多项式乘多项式文档格式.docx
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(2﹣m)(2﹣n)=4﹣2(m+n)+mn
∵m+n=2,mn=﹣2
∴原式=4﹣4﹣2=﹣2
故选(B)
【点评】本题考查多项式乘以多项式,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型.
5.(2017春•兴化市期中)下列式子中,计算结果为x2﹣x﹣6的是( )
A.(x+2)(x﹣3)B.(x+6)(x﹣1)C.(x﹣2)(x+3)D.(x﹣6)(x+1)
【分析】根据多项式乘以多项式的法则即可求出答案.
(x+2)(x﹣3)=x2﹣x﹣6
故选(A)
【点评】本题考查多项式乘以多项式,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
6.(2017春•姜堰区月考)用下列各式分别表示图中阴影部分的面积,其中表示正确的有( )
①at+(b﹣t)t
②at+bt﹣t2
③ab﹣(a﹣t)(b﹣t)
④(a﹣t)t+(b﹣t)t+t2.
A.4个B.3个C.2个D.1个
【分析】根据题意可以画出相应的图形,从而求出阴影部分的面积,从而判断题目中的结论正确与否
根据题目可以分以下几种情况:
(1)如下图所示:
则阴影部分的面积为:
at+(b﹣t)t,故①正确.
(2)如下图所示:
则阴影部分的面积为;
at+bt﹣t2,故②正确.
(3)如下图所示:
ab﹣(a﹣t)(b﹣t),故③正确.
(4)如下图所示:
(a﹣t)t+(b﹣t)t+t2,故④正确.
故选A.
【点评】本题考查列代数式,多项式乘多项式,关键是可以画出求阴影部分的面积的不同情况下的图形.
7.(2017春•宝丰县月考)代数式(3a+2)(a2﹣a﹣1)的结果中,二次项系数是( )
A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.2
【分析】先根据多项式的乘法展开原式,再合并可得.
(3a+2)(a2﹣a﹣1)
=3a3﹣3a2﹣3a+2a2﹣2a﹣2
=3a3﹣a2﹣5a﹣2,
所以二次项系数是﹣1.
故选C.
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.
8.(2016春•招远市期中)若x+y=m,xy=﹣3,则化简(x﹣3)(y﹣3)的结果是( )
A.12B.3m+6C.﹣3m﹣12D.﹣3m+6
【分析】先根据多项式乘多项式的法则将原式变形为xy+3(x+y)+9,再将条件代入变形后的式子就可以求出其值.
【解答】解;
原式=xy﹣3x﹣3y+9
=xy﹣3(x﹣y)+9
∵x﹣y=m,xy=﹣3,
∴原式=﹣3﹣3m+9
=﹣3m+6.
D.
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则的运用,关键是数学整体思想的灵活运用.
9.(2016春•滕州市期中)长方形的一边长为2a+b,另一边比它小a﹣b,则长方形面积为( )
A.2a2+ab﹣b2B.2a2+abC.4a2+4ab+b2D.2a2+5ab+2b2
【分析】根据题意求出长方形另一边长,根据多项式与多项式相乘的法则计算即可.
长方形另一边长为2a+b﹣(a﹣b)=a+2b,
则长方形面积为:
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,
【点评】本题考查的是多项式乘多项式的运算,掌握多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加是解题的关键.
10.(2016春•栾城区期中)如果一个长方形的长减少4cm,宽增加2cm,所得的四边形是一个正方形,且该正方形的面积与原长方形的面积相等,则原长方形的面积为( )
A.8cm2B.10cm2C.12cm2D.16cm2
【分析】设所得正方形的边长为xcm,表示出原长方形的长与宽,根据面积相等求出x的值,进而确定出原长方形的面积.
设所得正方形的边长为xcm,则原长方形的长为(x+4)cm,宽为(x﹣2)cm,
根据题意得:
(x+4)(x﹣2)=x2,
整理得:
x2+2x﹣8=x2,
解得:
x=4,
∴原长方形的长为8cm,宽为2cm,
则原长方形的面积为16cm2,
故选D
11.(2016春•福鼎市期中)图1是一个长和宽分别m,n的长方形纸片,如果它的长和宽分别增加a,b,所得长方形(图2)的面积表示错误的是( )
A.(m+a)(n+b)B.m(n+b)+a(n+b)C.mn+b(m+a)+a(n+b)D.mn+bm+an+ab
【分析】根据已知得出新长方形的面积可以是(m+a)(n+b)或m(n+b)+a(n+b)或mn+bm+an+ab,即可得出选项.
所得的新长方形的长为m+a,宽为n+b,
面积为(m+a)(n+b)=m(n+b)+a(n+b)=mn+bm+an+ab,
即只有选项C符合题意,选项A、B、D都不符合题意;
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和单项式乘以多项式,能正确根据图形得出代数式是解此题的关键.
二.填空题(共11小题)
12.(2017春•滦县期末)已知a2﹣a+5=0,则(a﹣3)(a+2)的值是 ﹣11 .
【分析】先把所求代数式展开后,利用条件得到a2﹣a=﹣5,整体代入即可求解.
(a﹣3)(a+2)=a2﹣a﹣6,
∵a2﹣a+5=0,
∴a2﹣a=﹣5,
∴原式=﹣5﹣6=﹣11.
【点评】本题考查多项式乘以多项式的法则和整体代入思想,熟练掌握运算法则是解题的关键.
13.(2017春•乳山市期末)化简:
(2x+y+1)•(x﹣2y﹣
)+(
)﹣2= 2x2﹣3xy﹣2y2﹣
y+
.
【分析】直接利用多项式乘以多项式化简进而利用负整数指数幂的性质化简求出答案.
)﹣2
=2x2﹣4xy﹣x+xy﹣2y2﹣
y+x﹣2y﹣
+
=2x2﹣3xy﹣2y2﹣
.
故答案为:
2x2﹣3xy﹣2y2﹣
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式以及负整数指数幂的性质,正确掌握运算法则是解题关键.
14.(2017春•水城县校级月考)若(x+6)(x+2)=x(x﹣3)﹣21,则x= ﹣3 .
【分析】根据多项式乘多项式法则,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加计算,然后解方程即可.
去括号,得x2+8x+12=x2﹣3x﹣21,
11x=﹣33,
x=﹣3.
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则,合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同.
15.(2016春•常熟市期末)4个数a,b,c,d排列成
,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:
=ad﹣bc.若
=13,则x= ﹣
【分析】根据题意可以将
=13转化为方程,从而可以求得x的值.
∵
=13,
∴(x﹣2)(x﹣2)﹣(x+3)(x+1)=13,
x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3=13,
﹣8x=12,
解得,x=﹣
,
﹣
【点评】本题考查多项式乘多项式、解一元一次方程,解题的关键是明确题意,会解一元一次方程的方法.
16.(2016春•苏州期中)观察下列各式并找规律,再猜想填空:
(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3,(x+2y)(x2﹣2xy+4y2)=x3+8y3
则(2a+3b)(4a2﹣6ab+9b2)= 8a3+27b3 .
【分析】左边为一个二项式与一个三项式相乘,左边二项式中间加减号与三项式中间第二项加减号正好相反,二项式两项为三项式第一第三项的一次项.
(2a+3b)(4a2﹣6ab+9b2),
=(2a)3+(3b)3,
=8a3+27b3.
8a3+27b3.
【点评】本题考查了完全平方式,是信息题,两数的和乘以这两个数的平方和减去它们的差,等于这两个数的立方和(或两数的差乘以这两个数的平方和加上它们的和,等于这两个数的立方差),读懂题目信息是求解的关键.
17.(2016秋•孟津县期中)若一个三角形的底边长是(2a+6b),该底边上的高为(4a﹣5b),则这个三角形的面积是 4a2+7ab﹣15b2 .
【分析】利用三角形面积公式表示出三角形面积即可.
(2a+6b)(4a﹣5b)=4a2+7ab﹣15b2,
4a2+7ab﹣15b2
18.(2016秋•浦东新区期中)am+bn=5,an﹣bm=4,则(a2+b2)(m2+n2)= 41 .
【分析】将已知两等式分别平方后可得a2m2+2abmn+b2n2=25①,a2n2﹣2abmn+b2m2=16②,①+②得a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=41,等式左边因式分解即可得答案.
∵am+bn=5,an﹣bm=4,
∴(am+bn)2=25,即a2m2+2abmn+b2n2=25①,
(an﹣bm)2=16,即a2n2﹣2abmn+b2m2=16②,
∴①+②,得:
a2m2+b2n2+a2n2+b2m2=41,
∴a2(m2+n2)+b2(m2+n2)=41,
∴(a2+b2)(m2+n2)=41,
41.
【点评】本题主要考查多项式乘多项式与因式分解,根据已知条件得出待求代数式与已知等式间的联系是解题的关键.
19.(2016春•迁安市期中)观察下列多项式的乘法计算:
(1)(x+3)(x+4)=x2+7x+12;
(2)(x+3)(x﹣4)=x2﹣x﹣12;
(3)(x﹣3)(x+4)=x2+x﹣12;
(4)(x﹣3)(x﹣4)=x2﹣7x+12.
根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)=x2﹣8x+15,则a2+b2的值为 34 .
【分析】由已知得出a+b、ab的值,将其代入到a2+b2=(a+b)2﹣2ab中,计算可得.
根据题意,知:
a+b=﹣8,ab=15,
则a2+b2
=(a+b)2﹣2ab
=(﹣8)2﹣2×
15
=64﹣30
=34,
34.
【点评】本题主要考查完全平方公式,熟练掌握公式及其变形是解题的关键.
20.(2015秋•大同期末)关于整式(x﹣2)(x+n)运算结果中,一次项系数为2,则n= 4 .
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算,根据结果中一次项系数为2,确定出n的值即可.
原式=x2+(n﹣2)x﹣2n,
由结果中一次项系数为2,得到n﹣2=2,
n=4.
4
21.(2015春•成华区月考)若(x+ay)(x+by)=x2+3xy﹣4y2,其中a、b为常数,则ab(a+b)= ﹣12 .
【分析】根据多项式的乘法将原式展开解答即可.
因为(x+ay)(x+by)
=x2+(a+b)xy+aby2,
根据题意可得:
把a+b=3,ab=﹣4代入ab(a+b)=﹣12.
﹣12.
【点评】此题考查多项式的乘法,关键是把原式展开得出(a+b)和ab的值.
22.(2014•杭州模拟)已知m+n=2,mn=﹣2,则(1﹣m)(1﹣n)= ﹣3 .
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算,变形后,将m+n与mn的值代入计算即可求出值.
∵m+n=2,mn=﹣2,
∴(1﹣m)(1﹣n)=1﹣(m+n)+mn=1﹣2﹣2=﹣3.
﹣3.
三.解答题(共8小题)
23.(2017春•南皮县期中)按要求解答下列问题:
(1)(﹣3)﹣2;
(2)
a3b2c+
a2b;
(3)(﹣x3)2•(﹣x2)3;
(4)(x﹣1)(x2+x+1).
【分析】
(1)根据有理数乘方即可求出答案.
(2)根据整式除法即可求出答案.
(3)根据整式乘法即可求出答案.
(4)根据多项式乘以多项式即可求出答案.
(1)原式=(﹣
)2=
(2)原式=
abc,
(3)原式=﹣x6•x6=﹣x12
(4)原式=x3﹣1
【点评】本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
24.(2017春•太原期中)如图,某校有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形空地,中间是边长(a+b)米的正方形草坪,其余为活动场地,学校计划将活动场地(阴影部分)进行硬化.
(1)用含a,b的代数式表示需要硬化的面积并化简;
(2)当a=5,b=2时,求需要硬化的面积.
(1)根据题意和长方形面积公式即可求出答案.
(2)将a与b的值代入即可求出答案.
(1)需要硬化的面积表示为:
(3a+b)(2a+b)﹣(a+b)2
化简:
=6a2+3ab+2ab+b2﹣(a2+2ab+b2)
=5a2+3ab
(2)当a=5,b=2时,
∴5a2+3ab=5×
25+3×
5×
2=155(米2)
答:
需要硬化的面积为155平方米.
【点评】本题考查代数式求值,解题的关键是根据题意列出代数式,本题属于基础题型.
25.(2017春•武侯区校级月考)已知(x3+mx+n)(x2﹣3x+4)展开式中不含x3和x2项.
(1)求m、n的值;
(2)当m、n取第
(1)小题的值时,求(m+n)(m2﹣mn+n2)的值.
(1)利用多项式乘以多项式法则计算得到结果,根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组,求出方程组的解即可得到m与n的值;
(2)先利用多项式乘以多项式的法则将(m+n)(m2﹣mn+n2)展开,再合并同类项化为最简形式,然后将
(1)中所求m、n的值代入计算即可.
(x3+mx+n)(x2﹣3x+4)
=x5﹣3x4+(m+4)x3+(n﹣3m)x2+(4m﹣3n)x+4n,
根据展开式中不含x2和x3项得:
即m=﹣4,n=﹣12;
(2)∵(m+n)(m2﹣mn+n2)
=m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
=m3+n3,
当m=﹣4,n=﹣12时,
原式=(﹣4)3+(﹣12)3=﹣64﹣1728=﹣1792.
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
26.(2017春•宝丰县月考)王强想把家里装修一下,某设计师为他家改建了餐厅,餐厅原来是边长为a+2b的正方形,改建后是长为a+3b,宽为a﹣3b的长方形,试问:
改建后餐厅的面积是增大了还是减少了?
通过计算说明(注:
a>3b>0)
【分析】分别计算改建请正方形的面积以及改建后长方形的面积,然后计算他们的面积之差即可判断增大还是减少.
(a+2b)2﹣(a﹣3b)(a+3b)=a2+4ab+4b2﹣(a2﹣9b2)=4ab+13b2
∵a>3b>0,
∴4ab+13b2>0,
∴所以改建后餐厅的面积减少了
【点评】本题考查整式的乘法,解题的关键是熟练运用乘法公式,本题属于基础题型.
27.(2016秋•宁晋县期末)观察下列各式
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1
…
①根据以上规律,则(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= x7﹣1 .
②你能否由此归纳出一般性规律:
(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)= xn+1﹣1 .
③根据②求出:
1+2+22+…+234+235的结果.
【分析】①观察已知各式,得到一般性规律,化简原式即可;
②原式利用得出的规律化简即可得到结果;
③原式变形后,利用得出的规律化简即可得到结果.
①根据题意得:
(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7﹣1;
②根据题意得:
(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)=xn+1﹣1;
③原式=(2﹣1)(1+2+22+…+234+235)=236﹣1.
①x7﹣1;
②xn+1﹣1;
③236﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.
28.
(1)计算:
(a+b+c)×
(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca);
(2)已知a+b+c=0.a,b,c均不为0,求
的值.提示:
由题1可得(a+b+c)×
(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)=a3+b3+c3﹣3abc.
(1)直接利用多项式乘以多项式运算法则化简求出即可;
(2)利用
(1)中所求得出a3+b3+c3﹣3abc=0,进而化简求出即可.
(1)(a+b+c)×
(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca)
=a3+ab2+ac2﹣a2b﹣abc﹣a2c+a2b+b3+bc2﹣ab2﹣b2c﹣abc+a2c+cb2+c3﹣abc﹣bc2﹣c2a
=a3+b3+c3﹣3abc;
(2)∵(a+b+c)×
(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)=a3+b3+c3﹣3abc,
a+b+c=0,
∴a3+b3+c3﹣3abc=0,
∴
=
=3.
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式,正确把握运算法则是解题关键.
29.已知a+b=5,ab=4,求(a+1)(b+1)的值.
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算,变形后将a+b与ab的值代入计算即可求出值.
∵a+b=5,ab=4,
∴原式=ab+(a+b)+1=4+5+1=10.
【点评】此题考查了多项式乘以多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
30.代数式(x+2)(2x﹣a),当x=2时,其值为20,求当x=﹣3时代数式的值.
【分析】将x=2,其值为20代入代数式求出a的值,确定出代数式,将x=﹣3代入计算即可求出值.
当x=2时,原式=4(4﹣a)=20,即4a=﹣4,
a=﹣1,即代数式为(x+2)(2x+1),
当x=﹣3时,原式=(﹣1)×
(﹣5)=5.
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