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假设这句话是真的,即肯定了这句话的论断,但由此话的论断推出这句话是假。
反之,假设这句话是假,则应否定这句话的论断,即肯定其反面,从而又推出这句话是真。
以上矛盾产生的原因是,由于语言结构层次的混乱,具体地讲,这是一句话套话的句子,且被套的话就是套它的话自身,或说被判定的话与判定的话混而为
2.康托悖论
那个悖论是康托1899年发觉的,现叙述如下。
设集合M是所有集合的集合,试问集合M的基数万与集合M的幕集的基数丽,哪个大。
—方面,按照康托定理,任何集合A的基数T小于其幕集丽,即I<
丽,可推得
M<
P(M)(i)
另一方面,由P(M)是M的幕集,可知集P(M)中的任一个元素X,即X€P(M)都是M的子集,所以A必是一个集合。
而又因M是所有集合的集合,从而又有wM。
于是有P(M)匸M,即P(M)是M的子集,故又有
a7>
p(a7)(ii)
显然,(i)式与(ii)式矛盾,产生这种悖论的原因是,在承认康托定理的前提下,按照归纳原则所肯定的集合M是不存在的。
3•罗素傅论
此悖论是罗素的1902年提出的,叙述如下。
将集合分为两种,一种是集合A亦是它的元素,即恥「例如,所有集合的集合就属于这一种。
人们称这种集合为本身分子集。
另一种集合A不是它的元素,即心A,例如,自然数集就属于这一种集合。
人们称这种集合为非本身分子集。
观将所有集合按此标准分为两类,—类是所有本身分子集,另一类是所有非本身分子集。
此刻问,所有非本身分子集组成的集是哪一种集合。
为了陈述简明清楚,不妨设所有非本身分子集组成的集为M,即M={x-.x^x}o
若是M是本身分子集,即MwM,由M的组成可推出MEM;
反之,若是M是非本身分子集,即,由M的组成又可推出M1W。
综合以上可得如下逻辑推理表达式
MwM<
=>
MeM
这是一个两边彼此矛盾的等价式(注意这和康托悖论中的两个彼此矛盾的命题有些微妙的不同。
因为两个彼此矛盾的等价命题,固然第一是两个彼此矛盾的命题;
但反之,两个彼此矛盾的命题未必都能化归为两个彼此矛盾的等价命题)。
产生那个悖论的本源是,这种所有非本身分子集是不存在的。
4.理发师悖论
下面咱们介绍罗素1919年仿他构造的集合论悖论改写而成的理发师悖论。
将李家村上有刮胡子适应的所有人分成两类,一类是自己给自己刮胡子,另—类是自己不给自己刮胡子。
该村有一个有刮胡子适应的理发师给自己规定:
给而且只给那些不能自己刮胡子的人刮胡子。
试问那个理发师属于上述两类人中的哪一类或那个理发师自己给自己刮不刮胡子?
若是说他是属于自己给自己刮胡子的一类,但依照他自己的规定,他不能给自己刮胡子,从而推得他只能属于自己不给自己刮胡子的一类,反之,若是说他是属于自己不给自己刮胡子的一类,但依照他的规定,他必需给自己刮胡子,因此他只能属于自己给自己刮胡子的一类。
综合以上可推出如下的两个彼此矛盾的等价命题
理发师自己给自己刮胡子o理发师自己不给自己刮胡子。
5.理查德悖论
那个悖论是1905年提出的,现已有很多不同的表达形式,这里仅就其中的
—种陈述如下。
将自然数的所有性质编成号码
若是序数j具有⑷所表示的性质,则称/是非理查德自然数域,简称非理查德数。
例如,若令"
3表示素数集或素数概念,因为3是素数,于是3就是非理查德数。
若是素数j与心所表示的性质不符,则称i为理查德数。
例如,令"
5表示偶数,因为5不是偶数,所以5是理查德数。
按照以上概念构造理查德悖论如下
理查德数是与编号所表示的性质不符的序数的自然数
显然,这句话也表示自然数的一个性质,因此也有一个号码(仃,试问序号丿•是理查德数仍是非理查德数?
下面给出简要论证。
若是丿•是非理查德数,按照概念丿•具有这句话所表达的性质,即,j是一个理查德数;
反之,若是丿•是理查德数,按照概念丿•与这句话意思不符,即不知足理查德数的概念,所以丿•必是非理查德数。
从而有
丿•是非軽德数o丿是理查德数
故上述那句话是一个悖论。
6.抛球悖论
那个悖论是哲学家布莱克按照芝诺悖论略加修改而取得的一个关于时刻的悖论。
其内容如下。
—个球在4框中停一分钟传到B框中停g分钟,再传回到A框中停扌分钟,又传回到〃框中停亠丄分钟,如此往复作下去,试问球最后在A框中仍是在B
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方框中?
显然z在人框中不对f在B框中也不对。
因为f数列
不存在最后一个。
二悖论的特征及其本源综述
1・悖论的逻辑结构分析
以上六个悖论从逻辑结构上大体可分为四类,概述如下。
(1),但「4亠仏即由A能够推出非A;
但反之,由非A却不能推出譬如扯谎者障论。
(2),即由4能够推出非〃和8。
譬如康托集合论悖论。
(3)MoA,即A与非A能够互为因果关系,或A与非A同假同真。
譬如罗素悖论。
(4)An?
这表示由前提A推不出什么结果。
譬如抛球悖论。
2.悖论的严格概念
在历史上人们把致使逻辑矛盾的命题形式或语句通称悖论,保守派乃至把为冲破旧传统观念的局限性和束缚而引入的新概念和新方式也诬蔑为悖论。
例如,远在古希腊时期,由于人们发观了不可通约或不可公度线段的存在,从而致使了无理数的产生,那个新概念的提出就冲破了有理数的局限和束缚,那时的保守派就诬蔑无理数是数学中的悖论。
由此可见,从历史上看,悖论那个概念的外廷比较大,因此涉及的面就广。
目前对悖论也有几种不同的概念有的对条件要求太严,因此它的夕卜廷过小,有的却对条件要求太松,从而致使它的外延太大。
咱们以为这两个极端都不太好,
所以赞同其中如此的如下一种概念
若是在某一个理论系统中,能够推出两个彼此矛盾的命题或语句,或该系统中能证明两个彼此矛盾的等价命题或语句,则称该理论系统中包括有悖论。
若是那个悖论能陈述为一种命题的形式或语句(注意有的悖论往往要在一个推演进程中才能表观出来),又称那个命题形式或语句是该系统中的一个悖论。
由上述概念可知,悖论是一个相对概念,即悖论是对一个理论系统而言的。
另外,悖论是一个系统中的逻辑矛盾,但并非所事有逻辑矛盾都是悖论,譬如,”扯谎者障论"
虽然是一个逻辑矛盾,但在上述概念中却构不成一个悖论,即悖论集是逻辑矛盾集的一个真子集。
3.悖论的本源
(1)逻辑方面的因素
悖论实质上是一种特定的逻辑矛盾。
产生这种逻辑矛盾的本源之一是组成悖论的命题形式或语句中隐藏有一个利用恶性循环概念(被概念的对象已包括在借以概念它的对象当中)的概念。
正是这种恶性循环圈的存在致使了悖论的产生。
例如,在康托悖论中就包括了一个如此的概念:
集合M是所有集合的集合。
在这里集合M被概念为所有集合的集合,显然,所有集合中固然已包括了集合M。
下面咱们再引伸沖,为何能出观恶性循环概念呢?
从语义学的角度讲,在语句结构中话套活,因果交叉,层次混乱,从数学的角度讲,主要原因有,—是运用了A-"
与xQ•之类作为条件;
二是利用康托朴素集合论的归纳原则构造集合,即将知足某一性质p的元素的整体肯定一个集合,记作
A={x:
"
(x)}或xwAop(x)
三是无穷概念的参与,能够说它是数学矛盾的主要本源之一。
2.熟悉论与方式论方面的因素
从熟悉论和方式论的角度看,产生逻辑矛盾或悖论的根本原困,无非是人们熟悉客观世界的方式与客观规律的矛盾。
例如,在康托悖论中,第一利用归纳原则构造了一个作为论题起点的集合,即所有集合的集合。
但是,客观世界中就根本没有如此的集合。
这种由归纳原则构造集合的任意性(注意在前面提到的ZFC公理系统中的子集公理的提出,就是为了限制这种任意性与客观世界中生成集合的非任意性的矛盾)是致使康托悖论的根本原因。
再如,贝克莱悖论(当牛顿一莱布尼兹微积分诞生以后,一方面在科学和生产实践中取得了普遍的应用,但另一方面,无穷小方式包括有逻辑矛盾,那个逻辑矛盾当初被称为贝克莱悖论),在十八世纪人们以为从逻辑上讲确已组成悖论,可是,现今那个悖论已不存在了。
这表明悖论有它的相对性和时刻性,产生这种时刻性的根本原因,是人们熟悉客观世界有其局限性。
这就是说,随看人类对客观世界熟悉的进展和深化,以前是悖论此刻有可能被消除,此刻是悖论未来或许就不是了或被消除。
三.解决悖论的方式
悖论形式多样(一般大体可分为逻辑悖论和语义学悖论两类),因此解决悖论的方式也不唯一。
用的较多的有罗素的分支类型论、塔尔斯基的语言层次论、策墨罗一弗兰克的公理化方式。
这里咱们看重介绍策墨罗_弗兰克的公理化方式,即在前面己介绍过的ZFC集合论公理系统。
由于人们普遍以为集合论应该是整个数学的基础,因此悖论在集合论中的出现就动摇了整个数学的基础,所以在数学界、逻辑界引发了专门大的震动。
为捍卫数学理论基础的科学性和逻辑周密性,那时很多著名的数学家、逻辑学家和哲学家都踊跃地投入了一场解决集合论中悖论的大会战。
这就是策墨罗一弗兰克公理集合产生的客观背景,也正是咱们看重介绍它的主要原因。
但是,集合论包括悖论的主要本源是,在康托朴素集合论中一个构集的原则,即归纳原则有问题,而归纳原则出问题就在于它在构造集顶用了任意性原则(如"
所有集的集”)。
于是,策墨罗等人就按照那个产生悸论的关键因素成立了一个公理系统。
在那个公理系统中,一方面保留了康托朴素集合论中归纳原则的合理因素,另一方面对它构造集的任意性的不合理因素加以适当限制,如此就形成了一个包括改造了的归纳原则,即分离公理或子集公理在内的集合论公理系统。
在该系统中只承认由它的公理组所允许范围内构造的集合才算集合,凡是超出本系统所控制的范围所构造的集合通通不予以承认,即都不是集合。
下面咱们来证明康托悖论与罗素悖论在ZFC集合论公理系统中的确已被排除。
要证康托悖论与罗素悖论在ZFC公理系统中被排除,只要能证明"
所有集合组成的集合M"
与"
所有非本身分子集所组成的集合4"
都在ZFC公理系统中不是集合即可。
为此,第一按照ZFC公理系统中的分离公理动身,在该系统中证明如下的一个定理
定理任佢I—个非空集合M必有一个子集,但它不是M的元素。
用形式符
示为DMH衍W[MUMaM
证明第一从M动身,按照分离公理构造集M,为
A/'
={x:
xeA/axx}
即集M,是由M中知足条件的元素所组成。
第二证明M帀角实知足定理的要求.由于M,是由M中分离出来的,所以M,是M的子集是显然的。
因此,只要能证明AT不是M的元素,即MUM,定理就证明了。
下面咱们用反证法来证明这一事实。
反设MUM,那么按照排中律,关系MUM或MUM当且仅当只有一个成立。
不妨先设关系MUM成立,因为M,中的每一个元素都有关系xgx,所以作为M,中一个元素M,也必有关系MWM。
于是由假设MUM就致使了如此一个逻辑矛盾表达式
MUM二>MUM(i)
—样,若设关系MWM成立,这就是说M'
不是M啲元素;
又由组成M'
的附加条件xgx可推出MUM。
从而由假设MWM可致使如下的一个逻辑表达式
(ii)
综合(i)式与(ii)式可知,原先假设关系MUM不成立,再按照排中律必有,从而定理得证。
推论1在ZFC系统中不存在一个所有集的集。
证明反设在ZFC系统中,存在所有集合组成的集合,不妨设那个集合为M。
于是,按照上述定理,M必有一个子集M,,不是M的元素,即
(iii)
(iii)式表明,存在不属于M的集合,从而也就证明了所有集组成的集M不存在。
故在ZFC公理系统中康托悖论可排除。
推论2在ZFC公理系统中,不存在所有非本身分子集组成的集。
证明不妨设所有非本身分子集组成的集合为M,此刻来证明那个M根本不存在。
反设M是一个集,于是由上述定理知,M必有一个不属于它自己的子因为M,是一个集合,故M,不是非本身分子集就是本身分子集,即关系MUM'
与当且仅当有一个成立。
由于MWM,且M又是所有非本身分子集的集,所以M,不可能是非本身分子集,即关系MUM,不成立。
于是只能有关系MUM,成立的可能性。
但如果是MBW,又因MUM,从而有MUM,即MUAT。
因此矛盾。
故M不是集合。
得证。
由于M在ZFC系统中不是集合,所以在ZFC系统中罗素悖论被排除。
最后,咱们还要强调指出,以上论证是在ZFC集合论公理系统中进行的。
若是承认该公理系统是正确的,那么,这些证明和取得的结论就是正确的。
、悖论的意义
1•悖论在数学方式论方面的意义
咱们这里看重通过本世纪三十年代震动整个数学与逻辑学界、且被嘗为数学与逻辑学进展史上的一个里程碑的哥德尔不完全定理的证明思路与悖论的紧密联系,看看障论在数学方式论方面的意义。
《数学思想方式》教材中咱们曾简腹地介绍过哥德尔不完全定理,其内容是包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完全的。
具体地讲,包括算术在内的任何一个形式系统厶,若是厶是协调的,那么在厶内总存在不能判定的逻辑命题,即L中存在逻辑公式4与非A,在厶中不能证明它们的真假。
下面将归纳地介绍定理证明的方式特征及其结构层次。
不完全性定理证明的关键是,哥德尔以超人的天才创造了一个超级独特的映射,即将形式系统厶中的符号、公式、公式序列、证明等与自然数成立对应关系。
如此,就有可能用自然数及其有关性质来研究形式系统厶的有关性质。
在此基础上,哥德尔又通过递归函数证明了所有元数学中有关命题的性质及其形式结构皆可在算术系统中取得表示。
从而形式系统厶中的有关命题、性质及其形式结构都可映射为算术系统中的有关命题、性质及其形式结构。
如此就可借助算术系统中有关,性质研究原形式系统L的有关性质。
2.悖论与数学基础
悖论就是一种特殊的矛盾,人们通过对数学中这种内在矛盾的揭露、研究和消除,推动了数学的进展,专门是对数学基础理论、逻辑学的完善和进展有其更重要的意义。
譬如,上面咱们曾提到的,由于罗素悖论的发觉致使了公理集合论的诞生。
哥德尔在悖论思想的启发下,成功地证明了不完全性定理,由不完全性定理的证明,又増进了《递归函数论》、《证明论》等现代数理逻辑的大进展。
这些就足以说明悖论对数学基础的重要意义。
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- 悖论 与其 意义