人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》基础练习文档格式.docx
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,BC=4cm,以点C为圆心,以2cm长为半径作圆,试判断⊙C与AB的位置关系.
12.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,∠DAC=∠B,判断AD与⊙O的位置关系,并说明理由.
13.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点D是AB上一点,以CD为直径作⊙O,交AC于点E,连接BE分别交CD和⊙O于点F,G,连接DE,DG,且∠BDG=∠BED.
(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BE平分∠ABC,且CF=
,求EF的长.
14.(10分)如图,矩形ABCD,AB=3,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径的DE交AB于E,DF=0.8,判断直线BF与DE所在的圆的位置关系.
15.(10分)如图,若点C为优弧
的中点,点D为AB的中点,将点D绕着点C按逆时针方向旋转60°
后,得到点M,作直线BM,设BM与AB的夹角为α.
(1)求α的度数;
(2)判断直线BM与⊙O的位置关系,并说明理由.
参考答案与试题解析
【分析】由勾股定理可求AB的长度,根据三角形的面积公式可求点C到直线AB的距离,即可判断⊙C与直线AB的位置关系.
【解答】解:
∵∠C=90°
,AC=4,BC=3,
∴AB=
=5,
设点C到直线AB的距离为d,
∵S△ABC=
AB×
d=
×
AC×
BC
∴5d=12
∴d=
∵d<r=2.5
∴⊙C与直线AB的位置关系为相交,
故选:
A.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,勾股定理,三角形的面积公式,熟练掌握设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,①直线l和⊙O相交⇔d<r,②直线l和⊙O相切⇔d=r,③直线l和⊙O相离⇔d>r.
【分析】已知圆的半径是R,圆心到直线l的距离是d,那么①当d<R时,直线l和圆的位置关系是相交;
②当d=R时,直线l和圆的位置关系是相切;
③当d>R时,直线l和圆的位置关系是相离,根据以上内容求出即可.
∵⊙O与直线l有两个交点,
∴⊙O与直线l相交,
∵圆的半径为3,
∴圆心O到直线l的距离0≤d<3,
∴圆心O到直线l的距离不可能为3,
D.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,注意:
已知圆的半径是R,圆心到直线l的距离是d,那么①当d<R时,直线l和圆的位置关系是相交;
③当d>R时,直线l和圆的位置关系是相离.
【分析】根据点的坐标得到圆心到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
∵点(3,4)到x轴的距离为4,到y轴的距离为3,而A的半径为4,
∴4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是相切.
B.
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键.
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断.
∵PB⊥l于B,
∴以点P为圆心,PB为半径的圆与直线l相切.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系:
判断直线和圆的位置关系:
设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.若直线l和⊙O相交⇔d<r;
直线l和⊙O相切⇔d=r;
直线l和⊙O相离⇔d>r.
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法,可得结论.
∵d=3<半径=4
∴直线与圆相交
∴直线m与⊙O公共点的个数为2个
C.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,掌握直线和圆的位置关系判断方法:
设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d<r②直线l和⊙O相切⇔d=r,③直线l和⊙O相离⇔d>r.
6.(5分)已知⊙O的半径为3,圆心O到直线AB的距离为5,则直线AB与⊙O的位置关系是 相离 .
【分析】根据圆心O到直线AB的距离与⊙O的半径的大小关系可得直线AB与⊙O的位置关系.
∵圆心O到直线AB的距离为5>⊙O的半径为3,
∴直线AB与⊙O相离
故答案为:
相离
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,熟练掌握当⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,①直线l和⊙O相交⇔d<r,②直线l和⊙O相切⇔d=r,③直线l和⊙O相离⇔d>r.
7.(5分)已知圆的直径是13cm,圆心到某条直线的距离是6cm,那么这条直线与该圆的位置关系是 相交 .
【分析】欲求直线和圆的位置关系,关键是求出圆心到直线的距离d,再与半径r进行比较.若d<r,则直线与圆相交;
若d=r,则直线于圆相切;
若d>r,则直线与圆相离.
∵圆的直径为13cm,
∴圆的半径为6.5cm,
∵圆心到直线的距离6cm,
∴圆的半径>圆心到直线的距离,
∴直线与圆相交,
相交.
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.
8.(5分)若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径,则直线l与⊙O的交点个数为 0 .
【分析】根据直线和圆的位置关系填空即可.
∵直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径,
∴直线l与⊙O相离,
∴直线l与⊙O无交点,
故答案为0.
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,当直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径,直线l与⊙O相离,直线l与⊙O无交点;
当直线l与圆心O的距离等于⊙O的半径,直线l与⊙O相切,直线l与⊙O有1个交点;
当直线l与圆心O的距离小于⊙O的半径,直线l与⊙O相交,直线l与⊙O有2个交点.
9.(5分)⊙O的直径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系是 相切 .
【分析】根据题意可得半径r=4,根据d=r,可判断直线l与⊙O的位置关系.
∵⊙O的直径为8,
∴半径=4,
∵圆心O到直线l的距离为4,
∴圆心O到直线l的距离=半径
∴直线l与⊙O相切.
相切.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,熟练运用切线的判定是本题的关键.
10.(5分)已知在直角坐标系内,半径为2的圆的圆心坐标为(3,﹣4),当该圆向上平移m(m>0)个单位长度时,若要此圆与x轴没有交点,则m的取值范围是 0<m<2或m>6 .
【分析】不妨设圆A(3,﹣4),作AC⊥x轴于C,交⊙A于B.当⊙A向上平移2个单位或6个单位,⊙A与x轴相切,所以若要此圆与x轴没有交点,则m的取值范围是0<m<2或m>6.
不妨设圆A(3,﹣4),作AC⊥x轴于C,交⊙A于B.
易知AB=2,AC=4,BC=2,
∴当⊙A向上平移2个单位或6个单位,⊙A与x轴相切,
∴若要此圆与x轴没有交点,则m的取值范围是0<m<2或m>6.
故答案为0<m<2或m>6.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、坐标与图形的变化﹣平移等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,所以中考常考题型.
【分析】作CD⊥AB于点D.根据三角函数求CD的长,与圆的半径比较,作出判断.
作CD⊥AB于点D.
∵∠B=30°
,BC=4cm,
∴CD=
BC=2cm,
即CD等于圆的半径.
∵CD⊥AB,
∴AB与⊙C相切.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积以及含30度角的直角三角形,利用面积法求出边AB上的高的长度是解题的关键.
【分析】由AB是直径可得∠ACB=90°
,可证∠BAD=90°
,则直线AD是⊙O的切线.
直线AD是⊙O的切线
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵∠DAC=∠B,
∴∠DAC+∠BAC=90°
∴AB⊥AD,且AB是直径
∴AD是⊙O的切线
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,熟练掌握切线的判定解决问题是本题的关键.
【分析】
(1)欲证明AB是⊙O的切线,只要证明CD⊥AB即可;
(2)设BC交⊙O于Q,作CP⊥EF于P.设EF=a,先证明DE=DB=CQ,设CQ=x,BC=y,由△BDQ∽△BCD,可得BD2=BQ•BC,可得x2=(y﹣x)y,解得
=
(负根已经舍弃),由DE∥BC,可得
,推出BF=
,由△EPC∽△ECB,可得EC2=EP•EB,列出方程即可解决问题;
(1)AB是⊙O的切线,
理由:
∵CD为⊙O的直径,
∴∠CED=90°
,
∵∠CEG=∠CDG,∠CEG+∠BED=90°
,∠BDG=∠BED,
∴∠CDG+∠BDG=90°
∴CD⊥AB,
∴AB是⊙O的切线;
(2)设BC交⊙O于Q,作CP⊥EF于P.设EF=a,
∵CD是直径,
∴∠CED=∠CQD=∠ECQ=90°
∴四边形ECQD是矩形,
∴DE=CQ,
∵∠EBD=∠EBC=∠DEB,
∴DE=DB=CQ,设CQ=x,BC=y,
由△BDQ∽△BCD,可得BD2=BQ•BC,
∴x2=(y﹣x)y,
∴x2+xy﹣y2=0,
∴(
)2+(
)﹣1=0,
解得
(负根已经舍弃),
∵DE∥BC,
∴
∴BF=
∵∠CEF+∠DEB=90°
,∠DBF+∠DFB=90°
,∠CFE=∠DFB,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,∵CP⊥EF,
∴EP=PF=
由△EPC∽△ECB,可得EC2=EP•EB,
)2=
•(a+
),
解得a=
﹣1(负根已经舍弃),
∴EF=
﹣1.
【点评】本题考查切线的性质、角平分线的定义、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识,解题的关键是学会添加辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题.
【分析】若d<r,则直线与圆相交;
连接AF,作AG⊥BF,FH⊥AB,如图,
FH=AD=2,D=AH=0.8,HB=2.2
由勾股定理,得FB=
<3.
S梯形ABDF=S△ABF+S△ADF,
2×
0.8+
AG•FB=
(DF+AB)•AD,
化简得
AG•BF=6,
∵BF=
<3,
∴AG>2,
即d>r,
直线BF与DE所在的圆的位置关系相离.
(1)由点C为优弧
的中点,得到AC=BC,根据等腰三角形的性质得到得到AD⊥AB,∠ACD=∠BCD,根据旋转的性质得到CD=CM,∠CMB=∠CDB=90°
,∠ACB=∠DCM=60°
于是得到结论;
(2)连接OB,由等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB=30°
,求得OB⊥BM,即可得到结论.
(1)∵点C为优弧
的中点,
∴AC=BC,
∵点D为AB的中点,
∴AD⊥AB,∠ACD=∠BCD,
∵将点D绕着点C按逆时针方向旋转60°
后,得到点M,
∴CD=CM,∠CMB=∠CDB=90°
,∴∠ACD=∠BCD=∠MCB=30°
,∴∠α=180°
﹣∠ABD﹣∠ABM=60°
;
(2)直线BM与⊙O相切,
连接OB,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠OBM=90°
∴OB⊥BM,
∴直线BM与⊙O相切.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,等边三角形的判定,旋转的性质,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
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