离散总复习Word格式.docx
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C)对称的、非传递的;
D)自反的、对称的和传递的
10、令X={1,2,…,10}。
定义xRy的意义是3整除x-y。
则关系R是()D
B)自反的、非传递的C)对称的、非传递的
D)自反的、对称的和传递的
11、下列S不是集合X={1,2,3,4,5,6,7,8}的一个划分的是()D
A)S={{1,4,5},{2,6},{3},{7,8}}
B)S={{1,4},{2,6},{3,5},{7,8}}
C)S={{1,4,5},{2,3,6},{7,8}}
D)S={{1,4},{2,6},{3},{7,8}}
12、从X={1,2,3}到Y={a,b,c,d}的函数f={(1,b),(3,a),(2,c)}是()A
A)一对一的B)映上的C)双射D)都不是
13、设R是X={1,2,3,4}上的关系,x,y∈X,如果x≤y,则(x,y)∈R。
关系R是()B
A)对称的B)自反的和传递的C)等价关系D)对称的但不是等价关系
14.偏序关系具有性质( )D
A.自反、对称、传递
B.自反、反对称
C.反自反、对称、传递
D.自反、反对称、传递
15.对公式
的说法正确的是( )
A
A.x是约束出现,y是约束出现,z是自由出现
B.x是约束出现,y既是约束出现又是自由出现,z是自由出现
C.x是约束出现,y既是约束出现又是自由出现,z是约束出现
D.x是约束出现,y是约束出现,z是约束出现
16.在简单无向图G=
中,如果V中的每个结点都与其余的所有结点邻接,则该图称为( )B
A.正则图B.完全图
C.连通图D.强连通图
17.给定n个结点的一个图,它还是一个树的下列说法中,( )是不对的。
D
A.无回路的连通图
B.无回路但若增加一条新边就会变成回路
C.连通且e=v-1,其中e是边数,v是结点数
D.所有结点的度数≥2
18.设p为真q为假,r为真,下列为假的式子为()B
A)(pq)r为()真
B)(pq)r为()假
C)p(qr)为()真
D)p(qr)为()真
19.从X={1,2,3}到Y={a,b,c}的函数f={(1,a),(2,c),(3,b)}是
A)一对一的,并且是对Y映上的。
()真
B)一对一的,但不是对Y映上的。
C)不是一对一的。
D)不是对Y映上的。
20..下列递归关系是常系数齐次线性递归关系?
A
(A)
(B)
(C)
(D)
如A={a,b,c},P(A)的成员Ø
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},|P(A)|=_8_____|A|=__3____________
X={1,2,3}Y={a,b},则X×
Y=__={{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b}}__
二.综合题:
1.令X={x|x2+x-2=0},Y=整数集合,论域为实数集合。
证明XY。
解:
为了证明XY,必须证明对每个实数x
x∈Xx∈Y
设x为论域中的元素,即假定x是实数,如果x∈X,则解方程
x2+x-2=0
得x=1或x=-2。
若x=1,则x是整数,于是x∈Y。
若x=-2,则x也是整数,于是x∈Y。
所以,对于论域中的每个x,
从而得出结论XY。
2.用符号形式写出下列命题
a)假如上午不下雨,我去看电影;
否则就在家里读书或看报.
b)我今天进城,除非下雨.
c)仅当你走,我将留下.
[解]a)设P:
上午天下雨.Q:
我去看电影
R:
我在家读书S:
我在家看报
原命题可译为:
(┐P→Q)(P→(RS))∧∨
b)设:
P:
我今天进城Q:
天下雨
┐Q→P
c)设:
你走Q:
我留下,
Q→P
3.用真值表判断下列各组公式是否等价:
(a)P→(Q→R)与(P∧Q)→R
(b)(P→Q)→R与(P∧Q)→R
[解]由下表可知P→(Q→R)<=>(P∧Q)→R而(P→Q)→R<≠>(P∧Q)→R
PQR
P→(Q→R)
(P∧Q)→R
(P→Q)→R
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF
T
F
4.用真值表证明:
(a)合取运算的结合律
(b)德摩根定律
[解](a)如表21-1,(P∧Q)∧R<=>P∧(Q∧R)
(b)如表21-2,┐(P∧Q)<=>┐P∨┐Q
┐(P∨Q)<=>┐P∧┐Q
表21-1:
P∧Q
(P∧Q)∧R
Q∧R
P∧(Q∧R)
表21-2
PQ
┐P
┐Q
┐P∨┐Q
┐(P∧Q)
┐P∧┐Q
┐(P∨Q)
TT
TF
FT
FF
5.证明pq的否定式与p∧┐q是逻辑等价的。
证明:
为了证明以上两个是等价的,需证明
┐pqp∧┐q.
可通过写出P=┐pq和Q=p∧┐q的真值表,来验证,对于任意给定p和q的真值,或者P和Q都为真,或者P和Q都为假:
pq
┐pqp∧┐q
TT
FF
TF
因此,P和Q是逻辑等价的。
6.证明:
条件命题pq和它的逆否命题是等价的
证明条件命题pq的逆否命题为:
┐q┐p。
真值表
pq┐q┐p
表明pq和┐q┐p是逻辑等价的。
7.用符号来表示句子:
每个摇滚迷都喜欢U2
并用符号和文字分别表示这个句子的否定。
定义命题函数P(x)表示“x喜欢U2”,给定的句子可用符号表示为
xP(x)
论域为所有的摇滚迷。
根据定理1.3.14(a),命题┐xP(x)与
x┐P(x)
逻辑等价。
这个命题可用文字叙述为:
存在一个摇滚迷不喜欢U2。
8.用符号表示句子:
有些鸟不会飞。
令命题函数P(x)表示“x会飞”,给定的句子可用符号表示为
(这个句子也可以表示为xQ(x),其中命题Q(x)表示“x不会飞”。
可以用很多种方式表示同一句话。
)论域是所有的鸟。
根据定理1.3.14(b),命题┐x┐P(x)与
xP(x)
所有的鸟都会飞。
9.用反证法证明句子:
对于所有的整数m,若m2为奇数,则m为奇数。
首先将m看作任意的整数。
命题
若m2为奇数,则m为奇数。
的逆否命题为
若m为不是奇数,则m2不是奇数。
等价于
若m为偶数,则m2为偶数。
因此假定m为偶数,则m=2k,其中k为某个整数。
于是m2=(2k)2=2·
(2k2)。
由于m2可以写成2×
某个整数的形式(整数为2k2),所以m2为偶数。
证毕。
10.令a和b为实数且a<
b。
证明存在实数x满足a<
x<
证明只需找到一个实数x满足a<
b即可。
实数
x=
显然满足a<
11.(1.5证明)确定论证过程
pq
p
——
q
是有效的。
[第一种解法]给所有有关的命题建立真值表:
pqpq
TTT
FTF
TFT
TFF
注意到,只要前提pq和p为真,结论q就为真。
所以论证过程是有效的。
[第二种解法]可以不用写出真值表,而直接验证只要前提为真,结论就为真。
假设pq和p为真,q必为真,不然pq应该为假。
所以,论证过程是有效的。
12.(1.6归纳法)使用归纳法证明
n!
2n-1n=1,2,…(1.7.9)
基本步.
[条件(1.7.7)]必须说明如果n=1,式(1.7.9)为真。
这很容易做到,因为1!
=11=21-1。
归纳步
[条件(1.7.8)]假设对于n不等式成立。
即假设
2n-1(1.7.10)
为真。
必须证明对于n+1不等式为真,即必须证明
(n+1)!
2n(1.7.11)
注意到
=(n+1)(n)!
便可以建立式(1.7.10)和式(1.7.11)之间的联系。
有
(n+1)2n-1根据式(1.7.11)
22n-1因为n+12
=2n
因此,式(1.7.11)为真。
由此,完成了归纳步。
因为基本步和归纳步都已经通过验证,所以,依数学归纳法原理可以保证对于每一个正整数n式(1.7.9)都为真。
■
13.(2.1集合)如果X={1,2,3},Y={a,b},写出:
X×
Y,Y×
X,X×
X,Y×
Y
Y={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
Y×
X={(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}
X={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Y={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}
14.(2.3序列和串)定义序列s为
sn=2n+4·
3n,n≥0
(1)
(a)求s0。
(b)求s1。
(c)求si的公式。
(d)求sn-1的公式。
(e)求sn-2的公式。
(f)证明序列{sn}满足
sn=5sn-1-6sn-2,对所有n≥2
(2)
(a)在
(1)式中,将n替换为0,可得
s0=20+4·
30=5
(b)在
(1)式中,将n替换为1,可得
s1=21+4·
31=14
(c)在
(1)式中,将n替换为i,可得
si=2i+4·
3i
(d)在
(1)式中,将n替换为n-1,可得
sn-1=2n-1+4·
3n-1
(e)在
(1)式中,将n替换为n-2,可得
sn-2=2n-2+4·
3n-2
(f)为证明等式
(2)式,将(d)和(e)得出的公式代入
(2)的右边,然后运用代数方法证明等式右边等于sn。
可得
5sn-1-6sn-2=5(2n-1+4·
3n-1)-6(2n-2+4·
3n-2)
=(5·
2-6)2n-2+(5·
4·
3-6·
4)3n-2
=4·
2n-2+36·
=22·
2n-2+(4·
32)·
=2n+4·
3n=sn
15.(3.1关系)设R是X={1,2,3,4}上的关系,x,y∈X,如果x≤y,则(x,y)∈R。
R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}。
用有向图表示关系R。
16.(3.1关系)从集合X={2,3,4}到Y={3,4,5,6,7}的关系R定义为
(x,y)∈R如果x整除y,
写出关系R,及R-1
R={(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)}。
R-1={(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4)}。
这种关系可用文字描述为“…被…整除”。
17.(3.3关系矩阵)设从X={1,2,3,4}到Y={a,b,c,d}的关系
R={(1,b),(1,d),(2,c),(3,c),(3,b),(4,a)}
写出:
对应于顺序1,2,3,4和a,b,c,d的矩阵是
18.(3.3关系矩阵)集合{a,b,c,d}上的关系
R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,c),(c,b)}
对应于顺序a,b,c,d的矩阵
19.(3.3关系矩阵)设:
{a,b,c,d}上的关系
R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(c,b)}
写出对应于顺序a,b,c,d的矩阵A,及矩阵的平方A2,并据此判断关系R是否是传递的。
矩阵A为:
其平方为:
A2中第1行第2列的项非零,但是A中相应的项是零。
所以R不是传递的。
20.(5.3欧几里德定理)利用欧几里德算法求:
gcd(504,396)
令a=504,b=396
amodb=504mod396=108
amodb=396mod108=72
amodb=108mod72=36
amodb=72mod36=0
a(36),即396和504的最大公因子
21.(5.3欧几里德定理)利用欧几里德算法求gcd(273,110)
令a=273,b=110开始。
Euclid算法首先计算
r=273mod110=53
然后赋值a=110,b=53。
接着计算
r=110mod53=4
然后赋值a=53,b=4。
r=53mod4=1
然后赋值a=4,b=1。
r=4mod1=0
由于r=0,算法停止,求出了273和110的最大公因子是1。
22(6.2排列与组合)7个男生,5个女生排队,如果不能有2个女生的排在一起,有多少种方法?
7个男的排列,有7!
种;
为使不能有2个女生排在一起,女生必须在男生之间、或两旁的男生外面,共8个位置上穿插排列,则女生有P(8,5)种不同排法;
故:
共有7!
*P(8,5)
23.(6.4离散概率)若彩民从1~52个数中选取的6个数与随机生成的中奖数字相同(不计顺序),则可以赢得大奖。
求一张彩票赢得大奖的概率。
从52个数字中选取6个共有C(52,6)种选法,而得大奖的组合只有一种,故赢得大奖的概率为1/C(52,6)=0.000000049
24.(6.4离散概率)一手桥牌包含从52张扑克牌中选取的13张。
3个花色各有4张牌,另一个花色有1张牌称为4-4-4-1牌型,求4-4-4-1牌型的概率。
一手桥牌共有C(52,13)种可能。
选出一套花色有4种选法,在选定的花色中选取一张牌又有13种选法。
这张牌选定后,在其他的3种花色中各选4张牌,共有C(13,4)3种选法.
25.(6.8鸽巢原理)如果选择151门不同的课程并用1-300之间的数编号,则必有两门课程的编号是连续的,如121、122。
令课程编号为c1,c2,...,c151
考虑上述编号和c1+1,...,c151+1
共302个数
值1-300之间的数编号共300个
必有ci=cj+1
26.(7.2求解递归关系)鹿群数目增长:
设在n=0时刻,农场有200头鹿,n=1时刻有220头鹿。
从n-1时刻到n时刻鹿增长的头数为n-2时刻到n-1时刻鹿增长头数的两倍。
给出定义n时刻鹿数目的递归关系和初始条件,然后求解递归条件。
令dn为时间n时数目,初始条件为
d0=200,d1=220
n-1时刻到n时刻鹿增长的数目为dn-dn-1,n-2时刻到n-1时刻鹿增长的数目为dn-1-dn-2,得到递归关系为:
dn-dn-1=2(dn-1-dn-2)
即:
dn=3dn-1-2dn-2
为求解递归关系,先解二次方程t2-3t+2=0,
得到两个根:
r1=1,r2=2
故序列d具有形式:
dn=b×
1n+d2n=b+d2n
由初始条件,有:
200=d0=b+d
220=d1=b+2d
解方程组得到:
b=180,d=20
则:
dn=180+20×
2n
27.分别写出下图所示的二叉树的前序、中序、后序遍历的序列。
前序遍历序列:
ABCDEFGHJI
中序遍历序列:
CBDEAFHGIJ
后序遍历序列:
CEDBHIJGFA
28画出完全二部图K2,4
根据完全二部图的定义,完全二部图K2,4如下所示:
29在联赛中,Snow队击败国Pheasants队一次,Sky队击败过Tuna队一次,Snow队击败过Sky队两次,Pheasants队击败过Tuna对一次,Pheasants队击败过Snow队一次。
现用顶点表示参加的队伍,试用图表示一下各种问题,并说明所使用的图的类型(如无向图、有向图、简单图等)
(1)在相互比赛国的队伍之间存在边;
(2)在参加过比赛的队伍之间存在边;
(3)如果A队击败过B队至少一次,那么存在一条从A到B的边;
(4)每次A队击败B队,就存在一条从A到B的边。
各图如下所示:
(2)无向完全图
(1)无向图
(4)有向图
(3)有向图
30. 写成命题
的真值表
答:
真值表如下:
r
T
F
31.确定下面的论证过程是否有效
解:
由真值表第三行、第七行可知当qVr、pV﹁q和p→qVr都为真时q却为假
所以该论证过程无效。
32.用归纳法证明
(1)基本步:
当n=1时
左边=22=4
右边=
=左边
归纳步:
假设对于n原式成立,即
那么对于n+1,有:
所以对于n+1原式成立。
得证!
(2)当n=1是,原式显然成立;
假设对于n,原式成立,即:
原式成立。
用反证法证明句子
v对于所有的整数m,若m2为奇数,则m为奇数。
原命的逆否命题为:
“若m为不是奇数,则m2不是奇数。
”
等价于:
设集合{1,2,3,4,5}上关系R的定义为:
(x,y)∈R,如果x=y-1。
(1)列出R的元素;
求R的定义域;
求R的值域;
(2)列出R-1的元素;
求R-1的定义域;
求R-1的值域;
(3)关系R是自反的吗?
是对称的吗?
是反对称的吗?
是传递的吗?
是一个偏序吗?
(1)R的元素R={<
1,2>
<
2,3>
3,4>
4,5>
}
R的定义域;
{1,2,3,4}
R的值域;
{2,3,4,5}
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