20。
进一步,
千百十个
3002
表示的是三个“千”零个“百”零个“十”和两个“个”,可以直接读为:
三千零百零十二,在通常情况下可以简约读为:
三千零二,符号表示为3002。
更为详细的讨论可以参见附录的话题4。
数位的名称。
因为各民族传统文化的不同,对于数位的读法也不尽相同。
比如,基于汉语的东亚语言系统的数位基础是四,即数位是
个十百千;
万十万百万千万;
亿十亿百亿千亿;
兆……
其中个、万、亿、兆所代表的数位分别是第1、5、9、13,差为4。
与此不同的是,基于拉丁语的欧洲语言系统的数位基础是三,即数位是
个十百;
千十千百千;
百万、十百万、百百万;
十亿……
其中个(ones)、千(thousands)、百万(millions)、十亿(billions)所代表的数位(digit)分别是1、4、7、10,差为3。
虽然数位的读法不同,但用符号表示出来的“数”是一致的。
现代会计系统源于西方,因此,所有会计报表中记账数字的数位基础是三。
自然数集合。
基于十个符号与数位就可以用符号表示所有的自然数,一般用N表示自然数集合:
N={0,1,2,3,…}。
这种表示显示了自然数的序有开头无结尾。
人类发明十进位的自然数计数系统实在是一件非常了不起的事情,这个发明经历了相当漫长的抽象过程,甚至现今仍然有一些原始部落还没有抽象出完整的数字概念,那里的人们只能分辨一、二和许多,详细讨论参见附录中的话题4。
因此,在小学阶段的数学教学中,不可能让学生完全理解数的抽象过程,但是,应当努力创设出一些情景让学生清晰地感悟到这个抽象过程,比如,在问题2中曾经强调过的利用对应的方法。
问题4如何
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