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设控制系统如下图1,其闭环传递函数为:
(1)
令其传递函数分母为零,既得闭环系统特征方程为:
(2)
当系统有m个开环零点和n个开环极点时,上式等价为:
(3)
式中,Zj为已知的开环零点;
为已知的开环极点,
可从零变到无穷。
式(3)称为根轨迹方程。
应当指出,只要闭环特征方程能化为上式的形式,都可以绘制根轨迹,其中处于变动低位的是实参数,不限定为根轨迹增益
。
上述根轨迹方程实质上是一个复数方程,直接使用不便,考虑到
(k=0,±
1,±
2...)(4)
因此,根轨迹方程可用下面两个方程来描述:
2..)(5)
和
由方程(4)、(5)是根轨迹上的点应该同时满足两个条件,前者称为相角条件,后者称为模值条件。
根据这两个条件,可以完全确定s平面上的根轨迹和根轨迹上对的
值。
1.3根轨迹增益
当开环传递函数表示成零——极点形式时:
增益
称为系统的根轨迹增益。
根轨迹增益与系统开环放大系数的关系为:
1.4根轨迹绘制基本法则
法则1:
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。
法则2:
根轨迹的分支数,对称性和连续性:
根轨迹的分支数与开环有限零点数
、开环有限极点数
中的大者相等,根轨迹连续并且对称于实轴。
法则3:
根轨迹的渐近线:
当系统开环极点个数
大于开环零点个数
时,有
条根轨迹分支沿着与实轴夹角为
,交点为
的一组渐近线趋向于无穷远处,且有
=0,±
2,…
法则4:
实轴上的根轨迹:
实轴上的某一区域,若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数,则该区域必是根轨迹。
法则5:
根轨迹的分离点:
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分离的点,称为根轨迹的分离点,分离点的坐标
是方程的解。
式中
为开环零点的数值;
为开环极点的数值。
法则6:
根轨迹的起始角和终止角:
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角,称为起始角,以
表示;
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角,称为终止角,以
表示。
起始角、终止角可直接利用相角条件求出。
法则7:
根轨迹与虚轴的交点:
若根轨迹与虚轴相交,意味着闭环特征方程出现纯虚根。
故可在闭环特征方程中令
,然后分别令方程的实部和虚部均为零,从中求得交点的坐标值及其相应的
此外,根轨迹与虚轴相交表明系统在相应
值下处于临界稳定状态,故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的
此处的根轨迹增益称为临界根轨迹增益。
二、根轨迹分析的MATLAB函数
在MATLAB中专门提供了绘制根轨迹的函数pzmap(),rlocus(),和rlocfind()。
2.1绘制零极点分布图(pzmap)
·
Pzmap(sys):
直接在s复平面上绘制系统sys的零极点图。
Pzmap(a,b,c,d)或Pzmap(num,den):
直接在s复平面上绘制出系统对应的零极点位置。
Pzmap(p,z):
根据系统已知的零极点列向量或行向量直接在s复平面上绘制出对应得零极点位置。
[p,z]=Pzmap(sys):
求取零极点列向量或行向量p和z,但不绘制系统的零极点分布图。
[p,z]=Pzmap(a,b,c,d)或[p,z]=Pzmap(num,den):
根据制定系统,求取系统的零极点列向量或行向量p和z,但不绘制系统的零极点分布图。
示例1:
系统开环传递函数为
,现用pzmap的不同格式绘制系统的零极点分布图。
利用MATLAB编程如下:
num=[12];
den=conv([10],[1-2]);
sys=tf(num,den);
subplot(221)
pzmap(sys);
%方法一
title('
零极点分布图一'
)
xlabel('
实轴'
ylabel('
虚轴'
pause
subplot(222)
[z,p,k]=tf2zp(num,den)
pzmap(p,z);
零极点分布图二'
pause
subplot(223)%方法三
pzmap(num,den);
零极点分布图三'
subplot(224)
[p,z]=pzmap(sys)%方法四
零极点分布图四'
MATLAB仿真结果为:
2.2绘制根轨迹图(rlocus)
MATLAB提供了函数rlocus()来绘制系统的根轨迹图,其用法如下.
rlocus(sys):
直接绘制系统sys的根轨迹图。
开环增益的值从零到无穷大变化。
rlocus(sys,k):
根据给定的根轨迹增益向量,绘制系统sys的部分根轨迹图。
rlocus(A,B,C,D)或rlocus(num,den):
根据SISO开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型,直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。
开环增益从零到无穷大变化。
rlocus(A,B,C,D,k)或rlocus(num,den):
根据SISO开环系统的状态空间描述模型和传递函数模型,绘制由k指定的部分根轨迹图。
rlocus还可以采用带参数的返回形式:
r=rlocus(sys,k):
返回指定增益
的根轨迹参数。
r为复根位置矩阵。
r有length(k)列,每列对应增益的闭环根。
[r,k]=rlocus(sys):
返回根轨迹参数。
示例2:
已知系统传递函数模型
现利用MATLAB绘制其根轨迹。
程序代码:
num=[24];
den=[8310];
sys=tf(num,den)
rlocus(sys)
[r,k]=rlocus(sys);
disp('
r的维数'
size(r)
示例3:
若单位反馈控制系统的开环传递函数为
绘制系统的根轨迹。
MATLAB程序如下:
clf;
num=1;
den=conv([110],[15]);
rlocus(num,den)%绘制根轨迹
axis([-88-88]);
figure
(2);
r=rlocus(num,den);
%返回根轨迹参数
plot(r,'
-'
)%绘制根轨迹
axis([-88-88])
gtext('
x'
)
仿真结果为:
(a)直接绘制根轨迹(b)返回参数间接绘制根轨迹
2.3rlocfind()函数
MATLAB提供了函数rlocfind()来找出给定的一组根(闭环极点)对应的根轨迹增益。
其用法如下:
[k,p]=rlocfind(sys)或者[k,p]=rlocfind(num,den)
它要求在屏幕上先绘制好有关的根轨迹图。
然后,此命令将产生一个光标用来选择希望的闭环极点。
命令执行结果为:
k为对应选择点处的根轨迹增益;
p为此点处的系统闭环极点。
rlocfind(sys),rlocfind(a,b,c,d),rlocfind(num,den)
不带输出参数项[k,p]时,同样可以执行,只是此时只将k的值返回到缺省变量ans中。
示例4:
已知系统开环传递函数为
,指定根轨迹增益
范围为0~100,绘制系统根轨迹,并求根轨迹与虚轴交点处的根轨迹增益和闭环极点。
求解命令如下:
num=[111];
den=conv([10],conv([1-1],[1510]));
k=0:
0.1:
100;
rlocus(sys,k);
axis([-31-55]);
[k,p]=rlocfind(sys);
根轨迹图'
);
当根轨迹图出现十字针后,选择与虚轴的交点,得到根轨迹与虚轴交点处根轨迹增益K值和对应的闭环极点,结果如下:
selected_point=0.4076-0.0155i
k=
1.8745
p=
-2.4176+2.2122i
-2.4176-2.2122i
0.4176+0.0120i
0.4176-0.0120i
执行上述命令后,可得到如下图所示的根轨迹图。
3、利用根轨迹图进行闭环系统性能分析
稳定性:
当开环增益K从零到无穷大变化时,图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面,因此这个系统对所有的K值都是稳定的。
如果根轨迹越过虚轴进入右半s平面,则其交点的K值就是临界稳定开环增益。
稳态性能:
如果开环系统是0型系统(即在坐标原点没有极点),则根轨迹上的K值对应系统的静态位置误差系数。
如果是
型系统(在坐标原点有一个极点),则根轨迹上的K值就对应静态速度误差系数。
同时,根轨迹曲线上单击鼠标左键,可显示当前根轨迹增益值及其所对应的闭环系统阻尼因数、超调量和闭环极点。
当给定系统的稳态误差指标要求后,可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。
例:
,如果闭环系统单位阶跃响应的最大超调量不超过15%,试确定系统开环增益的取值范围,并求在单位斜坡输入作用下的稳态误差值。
den=conv([10],[11875]);
1:
5000;
axis([-151-1010])
系统根轨迹图如下所示,可以看出,当根轨迹增益
=1360时,闭环系统最大超调量达到100%,处于临界稳定状态。
根轨迹曲线,与实轴的分离点处,
=91时,阻尼系数为1.当根轨迹的、增益为230时,最大超调量为15%。
因此,满足系统稳定性及最大超调量不超过25%的根轨迹增益范围是
又因为开环增益
,所以对应的开环增益
的范围是
在单位斜坡输入的作用下,系统稳态误差
,所以稳态误差范围为
4、参数根轨迹的绘制
在控制系统中,除了根轨迹增益
以外,还有其他情形下的根轨迹增益,如系统的参数根轨迹。
通常将负反馈系统中的
变化时的根轨迹称为常规根轨迹。
参数根轨迹是指以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹增益,以区别于开环增益
为可变参数的常规根轨迹。
绘制参数根轨迹与绘制常规根轨迹完全相同,只是在绘制参数根轨迹之前,引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念,则常规根轨迹增益的所有绘制法则和MATLAB函数,均适于参数根轨迹的绘制。
为此,需要对闭环特征方程
进行等效变换,将其写成如下形式:
其中,
是除
外,系统任意变化参数,而
为两个与
无关的首一多项式。
显然,以上两式相等,即:
根据此式可得到等效单位反馈系统,其等效开环传递函数为:
根据该式画出的根轨迹,就是参数
变化时的参数轨迹。
设单位负反馈系统的开环传递函数如:
试绘制系统的参数根轨迹,并分析
对系统性能的影响。
分析:
由上述单位负反馈系统的开环传递函数,可写出其闭环系统的特征方程为:
将上述进行变换,可化为:
因此,等效的开环传递函数为:
根据上述等效开环传递函数,用下面的MATLAB命令,可以得到系统随参数
变化的根轨迹。
num=conv([10],[110]);
den=[1110];
grid
执行上述命令后,可得到如下图所示的系统跟轨迹。
在绘制系统根轨迹图以后,除了使用xlabel,ylabel,title,grid及axis等命令添加根轨迹图文字标注以外,还可以双击根轨迹图,弹出图形窗口属性设置对话框,这样可以方便的设置图形属性。
设某系统的闭环传递函数如:
试绘制系统的参数根轨迹。
由上述闭环系统传递函数,可知特征方程为:
将其变化为:
则系统等效传递函数为:
因此,用下述MATLAB命令可得到系统的参数根轨迹。
num=[50];
%定义等效开环传递函数分子多项式
den=[515];
%定义等效开环传递函数分母多项式
%生成等效开环传递函数
rlocus(sys)%由等效开环传递函数绘制参数根轨迹
参数根轨迹图'
Grid
执行上述命令后,执行结果如下图所示,即为参数根轨迹。
试绘制出
从零变到无穷大时的根轨迹簇。
当时,绘制出以
变化为参变量的根轨迹。
程序代码如下
fora=1:
20:
1000;
num=1;
den=conv([10],[1a]);
sys=tf(num,den);
rlocus(sys);
holdon
end
a与k*同时变化的根轨迹图'
执行上述代码后,执行结果如下图所示
当
时,将开环传递函数化为等效开环传递函数,结果为
,绘制以
变化为参变量的根轨迹的命令如下:
num=[10];
den=[104];
grid
a变化的根轨迹图'
执行上述命令后,可得到如下图所示的参数根轨迹。
5、结论
6、参考文献
【1】梅晓榕.自动控制原理(第二版).北京:
科学出版社,2007.2
【2】谢仕宏.MATLABR2008控制系统动态仿真实例教程.北京:
化学工业出版社,2009.1
【3】胡寿松.自动控制原理(第四版).北京:
科学出版社,2007.
【4】郑阿奇.MATLAB实用教程(第2版).北京:
电子工业出版社,2007.8
【5】薛定宇.控制系统仿真与计算机辅助设计.北京:
机械工业出版社,2005.
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