六年级数学上册组合图形的周长和面积Word文件下载.docx
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厘米)
31、
如图19-16所示,BE长5厘米,长方形AEFD面积是38平方厘米。
求CD的长度。
32.图19-17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起,按照图中的已知条件求阴影部分的面积(单位:
厘米)。
33、如图19-19所示,∠1=15度,圆的周长位62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米。
求阴影部分的面积(得数保留两位小数)。
34、如图19-20所示,三角形ABC的面积是31.2平方厘米,圆的直径AC=6厘米,BD:
DC=3:
1。
求阴影部分的面积。
35、如图19-21所示,求阴影部分的面积(单位:
厘米。
得数保留两位小数)。
O
19-19
19-20
60○
30○
12
5.2
19-21
三角形面积计算
【例题1】已知如图,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE=ED,BD=2/3BC,求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2/3BC,所以S△BDF=2S△DCF。
又因为AE=ED,所以S△ABF=S△BDF=2S△DCF。
因此,S△ABC=5S△DCF。
由于S△ABC=8平方厘米,所以S△DCF=8÷
5=1.6(平方厘米),则阴影部分的面积为1.6×
2=3.2(平方厘米)。
练习1:
1.如图,AE=ED,BC=3BD,S△ABC=30平方厘米。
2.如图所示,AE=ED,DC=1/3BD,S△ABC=21平方厘米。
3.如图所示,DE=1/2AE,BD=2DC,S△EBD=5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知:
BO=2DO;
从S△ABD与S△ACD相等(等底等高)可知:
S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD的2倍。
所以△AOD的面积为6÷
2=3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO=6
因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD=6÷
答:
△AOD的面积是3。
练习2:
1.两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图所示),已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少?
2.已知AO=1/3OC,求梯形ABCD的面积(如图所示)。
3.已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍。
求梯形ABCD的面积。
(如图所示)。
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积(如图所示)。
【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,它们的面积相等。
同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。
由此可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×
3=45(平方厘米)
四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3:
1.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积(如图)。
2.已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。
3.如图所示,求阴影部分的面积(ABCD为正方形)。
【例题4】如图所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。
那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
【思路导航】因为BO=2DO,取BO中点E,连接AE。
根据三角形等底等高面积相等的性质,可知S△DBC=S△CDA;
S△COB=S△DOA=4,类推可得每个三角形的面积。
所以,
S△CDO=4÷
2=2(平方厘米)S△DAB=4×
3=12平方厘米
S梯形ABCD=12+4+2=18(平方厘米)
梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4:
1.如图所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC=2AO。
求梯形面积。
2.已知OC=2AO,S△BOC=14平方厘米。
求梯形的面积(如图所示)。
3.已知S△AOB=6平方厘米。
OC=3AO,求梯形的面积(如图所示)。
【例题5】如图所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。
仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。
由图上看出:
三角形ADE的面积等于长方形面积的一半(16÷
2)=8。
用8减去3得到三角形ABE的面积为5。
同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高,C为EF的中点,而三角形ABE与三角形BEC等底,高是三角形BEC的2倍,三角形BEC的面积为5÷
2=2.5,所以,三角形ABC的面积为16-3-4-2.5=6.5。
练习5:
1.如图所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积。
2.如图所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE=4平方厘米,S△AFD=6平方厘米,求三角形AEF的面积。
3.如图所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积。
简单几何体的表面积与体积的计算
一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图,这一展开图是由六个全等的正方形组成的,见图6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法,还有别的画法(从略)。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图。
这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的,见图6—2。
图6—2只是长方体平面展开图的一种画法,还有别的画法(从略)。
3.(直)圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平,就得到圆柱体的平面展开图。
它由一个长方形和两个全等的圆组成,这个长方形的长是圆柱底面圆的周长,宽是圆柱体的高。
这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。
图6—3就是圆柱的平面展开图。
4.(直)圆锥体
沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
具体图形见图6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×
(a×
b+b×
c+c×
a)
长方体的体积=a×
b×
c(这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)。
2.正方体
正方体的表面积=6×
a2
正方体的体积=a3(这里a为正方体的棱长)。
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR(h+R)
圆柱体的体积=πR2h(这里R表示圆柱体底面圆的半径,h表示圆柱的高)。
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
圆锥体的全面积=πRl+πR2
母线长与高)。
三、例题选讲
例1图6—5中的几何体是一个正方体,图6—6是这个正方体的一个平面展开图,图6—7(a)、(b)、(c)也是这个正方体的平面展开图,但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来,请你给补上。
分析与解:
从图6—5和图6—6中可知:
与
;
与
互相处于相对面的位置上。
只要在图6—7
(a)、(b)、(c)三个展开图中,判定谁与谁处在互为对面的位置上,则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
先看图6—7中的(a),仔细观察可知,1与4,3与
处在互为对面的位置上。
再看图6—7中的(b),同上,1与3,2与
最后再看图6—7中的(c),同上,1与
,2与4处在互为对面的位置上。
图6—7(a)、(b)、(c)标有数字的空白面上的图案见图6—8中的(a)、(b)、(c)。
例2图6—9中的几何体是一个长方体,四边形APQC是长方体的一个截面(即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形),P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点,请在此长方体的平面展图上,标出线段AC、CQ、QP、PA来。
只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图,问题便能迎刃而解。
图6—10中的粗实线,就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。
例3在图6—11中,M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点,若从M点绕圆柱体的侧面到达N,沿怎么样的路线路程最短?
沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平,得出圆柱的侧面展开图,见图6—12,从M点绕圆柱体的侧面到达N点。
实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。
而两点间以线段的长度最短。
所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线,见图6—12和图6—13。
例4图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体,若在它的各个面的中心位置上,各打一个直径为2厘米,深为1厘米的圆柱形的孔,求打孔后几何体的表面积是多少(π=3.14)?
因为正方体的棱长为2厘米,而孔深只有1厘米,所以正方体没有被打透。
这一来打孔后所得几何体的表面积,等于原来正方体的表面积,再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米,底面圆的半径为1厘米。
正方体的表面积为42×
6=96(平方厘米)
一个圆柱的侧面积为2π×
1×
1=6.28(平方厘米)
几何体的表面积为96+6.28×
6=133.68(平方厘米)
答:
(略)
例5图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体,求此几何体的表面积是多少?
从图6—15中可以看出,18个小正方体一共摆了三层,第一层2个,第二层7个,因为18-7-2=9,所以第三层摆了9个。
另外,上、下两个面的表面积是相同的,同样,前、后;
左、右两个面的表面积也是分别相同的。
因为小正方体的棱长是1厘米,所以
上面的表面积为12×
9=9(平方厘米)
前面的表面积为12×
8=8(平方厘米)
左面的表面积为12×
7=7(平方厘米)
几何体的表面积为9×
2+8×
2+7×
2=
例6图6—16中所示图形,是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6厘米,高20厘米的一个圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米?
(π=3.14)
因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20厘米的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度。
因为圆锥形铅锤的体积为
设水面下降的高度为x,则小圆柱的体积为x(20÷
2)2×
x=100πx(立方厘米)
所以有下列方程:
60π=100πx,解此方程得:
x=0.6(厘米)
铅锤取出后,杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢,截成两段后,两段表面积的和为75.36平方分米,求原来那根圆钢的体积是多少(π=3.14)?
根据圆柱体的体积公式,体积=底面积×
高。
假设圆钢长为x,因为将圆钢截成两段后,两段表面积的和,等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积,所以有下面式子:
2π×
(2÷
2)×
x+4π×
2)2
=2πx+4π
根据题目中给出的已知条件,可得下面方程:
2πx+4π=75.36
解方程:
圆钢的体积为π×
10≈31.4(立方分米)
(略)。
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