弹性力学简明教程第四版习题解答Word格式.docx
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fx(s)
0-q1
fy(s)
q
h2hy?
(?
y)y?
-h/2?
q,(?
yx)y?
0,(?
h/2?
q1②在x=0的小边界上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件:
负面上应力与面力符号相反,有
h/2(?
)dx?
F
S
h/2xyx?
h/2
x)x?
0dx?
FN?
(?
)ydx?
M?
h/2xx?
③在x=l的小边界上,可应用位移边界条件ux?
l?
0,vx?
0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力:
F?
q1l?
FN?
FN
0,FS?
FS?
ql?
FS
q1lh121ql2
MA?
0,M?
M&
#39;
FSl?
2ql?
2q1lh?
2?
2
由于x=l为正面,应力分量与面力分量同号,故
)dy?
N1N
q1lhql2?
lydy?
22?
xyx?
lSS
【2-10】试应用圣维南原理,列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件,并比较两者的面力是否是是静力等效?
【解答】由于h
l,OA为小边界,故其上可用圣维
qb
qb212
南原理,写出三个积分的应力边界条件:
(a)上端面OA面上面力x?
0,y?
q
b
由于OA面为负面,故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,有
图2-19
bbxqb?
qdx?
0y?
0b?
bbx?
bqb2?
0xdx?
0yxdx?
0q?
b?
212(对OA中点取矩)?
yx?
(b)应用圣维南原理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢y向为正,主矩为负,则
qb?
N?
qb2?
12?
综上所述,在小边界OA上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同,故这两个问题是静力等效的。
【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答:
3
y图2-20图2-21
y2
(a)图2-20,sx=2q,?
0。
【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答,必须满足:
(1)平衡微分方程(2-2);
(2)用应力表示的相容方程(2-21);
(3)应力边界条件(2-15)。
(1)将应力分量代入平衡微分方程式,且fx?
fy?
0?
0显然满足?
x
(2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21),有
2q等式左=?
=2?
0=右b?
应力分量不满足相容方程。
因此,该组应力分量不是图示问题的解答。
MFsS*
y,?
(取梁的厚度b=1),(b)图2-21,由材料力学公式,?
IbI
x3y3qx2
22得出所示问题的解答:
2q3,?
-(h?
4y)。
又根据平衡微分3lh4lh
3qxyxy3qx方程和边界条件得出:
。
试导出上述公式,并检验解?
2q3?
2lhlh2l
答的正确性。
【解答】
(1)推导公式
在分布荷载作用下,梁发生弯曲形变,梁横截面是宽度为1,高为h的矩形,
h3
其对中性轴(Z轴)的惯性矩I?
,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和12
q3qx2
剪力方程M(x)?
x,F?
6l2l
4
所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:
M?
x3y?
2q3
Ilh
xy
3Fs?
4y2?
3qx22
1?
.3?
2bh?
4lh
根据平衡微分方程第二式(体力不计)。
y
3qxyxy3
.?
A得:
2lhlh
根据边界条件
qx
2l
得A?
.
3qxyxy3qx
q3?
故?
.?
2lhlh2l
将应力分量代入平衡微分方程(2-2)第一式:
x2yx2y
左?
6q.3?
6q3?
右满足
lhlh
第二式自然满足将应力分量代入相容方程(2-23)
xyxy
12q.3?
右
lhlh?
故,该分量组分量不是图示问题的解答。
【2-18】设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有集中荷载F(图2-22),体力可以不计。
试根据材料力学公式,写出弯应力?
0,然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明这些表达式是否就表示正确的解答。
(1)矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程M(x)?
Fx,横截面对中性轴
5
的惯性矩为Iz?
h3/12,根据材料力学公式
弯应力?
M(x)12F
3xy;
Izh
该截面上的剪力为Fs?
F,剪应力为
Fs(x)S*?
F6F?
3?
bIz22h41?
h/12?
取挤压应力?
(2)将应力分量代入平衡微分方程检验12F12F
第一式:
左?
2y?
3y?
hh
第二式:
左=0+0=0=右
该应力分量满足平衡微分方程。
(3)将应力分量代入应力表示的相容方程
2(?
y)?
右满足相容方程(4)考察边界条件
①在主要边界y?
h/2上,应精确满足应力边界条件(2-15)
fx
fy
hy?
上
2hy?
代入公式(2-15),得
②在次要边界x=0上,列出三个积分的应力边界条件,代入应力分量主矢
-h/2
主矩
0dy?
x向面力主矢?
0ydy?
面力主矩?
h/2?
6Fh?
h/22
y)dy?
y向面力主矢?
h4?
满足应力边界条件
6
③在次要边界上,首先求出固定边面力约束反力,按正方向假设,即面力的主矢、主矩,FN?
F,M?
Fl
其次,将应力分量代入应力主矢、主矩表达式,判断是否与面力主矢与主矩等效:
12Flydy?
FN3?
h/2h
h/2h/122F2(?
)ydy?
Fl?
Mxx?
l3?
h/2hh/2(?
ldy?
xy)x?
h6F?
h22?
dy?
FS/h23?
4?
满足应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。
第一章平面问题的直角坐标解答
【3-4】试考察应力函数?
ay3在图3-8所示的
矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?
【解答】⑴相容条件:
不论系数a取何值,应力函数?
ay3总能满足应
力函数表示的相容方程,式(2-25).
⑵求应力分量
当体力不计时,将应力函数?
代入公式(2-24),得y?
6ay,?
⑶考察边界条件
上下边界上应力分量均为零,故上下边界上无面力.
左右边界上;
当a&
gt;
0时,考察?
x分布情况,注意到?
0,故y向无面力
左端:
fx?
6ay?
xyx?
右端:
6ay(0?
h)y?
xy)?
l0
应力分布如图所示,当l?
h时应用圣维南原理可以将分布的面力,等效为主矢,主矩
7
主矢的中心在矩下边界位置。
即本题情况下,可解决各种偏心拉伸问题。
因为在A点的应力为零。
设板宽为b,集中荷载p的偏心距e:
ppe
x)A?
e?
h/6
bhbh/6
同理可知,当a&
lt;
0时,可以解决偏心压缩问题。
【3-5】取满足相容方程的应力函数为:
⑴?
ax2y,⑵?
bxy2,⑶?
cxy3,试求出O应力分量(不计体力),画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布,并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。
偏心距e:
(1)由应力函数?
ax2y,得应力分量表达式
2ay,?
2ax
(l?
m?
yx)s?
x(s)
考察边界条件,由公式(2-15)?
(m?
xy)s?
y(s)h
①主要边界,上边界y?
上,面力为
x(y?
)?
2axy(y?
ah
22h
②主要边界,下边界y?
,面力为
2hh
2ax,y(y?
22
③次要边界,左边界x=0上,面力的主矢,主矩为x向主矢:
Fx?
h/2h/2
0(?
y向主矢:
Fy?
主矩:
次要边界,右边界x=l上,面力的主矢,主矩为
8
O
x向主矢:
主矩:
h/2h/2(?
2al)dy?
2alh(?
弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢,主矩如图所示⑵?
bxy2
将应力函数代入公式(2-24),得应力分量表达式
2bx,?
0,?
2by
考察应力边界条件,主要边界,由公式(2-15)得hh?
在y?
主要边界,上边界上,面力为x?
bh,y?
022?
在y?
hh?
,下边界上,面力为x?
在次要边界上,分布面力可按(2-15)计算,面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得:
在左边界x=0,面力分布为x?
面力的主矢、主矩为
2h?
h
0y向主矢:
主矩;
h2h?
2by?
在右边界x=l上,面力分布为
x?
2bl,y?
h/2
h/2h/2xx?
h/2h/22bldy?
2blhy向主矢:
Fy&
h/22blydy?
弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示
9
ah
ahxy
(3)?
cxy3将应力函数代入公式(2-24),得应力分量表达式
6cxy,?
3cy2
考察应力边界条件,在主要边界上应精确满足式(2-15)h①上边界y?
上,面力为2
h?
3h?
ch2,y?
02?
42?
h②下边界y=上,面力为2
次要边界上,分布面力可按(2-15)计算,面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得:
③左边界x=0上,面力分布为
-h/2h/2?
h/2h/2?
0h/2?
ch?
3cy?
1423?
6cly,y?
3cy2④右边界x?
l上,面力分布为
x向主矢Fx?
h/26clydy?
ch?
1
423y向主矢:
10
13clh2
弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩,如图所示
6cly2dy?
h/2h/2
【3-6】试考察应力函数
F
3xy(3h2?
4y2),能满足相容方程,并求出O
2h应力分量(不计体力),画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布(在小边界上画出面力的主矢量和主矩),指出该应力函数能解决的问题。
(1)将应力函数代入相容方程(2-25)
222?
0,显然满足4
(2)将?
错误!
未找到引用源。
代入式(2-24),得应力分量表达式
12Fxy3F4y2
?
(1?
2)
h32hh
(3)由边界形状及应力分量反推边界上的面力:
,①在主要边界上(上下边界)上,应精确满足应力边界条件式(2-15),
2应力?
hh?
因此,在主要边界y?
上,无任何面力,即x?
22?
②在x=0,x=l的次要边界上,面力分别为:
3F?
0:
1-2?
l:
12Flyh
y?
因此,各边界上的面力分布如图所示:
11
③在x=0,x=l的次要边界上,面力可写成主矢、主矩形式:
x=0上x=l上
FN1=?
FS1=?
M1=?
h/2h/2xdy?
0,FN2?
ydy?
F,FS2?
Fxydy?
Fl?
h/2h/2xydy?
0,M2?
因此,可以画出主要边界上的面力,和次要边界上面力的主矢与主矩,如图:
(a)(b)
因此,该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。
12
qx2y3yqy2y3y
43?
1)?
(23?
)能满足相容方程,并考【3-7】试证?
4hh10hh
察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题(设矩形板的长度为l,深度为h,O
体力不计)。
(1)将应力函数?
代入式(2-25)
12qy?
24qy?
24qy
0,,2?
4223343
yhh?
yh
代入(2-25),可知应力函数?
满足相容方程。
代入公式(2-24),求应力分量表达式:
6qx2y4qy33qy
fxx?
yhh5h
q4y33y
fyy?
1)
x2hh
6qxh2
3(?
y2)
yh4
(3)考察边界条件,由应力分量及边界形状反推面力:
(上面),应精确满足应力边界条件(2-15)
h/2y?
h/222?
在主要边界y?
下面?
,也应该满足?
15?
在次要边界x?
0上,分布面力为x?
3qy4qy3
3,y?
05hh
应用圣维南原理,可写成三个积分的应力边界条件:
13
FN?
3qy4qy3?
xdy?
h/25hh?
fydy?
fxydy?
④在次要边界x?
l上,分布面力为
l
6ql2y4qy33qy?
hh5h
6ql?
y2?
6ql2y4qy33qy?
f(x?
l)dy?
h/2x?
h/2hh5h?
h/2h/2?
Fs?
y(x?
ql
4
12
M&
x(x?
l)ydy?
h/2hh5h2?
综上,可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩,如图
因此,此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。
【3-8】设有矩形截面的长竖柱,密度为ρ,在一边侧面上受均布剪力q(图3-10),试求应力分量。
【解答】采用半逆法求解。
由材料力学解答假设应力分量的函数形式。
(1)假定应力分量的函数形式。
根据材料力学,弯曲应力?
y主要与截面的弯矩有关,剪应力
图3-10
xy主要与截面的剪力有关,而挤压应力?
x主要与横向荷载有关,本题横向荷载
14
为零,则?
(2)推求应力函数的形式
将?
0,体力fx?
0,fy?
g,代入公式(2-24)有
对y积分,得
f?
(a)?
yf?
f1?
(b)
其中f?
f1?
都是x的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。
将(b)式代入相容方程(2-25),得
d4f?
d4f1?
0(c)44dxdx
在区域内应力函数必须满足相容方程,(c)式为y的一次方程,相容方程要求它有无数多个根(全竖柱内的y值都应满足它),可见其系数与自由项都必须为零,即
0dx4dx
两个方程要求
f?
Ax3?
Bx2?
Cx,f1?
Dx3?
Ex2(d)
中的常数项,f1?
中的常数项和一次项已被略去,因为这三项在?
的表达式中成为y的一次项及常数项,不影响应力分量。
将(d)式代入(b)式,得应力函数
Cx?
Ex2?
(e)
(4)由应力函数求应力分量
0(f)?
15
6Axy?
2By?
6Dx?
2E?
gy(g)?
3Ax2?
2Bx?
C(h)?
(5)考察边界条件
利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。
主要边界x?
0上(左):
0,(?
将(f),(h)代入
0,自然满足
C?
0(i)
b上,
q,将(h)式代入,得
3Ab2?
2Bb?
q(j)
在次要边界y?
0上,应用圣维南原理,写出三个积分的应力边界条件:
0b0b0(?
3Db2?
2Eb?
0(k)0b0b(?
xdx?
2Db3?
Eb2?
0(l)b0(?
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