立体几何第二章学案复习Word文档格式.docx
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异面直线所成的角的范围是(0,
].
3.直线和平面的位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点;
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点;
(3)直线与平面平行——没有公共点
直线和平面相交或平行统称直线在平面外.
4.平面与平面位置关系
(1)平行——没有公共点;
(2)相交——有一条公共直线.
误区警示
1.等角定理是求空间中两条直线所成角的基础,运用定理时,应注意“这两个角相等或互补”,只有在“方向相同”时才相等.
2.同一平面内两条直线不平行则必相交,但在空间中则不然,平面几何中的一些结论在空间中未必成立.
一、共线与共面问题
证明共线时,所共的直线一般定位为两个平面的交线;
证明共面问题时,一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面),再证共它元素在该平面内.
二、平移转化法
求异面直线所成角的关键——平移直线
异面直线所成角的大小,是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的.因此,平移直线是求异面直线所成角的关键.这里给出几种平移直线的途径.
(1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形,或根据实际情况构造辅助平面,在辅助平面内平移直线构造可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之一;
这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面,在这个平面内过这个点作这条直线的平行线,或在两条异面直线上各选一点连线,构造两个辅助面过渡.
[例1] 如下图所示,在正方体AC1中,M、N分别是A1B1、BB1的中点,求异面直线AM和CN所成角的余弦值.
(2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之二;
这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可利用面面平行的性质,将一条直线平移到另一条所在的平面内.
[例2] 如右图所示,正方体AC1中,B1E1=D1F1=
,求BE1与DF1所成角的余弦值.
(3)整体平移几何体,构造可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之三.
这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件.
[例3] 如下图长方体AC1中,AB=12,BC=3,AA1=4,N在A1B1上,且B1N=4.求BD1与C1N所成角的余弦值.
[例1] 如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CGGD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连结EH.
(1)求AHHD
(2)求证:
EH、FG、BD三线共点.
变试题:
如图,在四面体ABCD中作截图PQR,PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交于K.求证M、N、K三点共线.
[例2] 如下图所示正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由.
(2)D1B和CC1是否是异面直线?
变式题:
已知m、n为异面直线,m⊂平面α,n⊂平面β,α∩β=l,则l( )
A.与m、n都相交B.与m、n中至少一条相交
C.与m、n都不相交D.与m、n中的一条直线相交
[例3] (08·
江西)设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是
( )
A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
变式题
(09·
江苏)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题中,真命题的序号________(写出所有真命题的序号).
[例4] 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )
(2009·
四川)如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.
检测题
一、选择题
1.(2010·
深圳市调研)已知E、F、G、H是空间内四个点,条件甲:
E、F、G、H四点不共面,条件乙:
直线EF和GH不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.(2010·
江西文,11)如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.
其中真命题是( )
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
3.(09·
湖南)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A.3B.4C.5D.6
4.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A.4条B.6条C.8条D.12条
5.已知a、b、c是相异直线,α、β、γ是相异平面,下列命题中正确的是( )
A.a与b异面,b与c异面⇒a与c异面B.a与b相交,b与c相交⇒a与c相交
C.α∥β,β∥γ⇒α∥γD.a⊂α,b⊂β,α与β相交⇒a与b相交
6.(2010·
广东柳州铁一中高考冲刺)三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1,P为侧棱B1B上的点,则四棱锥P-ACC1A1的体积为( )
A.
B.
C.2D.1
7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°
,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值为( )
C.
D.
8.(文)直线l⊂平面α,经过α外一点A与l、α都成30°
角的直线有且只有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
(理)(2010·
江西理)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
9.(2010·
湖北文,4)用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;
④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A.①②B.②③C.①④D.③④
10.(文)(2010·
淄博一中)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则α∥β是l⊥m的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(理)(09·
福建)设m,n是平面α内的两条不同直线;
l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2
C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2
二、填空题
11.如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为________.(从相交、平行、异面、重合中选填)
12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为______.
13.(文)(2010·
江苏盐城调研)已知l是一条直线,α,β是两个不同的平面.若从“①l⊥α;
②l∥β;
③α⊥β”中选取两个作为条件,另一个作为结论,试写出一个你认为正确的命题________.(请用代号表示)
(理)已知直线l1、l2与平面α.则下列结论中:
①若l1⊂α,l2∩α=A,则l1、l2为异面直线②若l1∥l2,l1∥α,则l2∥α
③若l1⊥l2,l1⊥α,则l2∥α④若l1⊥α,l2⊥α,则l1∥l2
正确结论的序号是________.
14.(文)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________(注:
把你认为正确的结论序号都填上).
上海大同中学模拟)给出如下四个命题:
①有三个角是直角的四边形一定是矩形;
②不共面的四点可以确定四个平面;
③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线;
④若点A、B、C∈平面M,且点A、B、C∈平面N,则平面M与平面N重合.其中真命题的序号是________.
三、解答题
15.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是A1A的中点,求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
16.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,若A1C交平面BDEF于点R,试确定点R的位置.
17.(2010·
湖南文)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.
(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;
(2)证明:
平面ABM⊥平面A1B1M.
线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用难点:
定理的灵活运用
一、直线与平面平行
1.判定方法
(1)用定义:
直线与平面无公共点.
(3)其它方法:
⇒a∥α
2.性质定理:
⇒a∥b
二、平面与平面平行
两个平面无公共点
(2)判定定理:
⇒α∥β(3)其它方法:
⇒α∥β;
⇒α∥β
⇒α∥β.
⇒a∥b3.两条直线被三个平行平面所截,截得线段对应成比例.
1.应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时,条件不足或条件与结论不符是常见的错误,解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论,明确这个定理是干什么用的,具备什么条件才能用.其中线面平行的性质定理是核心,证题时,找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键,另外在证明平行关系时,常见错误是
(1)“两条直线没有公共点则平行”;
(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”,不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来,解决的关键是先说明它们在同一个平面内.
2.注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义.
3.注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时,不是两平面内的任意直线,必须找或作出第三个平面与两个平面都相交,则交线平行.
应用二面平行的判定定理时,两条相交直线的“相交”二字决不可忽视.
4.要注意符合某条件的图形是否惟一,有无其它情形.
一、转化的思想
解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化
[例1] 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内,P、Q分别是对角线AE、BD上的点,且AP=DQ.
求证:
PQ∥平面CBE.
二、解题技巧
要能够灵活作出辅助线、面来解题,作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据.
[例1] (08·
湖南)若有直线m、n和平面α、β,下列四个命题中,正确的是
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α
(2010·
浙江理)设m,l是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m
[例2]
如图,四边形ABCD为矩形,BC⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:
AE⊥BE;
(2)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点,求证:
MN∥平面DAE.
北京文,17)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,EF∥AC,AB=
,CE=EF=1.
AF∥平面BDE;
CF⊥平面BDF.
[例3] (2010·
山东青岛)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点.
平面AD1E∥平面BGF;
D1E⊥平面AEC.
(理)如图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E.
=
;
(2)设AF交β于M,AD与CF不平行,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当
的值是多少时,S△BEM的面积最大?
2如图所示,平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外,且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
[例5] (文)如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°
,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.
(1)证明:
PA⊥平面ABCD;
(2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?
如果存在,请求出此时PF∶FC的值;
如果不存在,请说明理由.
(理)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AA1的三等分点,即AM=AA1,P在棱CC1上移动,过DM和P作正方体的截面,当截面为四边形时,求截面面积的最大值,并求出截面面积最大时P点的位置.
(理)(2010·
江苏洪泽中学月考)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°
,PA=BC=AD.
平面PAC⊥平面PCD;
(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?
若存在,请确定E点的位置;
若不存在,请说明理由.
1.(2010·
曲师大附中)已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线a,b,则下列四个命题中为真命题的是( )
A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若α⊥β,α∩β=b,a⊥b,则a⊥β
C.若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.若α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α,则a∥β
2.(文)(2010·
北京顺义一中月考)已知l是直线,α、β是两个不同平面,下列命题中的真命题是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥βD.若l∥α,α∥β,则l∥β
山东潍坊)已知m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β
C.若m∥n,m∥α,则n∥αD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
3.(2010·
福建福州市)对于平面α和共面的直线m,n,下列命题是真命题的是( )
A.若m,n与α所成的角相等,则m∥nB.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m⊂α,n∥α,则m∥n
4.(2010·
江苏南通)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分别是棱AA1、CC1的中点,则过点B、P、Q的截面是( )
A.邻边不等的平行四边形B.菱形但不是正方形C.邻边不等的矩形D.正方形
5.(2010·
广东罗湖区调研)已知相异直线a,b和不重合平面α,β,则a∥b的一个充分条件是( )
A.a∥α,b∥αB.a∥α,b∥β,α∥βC.a⊥α,b⊥β,α∥βD.α⊥β,a⊥α,b∥β
6.(文)如果直线l、m与平面α、β、γ满足l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )
A.m∥β且l⊥mB.α∥β且α⊥γC.α⊥β且m∥γD.α⊥γ且l⊥m
(理)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:
①AB⊥EF②AB与CM成60°
③EF与MN是异面直线④MN∥CD其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.①③
7.(文)对于直线m、n和平面α,下面命题中的真命题是( )
A.如果m⊂α,n⊄α,m、n是异面直线,那么n∥α
B.如果m⊂α,n与α相交,那么m、n是异面直线
C.如果m⊂α,n∥α,m、n共面,那么m∥n
D.如果m∥α,n∥α,m、n共面,那么m∥n
(理)如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中,点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的重心.从K、H、G、B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为( )
A.KB.HC.GD.B′
8.(2010·
福建理)如图,若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( )
A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台
9.已知平面α、β满足α∥β,AB和CD是夹在α与β之间的线段,AB⊥CD,且AB=2,如果直线AB与α所成的角为30°
,那么线段CD的长的取值范围是( )
A.(
,
]B.[1,+∞)C.[1,
]D.[
,+∞)
10.(2010·
日照实验高中)如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上移动,且始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是( )
11.过两平行平面α、β外的一点P作两条直线,分别交α于A、C两点,交β于B、D两点,若PA=6,AC=9,PB=8,则BD=________.
12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1cm,过AC作平行于对角线BD1的截面,则截面面积为________.
13.(文)下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号).
(理)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
14.(文)如图,在正方体中选出两条棱和两条面对角线,使这四条线段所在的直线两两都是异面直线,如果我们选定一条面对角线AB1,那么另外三条线段可以是________(只需写出一种情况即可).
辽宁省高考模拟)一几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.
15.如图,正四棱锥S-ABCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点P、Q分别在BD和SC上,并且BP:
PD=1:
2,PQ∥平面SAD,求线段PQ的长.
16(理)(2010·
河北唐山)如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱VA⊥底面ABCD,E、F、G分别为VA、VB、BC的中点.
平面EFG∥平面VCD;
(2)当二面角V-BC-A、V-DC-A分别为45°
、30°
时,求直线VB与平面EFG所成的角.
17(理)(2010·
安徽文,19)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°
,BF=FC,H为BC的中点.
FH∥平面EDB;
AC⊥平面EDB
(3)求四面体B-DEF的体积.
线面、面面垂直的定义、判定定理、性质定理
线面、面面垂直的判定、性质定理的灵活应用
1.直线与平面垂直
(1)定义:
如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直.
(2)判定方法
①用定义.
②判定定理:
⇒a⊥α.
③推论:
⇒b⊥α. ④
⇒a⊥β.
(3)性质
①
⇒a⊥b.②
⇒a∥b.
2.两个平面垂直
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理
①性质定理 ②重要结论
⇒a⊥β.
⇒A∈l.
⇒PA⊂α.
3.线面角和二面角
(1)线面角:
平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角θ的范围是[0°
,90°
].
θ=0°
时,直线在平面内或与平面平行.
θ=90°
时,直线与平面垂直.
(2)二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,在二面角的棱上任取一点O,在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB,则∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的取值范围是[0°
,180°
),θ=0°
时两个半平
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