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出的影响,可是社会、经济系统是抽象的对象,没有明确的“内”、“外”关系,不是客观实体,因此就难以分析输入(投入)对输出(产出)的影响,这是缺乏“模型信息”(即用什么模型,用什么量进行观测控制等信息)。
信息不完全的情况归纳起来有:
元素(参数)信息不完全;
结构信息不完全;
关系信息(特指“内”、“外”关系)不完全;
运行的行为信息不完全。
一个商店可看作是一个系统,在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下,可算出该店的盈利大小、库存多少,可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等,这样的系统是白色系统。
遥远的某个星球,也可以看作一个系统,虽然知道其存在,但体积多大,质量多少,距离地球多远,这些信息完全不知道,这样的系统是黑色系统。
人体是一个系统,人体的一些外部参数(如身高、体温、脉搏等)是已知的,而其他一些参数,如人体的穴位有多少,穴位的生物、化学、物理性能,生物的信息传递等尚未知道透彻,这样的系统是灰色系统。
显然,黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。
世界上没有绝对的白色系统,因为任何系统总有未确知的部分,也没有绝对的黑色系统,因为既然一无所知,也就无所谓该系统的存在了。
1.4灰色系统理论的基本原理
公理1(差异信息原理)“差异“即信息,凡信息必有差异。
公理2(解的非唯一性原理)信息不完全,不确定的解是非唯一的。
公理3(最少信息原理)灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息“。
公理4(认知根据原理)信息是认知的根据。
公理5(新信息优先原理)新信息对认知的作用大于老信息。
公理6(灰性不灭原理):
“信息完全”是相对的,“信息不完全”是绝对的。
1.5灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过20多年的发展,现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。
其主要内容包括以灰色代数系统,灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。
以灰色序列生成为基础的方法体系,以灰色关联空间为依托的分析体系。
以灰色模型(GM)为核心的模型体系,以系统分析,评估,建模,预测,决策,控制,优化为主体的技术体系。
灰色系统的特点
灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
(1)用灰色数学来处理不确定量,使之量化。
在数学发展史上,最早研究的是确定型的微分方程,即在拉普拉斯决定论框架内的数学。
他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值,就能确知事物任何时候的运动。
随后发展了概率论与数理统计,用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。
模
糊数学则研究没有清晰界限的事物,如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等,它通过隶属函数来使模糊概念量化,因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。
灰色系统理论则认为不确定量是灰数,用灰色数学来处理不确定量,同样能使不确定量予以量化。
的方法研究)
1、概率论与数理统计;
2、模糊数学;
3、灰色数学(灰色系统理论)
(2)充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。
灰色系统视不确定量为灰色量。
提出了灰色系统建模的具体数学方法,它能利用时间序列来确定微分方程的参数。
灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程,而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程,通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化,从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。
这样,对某些大系统和长期预测问题,就可以发挥作用。
(3)灰色系统理论能处理贫信息系统。
灰色预测模型只要求较短的观测资料即可,这和时间序列分析,多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。
因此,对于某些只有少量观测数据的项目来说,灰色预测是一种有用的工具。
1.6灰数
灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。
我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。
在应用中,灰1,2,3量化(用确定量
数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。
通常用记号“⊗”表示灰数。
灰数有以下几类:
1.仅有下界的灰数。
有下界而无上界的灰数记为⊗∈
[a,∞],其中-是灰数⊗的下确界,是确定的数,我
∞]为⊗的取数域,简称⊗的灰域。
们称[a-
2.仅有上界的灰数。
有上界而无下界的灰数记为⊗∈
[-∞,a],其中a---是灰数⊗的上确界,是确定的数。
3.区间灰数。
既有下界又有上界的灰数称为区间灰数,
记为⊗∈[--a,a]--
4.
5.连续灰数与离散灰数。
黑数与白数。
当⊗∈[-∞,+∞],称⊗为黑数;
当⊗∈
[a,a]且a=a--------时,称⊗为白数。
6.本征灰数与非本征灰数。
本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数,比如一般的事前预测值,宇宙的总能量等。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段,可以找到一个白数作为其代表的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值。
第二章序列算子与灰色序列生成
灰色系统理论的主要任务之一,是根据社会,经济,生态等系统的行为特征数据,寻找不同系统变量之间或某些系统变
量自身的数学关系和变化规律。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量,并把随机过程看成灰色过程。
灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘,整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,我们称为灰色序列生成。
灰色系统理论认为,尽管客观系统表象复杂,数据离乱,但它总是有整体功能的,因此必然蕴含某种内在规律。
关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。
一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性,显现其规律性。
例如考虑4个数据,记为X(0)
(1),X(0)
(2),X(0)(3),X(0)(4),其数据见下表:
将上表数据作图得
上图表明原始数据X(0)没有明显的规律性,其发展态势是
摆动的。
如果将原始数据作累加生成,记第K个累加生成为X
(1)(K),并且
X
(1)
(1)=X(0)
(1)=1
X
(1)
(2)=X(0)
(1)+X(0)
(2)=1+2=3
X
(1)(3)=X(0)
(1)+X(0)
(2)+X(0)(3)=1+2+1.5=4.5
X
(1)(4)=X(0)
(1)+X(0)
(2)+X(0)(3)+X(0)(4)=1+2+1.5+3=7.5
得到数据如下表所示
上图表明生成数列X
(1)是单调递增数列。
2.1冲击扰动系统与序列算子
定义2.1.1设
X0=(x0
(1),x0
(2),,x0(n))为系统真实行为序列,而观察到的系统行为数据序列为
X=(x
(1),x
(2),,x(n))=(x0
(1)+ε1,x0
(2)+ε2,,x0(n)+εn)=X0+ε
其中,ε=(ε1,ε2εn)为冲击扰动项(干扰项)。
X称为动序列。
所以本章我们的讨论围绕:
由X→X0展开(扰动还原真实)
2.2缓冲算子公理
定义2.2.1设系统行为数据序列为X
1.若∀k=2,3,n,x(k)-x(k-1)>
0,则称=(x
(1),x
(2),,x(n)),X为单调增长序列;
2.若1中不等号反过来成立,则称X为单调衰减序列;
3.若∃k,k'
∈{2,3,n},有x(k)-x(k-1)>
0,x(k'
)-x(k'
-1)<
0,则称X为随机振荡序列。
4.设M=max{x(k)|k=12,3,,,n},m={x(k)|k=12,3,,,n},则称M-m为序列X的振幅
定义2.2.2设X=(x
(1),x
(2),,x(n))为系统行为数据系列,D为作用于X的算子,X经过算子D作用后所得序列记为
XD=(x
(1)d,x
(2)d,,x(n)d)
称D为序列算子,称XD为一阶算子作用序列。
序列算子的作用可以多次,相应的,若D1,D2,D3都是序列算子,
我们称D1D2为二阶算子,并称
XD1D2=(x
(1)d1d2,x
(2)d1d2,,x(n)d1d2)
为二阶算子作用序列,同理,D1D2D3为三阶序列算子„„
定义2.2.3称下述三公理为缓冲算子三公理,满足缓冲算子三公理的序列算子D称为缓冲算子,一阶,二阶,三阶„„缓冲算子作用序列称为一阶,二阶,三阶„„缓冲序列。
公理1(不动点公理)设X=(x
(1),x
(2),,x(n))为系统行为
数据系列,D为序列算子,则D满足x(n)d=x(n)。
不动点公理限定在序列算子作用下,系统行为数据序列的数据x(n)保持不变。
根据定性分析的结论,亦可使x(n)以后的若干个数据在序列算子作用下保持不变。
例如,令
x(j)d≠x(j)且x(i)d=x(i)
其中,j=1,2,k-1i=k,k+1,,n.
公理2.(信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k),k=1,2,,都要充分地参与算子的作用全过程
公理3(解析化、规范化公理)任意的
皆可由一个统一的x
(1),x
(2),x(k)d,(=k1,2,,,x(n)的初等解析式表达。
定义2.2.4设X为原始数据序列,D为缓冲算子,当X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时:
1.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)减缓或振幅减小,则称缓冲算子D为弱化算子。
2.若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度(或衰减速度)加快或振幅增大,则称缓冲算子D为强化算子。
2.3实用缓冲算子的构造
定理2.3.1设原始数据序列X=(x
(1),x
(2),,x(n))令缓
(1)d,x(2d),x,n(d冲序列XD=(x
其中x(k)d=1[x(k)+x(k+1)+n-k+1+x(n)];
k=1,2,„„,n,则当X为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为弱化算子,并称为平均
弱化缓冲算子(AWBO)
证明:
直接利用x(k)d,(k=1,2,)的定义,可知定理成立。
推论2.3.1对于定理1中定义的弱化算子D,
令XD2=XDD=(x
(1)d2,x
(2)d2,
x(k)d2=1[x(k)d+x(k+1)d+n-k+1,x(n)d2)+x(n)d],k=1,2n,
则D2对于增长序列,衰减序列或振荡序列时,皆为二阶弱化算子。
定理2.3.2设原始序列和其缓冲算子序列分别为
X=(x
(1),x
(2),,x(n))
XD=(x
(1)d,x
(2)d,
其中x(k)d=
x
(1)+x
(2)+,x(n)d),k=1,2,n-1+x(k-1)+kx(k)2k-1x(n)d=x(n)
则当X为增长序列(越来越大),衰减序列或振荡序列时,D为强化算子。
推论2.3.2设D为定理2中定义的强化算子,令
2=XD=D((1x)2d,XD2(x2)d,2,x,其中(n)d)
x(n)d2=x(n)d=x(n)
x(k)d2=x
(1)d+x
(2)d++x(k-1)d+kx(k)d
2k-1,k=1,2,n-1,
则D2对于增长序列,衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算子。
定理2.3.3原始数据序列和其缓冲算子序列分别为
其中x(k)d=kx(k)+(k+1)x(k+1)++nx(n)
(n+k)(n-k+1)/2,k=1,2则当,n,X为增长
序列,衰减序列或振荡序列时,D为弱化算子,并称D为加权平均弱化缓冲算子(WAWBO)
定理2.3.4设X=(x
(1),x
(2),,x(n))为非负的系统行为数据序列,令XD=(x
(1)d,x
(2)d,
其中x(k)d=[x(k)x(k+1)x(n)]1
n-k+1n,x(n)d)1n-k+1=[∏x(i)]
i=k,k=1,2,n。
则当X为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为弱化缓冲算子,并称D为几何平均弱化缓冲算子(GAWBO)
定理2.3.5设X=(x
(1),x
(2),,x(n))为系统行为数据序列,各时点的权重向量为ω=(ω1,ω2
XD=(x
(1)d,x
(2)d,,x(n)d)ωn),则
其中x(k)d=ωkx(k)+ωk+1x(k+1)++ωnx(n)
ωk+ωk+1++ωn,k=1,2,n。
则当XD皆
为弱化缓冲算子,并称D为加权平均弱化缓冲算子(WAWBO)。
定理2.3.6设X
量为ω=(ω1,ω2=(x
(1),x
(2),,x(n)),各时点的权重向ωn)>
0,
x(n)d)令XD=(x
(1)d,x
(2)d,
其中
1
x(k)d=[x(k)xωkωk+1(k+1)x(n)]ωnk+k+1++n=[∏x(i)]
i=kn1k+k+1++n,k=1,2,n
则当XD为弱缓冲算子,并称D为加权几何平均弱化缓冲算子(WGAWBO)。
定理2.3.7设X=(x
(1),x
(2),,x(n))为系统行为数据序
列,令XD=(x
(1)d,x
(2)d,,x(n)d),k=1,2,n。
(n-k+1)x2(k)其中x(k)d=x(k)+x(k+1)++x(n)
则当X为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为强化缓冲算子,并称D为平均强化缓冲算子(ASBO)
定理2.3.8设X=(x
(1),x
(2),,x(n))为非负的系统行为数据序列,令XD=(x
(1)d,x
(2)d,
其中x(k)d=x2(k)
[x(k)x(k+1)x(n)]1
n-k+1,x(n)d)x2(k)n1n-k+1=,k=1,2,n。
[∏x(i)]
i=k
则当X为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为强化缓冲算子,并称D为几何平均强化缓冲算子(GASBO)
以上列举了部分缓冲算子,当然,我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子,缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模,而且还可以用于其它各种模型建模。
通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子,淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影响,往往会收到预期的效果。
[例2.3.1]河南省长葛县乡镇企业产值数据(1983年-1986年)为
X=(10155,12588,23480,35388)
其增长势头很猛,1983-1986年每年平均递增51.6%,尤其是1984-1986年,每年平均递增67.7%。
因此普遍认为今后不可能一直保持这么高的发展速度。
经过认真分析,大家认识到增长速度高主要是基数低,而基数低的原因是过去对有利与乡镇企业发展的政策没有用足,用活,用好。
要弱化序列增长趋势,就要将
乡镇企业发展比较有利的现行政策因素附加到过去的年份中去,为此,引进推论1所示的二阶弱化算子,得二阶缓冲序列XD2=(27260,29547,32411,35388)
用XD2建模预测得,1986-2000年该县乡镇企业每年平均递增
9.4%,这一结果是1987年得到的,与“八五”后半期和“九五”期间该县乡镇企业发展实际基本吻合。
2.4均值生成算子
在收集数据时,常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也称空穴),有些数据序列虽然完整,但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据,剔除异常数据就会留下空穴,如何填补空穴,自然成为数据处理过程中首先遇到的问题,均值生成是常用的构造新数据,填补原序列空穴,生成新序列的方法。
定义2.4.1设序列X在k出现有空穴,记为∅(k),即
X=(x
(1),x
(2),,x(k-1),∅(k),x(k+1),,x(n))则称x(k-1)和x(k+1)为∅(k)的界值,x(k-1)为前界,x(k+1)为后界
当∅(k)是由x(k-1)和x(k+1)生成时,称生成值x(k)为[x(k-1),x(k+1)]的内点
定义2.4.2设序列
X=(x
(1),x
(2),,x(k-1),∅(k),x(k+1),,x(n))为k处有空穴∅(k)的序列,而∅(k)=x*(k)=0.5x(k-1)+0.5x(k)称为非紧邻均值生成数,所得序列称为非紧邻生成序列。
定义2.4.3设序列X=(x
(1),x
(2),,x(n)),若
x*(k)=0.5x(k-1)+0.5x(k),则称x*(k)为紧邻生成数,由紧邻生
成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。
2.5序列的光滑性
定义2.5.1设序列X
是X的均值生成序列:
Z=(z
(1),z
(2),=(x
(1),x
(2),,x(n),x(n+1)),Z,z(n)),其中z(k)=0.5x(k-1)+0.5x(k),X*是某一可导函数的代表序列,d为n维空间的距离函数,我们将X删去x(n+1)后所得的序列仍记X,若X满足
1.当k充分大时,x(k)<
∑x(i)
i=1k-1
x*(k)-x(k)≥maxx*(k)-z(k)2.max1≤k≤n1≤k≤n
则称X为光滑序列,1,2为序列光滑条件。
定义2.5.2称ρ(k)=x(k)
i=1k-1;
k=2,3,n
为序列X的光滑比。
定义2.5.3若序列X满足
1.ρ(k+1)<
1;
ρ(k)k=2,3,n-1
2.ρ(k)∈[0,ε];
3.ε<
0.5
则称X为准光滑序列。
2.6级比生成算子k=3,4,n
定义2.6.1设序列X=(x
(1),x
(2),,x(n)),则称
σ(k)=x(k);
x(k-1)k=2,3,n
为序列X的级比。
2.7累计生成算子与累减生成算子
累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。
通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。
定义2.7.1设X0=(x0
(1),x0
(2),,x0(n)),D为序列算子
X0D=(x0
(1)d,x0
(2)d,
x(k)d=∑x0(i);
i=1k,x0(n)d),其中,n。
k=1,2,3,
则称D为X0的一次累加生成算子,记为1-AGO(AccumulatingGenerationOperator),称r阶算子Dr为X0的r次累加生成算子,记为r-AGO,习惯上,我们记
X0D=X1=(x1
(1),x1
(2),,x1(n))
X0Dr=Xr=(xr
(1),xr
(2),,xr(n))
其中x(k)d=∑xr-1(i);
r
i=1kk=1,2,3,,n
定义2.7.2(累减)设X0=(x0
(1),x0
(2),
算X0D=(x0
(1)d,x0
(2)d,,x0(n)d),其中
x0(k)d=x0(k)-x0(k-1)k=1,2,3,,n,x0(n)),D为序列
2.8灰指数律
定义2.8.1设序列X
1.x(k)=ceak;
2.x(k)=ceak;
=(x
(1),x
(2),,x(n)),若对于c,a≠0;
k=1,2c,a,b≠0;
k=1,2n则称X为齐次指数序列。
X为齐次指数序列。
x(n))若n,称定义2.8.2设序列X
1.∀k,σ(k)=
律。
2.
3.∀k,σ(k)=∀k,σ(k)==(x
(1),x
(2),x(k)∈(0,1],则称序列x(k-1)X具有负的灰指数规x(k)∈(1,b],则称序列x(k-1)X具有正的灰指数规x(k)∈[a,b],b-a=δx(k-1)则称序列X具有绝对灰度为δ的灰指数规律。
4.δ
定理2.8.1设序列X0=(x0
(1),x0
(2),,x0(n))为非负准光滑序<
0.5时,称X具有准指数规律。
列,则X0的一次累加生成序列X1具有准指数规律。
注:
定理2.8.1是灰色系统建模的理论基础
第三章灰色关联分析
对两个系统或两个因素之间关联性大小的量度,称为关联度。
它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况,也就是变化大小、方向及速度等指标的相对性。
如果两者在系统发展过
程中相对变化基本一致,则认为两者关联度大;
反之,两者关联度就小。
灰色系统理论的关联度分析与数理统计学的相关分析是不同的,两者的区别在于第一,它们的理论基础不同。
关联度分析基于灰色系统的灰色过程,而相关分析则基于概率论的随机过程;
第二,分析方法不同。
关联分析是进行因素间时间序列的比较,而相关分析是因素间数组的比较;
第三,数据量要求不同。
关联分析不要求数据太多,而相关分析则需有足够的数据量;
第四,研究重点不同。
关联度分析主要研究动态过程,而相关分析则以静态研究为主。
因此,关联度分析适应性更广,在用于社会经济系统中的应用更有其独到之处。
一般的抽象系统,如社会系统,经济系统,农业系统,生态系统等都包含有许多种因素,多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。
我们常常希望知道众多的因素中,哪些是主要因素,哪些是次要因素,哪些因素对系统发展影响大,哪些因素对系统发展影响小,哪些因素对系统发展起推动作用需加强,哪些因素对系统发展起阻碍作用
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