量子力学的数学准备Word格式文档下载.docx
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2小
yxy0
x2/2
观察可发现e是方程
(2)的近似解。
y
xy
ex2/2
X
2/2
ex当然不是方程⑴的解y(x),但当x
2/2
时y(x)应表现出ex的渐近行为,于是我们可以
代入
(1),得
h(x)2xh(x)
(1)h(x)0
方程⑶称为Hermit方程,是可以用级数法求解的。
③级数法求解Hermit方程
k
令h(x)akX,代入⑶,
k0
k2k
k(k1)akX(12k)akX0
k0k0
[(k2)(k1)ak2(入12k)ak]x0
由方程两边x的同幕次系数相等,我们得到展开系数的递推公式:
k2
k(k1)akX
k(k
1)akXk2
(k2)(k1)ak2Xk
求和哑指标k换为k(kk2)
再用k(k)替换k
正像积分变量替换不改变定积分的值一样,求和哑指标的
替换不改变求和的值。
ak2
2k1入
ak
(k1)(k2)
由递推公式(4)可以看出,ao确定后,a2、a4、…等所有下标为偶数的展开系数随之确定,a,确定后,
a3、a5、…等所有下标为奇数的展开系数随之确定。
不妨令
C1bk,
C2bk,
k为偶数
k为奇数
G,C2为任意常数,
则不管k为偶数还是奇数都有bk2代匕bk
于是
h(x)
C1(b0
C2(b1x
2!
33
b1x3!
box2
(1
'
box4
4!
(3)(7仏5
5!
)(5)(9)
6!
(3)(7)(11仏7
7!
box6
C1h1(x)
C2h
④y(x)有限性的讨论
当取任意常数值(
i.对任一有限的x,
O
ii.x
时,无穷级数m(x)或h2(x)有限,即使趋向无穷大也不能快于
由式⑸,氐)或h2(x)的相邻项系数比(后项比前项)書(;
;
)(:
)
敛判别法则,条件
i是满足的,
考察函数
ex
的泰勒展
bk
-,根据无穷级数收
h-i(x)或h2(x)是收敛的。
至于是否满足条件
ii,
难以直接看出。
为此我们
(k2)!
[(k2)1]!
(k2)1
h2(x)与ex有相同的(k
这不满足上述的条件ii,即
-。
一个无穷级数在x
)相邻项系数比,因而h1(x)
6
3!
其相邻项系数比
时的渐近行为取决于其高次项,
h,x)或
b°
ex,h2(x)x
b1xex。
显然
2n1时,方程⑴没有有限解。
⑤2n1时,方程⑴有有限解
2k1(2n1)
2n1时,式⑸变为bk2bk,由bo(或b1)可推出b2,b4,,bn(或匕3忌,,"
),
(k1)(k2)
而bn2
bn4
0,h-i(x)或h2(x)截断成为多项式。
x
时,
多项式趋向无穷的速度不快于
ex/2,满足条件
ii,因而我们可以得到方程
(1)的有限解。
具体地说,
2n1,
n为偶数时,h1(x)截断成为只含有偶数次幕的
n次多项式,而h2(x)仍为无穷
级数,此时可选任意常数c2
0,得到方程
(1)的有限解y(x)
C1h1(x)e
x2/2
。
2n1,n为奇数时,
h2(x)截断成为只含有奇数次幕的
n次多项式,而h1(x)仍为无穷级数,此时
可选任意常数C10,得到方程⑴的有限解y(x)C2h2(x)e
6Hermit(厄密)多项式
1时,h,x)或h2(x)截断成为n次多项式,其中的常数b0或b1习惯上这样选取:
使多项式
高次项的系数为
2n。
这样的多项式称为Hermit多项式,记为Hn(x),其通项公式:
―r
Hn(X)
[?
]—
k0
(1)kk!
(nn!
2k)!
(2x)n2k
[;
]为;
的整数部分,[;
][J2
由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式,
Ho(x)1,H[(x)2x,^(x)
4x22,
H3(x)8x312x
H4(x)16x448x212,
归纳起来,方程y(x2)y0在|2n1时存在有限解,对应的解为
yn(x)CnHn(x)ex/2
n0,1,2,3,
Cn为常数,由其他条件确定。
7Hermit多项式的微商表示方法及递推公式
Hermit多项式还可写为Hn(x)
(1)nex
nx
de
n
由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式
Hn(x)2nHn1
由微商表示(8)可得第二个递推公式Hn(x)2xHnHn1(x)
(8)
(9)
(10)
由(9),(10)可得第三个递推公式
Hn1(x)2nHn1(x)2xHn(x)
8常数Cn由归一化条件确定
按照量子力学,yn(x)应满足归一化条件,即yf(x)dx
xHn(x)dx
1。
其中的积分值计
算出来后,就能得到常数Cn。
将微商表示(8)代入上述积分,得
2nx
x2nden
exH^(x)dx
(1)nHn(x)—dx
(1)n
dxn
xn1x2
(1)n柿“代取2n
(1)n1
2nn!
H0(x)exdx2nn!
、-
彳2n1xde
肿1x2
de.
.n1
Hn(x)d(
Hn1(X)
(12)
1/2
5
1x2/2
yn(x)n_ex/2Hn(x)
2nn!
J
9两个常用的关于yn(x)递推关系
由(11)得,xHn(x)nHn1(x)2Hn1(X),
那么xyn(x)2nn!
e
/2xHn(x)
n11
22nIn1)!
,
x2/2
Xyn(X){
2yn1(x)J^f^yn1(x)
利用(10)式Hn(x)2xHnHn1(x),
dyn(X)
dx\
2yn1(x)yn1(x)
即
类此上面的计算可得
eHn1(x)
n1
22nIn1),
⑩yn(x)满足正父性,即ym(x)yn(x)dx0,mn
证明:
不妨设mn,仿照(12)式中的做法
ym(x)yn(x)dx2nn!
Hmn(x)exdx
dmn1e
dxm
是一个多项式与
ex的乘积
III.3函数
1.
定义
(x)
0,
0,且
(x)dx1。
2.
性质i.(x)
(x),
ii.
(-)
a
-(x),(a0)
iii.f(x)(x
3.
3函数是某些通常函数序列的极限
“3函数显然不是通常意义的函数。
极限,而这极限是在积分的意义上说的。
x°
)dxf(x°
人们现在说,它是广义函数。
具体地说,它是某种通常函数系列的
(梁昆淼《数学物理方法》第三版,
p108)
除了梁昆淼书中给出的三个例子,即
1x
l(x)lim严叫),
I011
ii.(x)
lim—
K
1sinKx
iii.
验证见梁书
(X)|im1——2之外,量子力学中还经常用到下面几种:
iv.
・-
m
・—g
2X
先验证iv,2
ikx
同ii
再验证v,x
Hg
si
ikx.
edx
R
1sinRk
lim
mo■IXmHg
g
两次使用洛比达
22nXsi
■Ig
dxlim
1lim—g
1cos2x,
x2
cos2xd-
sin2x,dx
xg
符合3函数的定义。
IV.Kroneck符号
mn与Levi-Civita符号咏
1.Kroneck符号mn
1,mn
m,nZ
0,mn
引入Kroneck符号后,可对许多公式进行方便简捷地表达。
例如,三维空间的三个相互正交的单位矢
量i,j,k也可用ei,e2,e3表示,则有
eiei
e1e3
0,e2e2
e2e3
>
-此九式可统一写为emenmn
0,e3e2
2.Levi-Civita符号
定义:
ijk
1,
ijk为123或231或312
ijk为213或321或132
ijk有重复数字
可这样记忆:
设想只有三个钟点的表盘(如右图),ijk按顺时针方向取三个数字,Levi-Civita符号为+1,逆时
针方向取为-1,ijk中有两个或三个重复数字则为0。
口诀:
顺正逆负,重复为零。
性质:
jkikij(下标轮换,符号不变),ijk
改变符号)
例如e1
0,e1e2e3,ne3
e3,e2e2
e3
e1
e2,e3e2
又如角动量
rp(椚)
(Pjej)
其中第k个分量
LkijkxiPi
0,e2©
3
©
1,e3
jikikj(下标对调,
V.Nabla算符与Laplace算符
Nabla算符就是梯度算符(读作Nabla),它对任意函数f(x,y,z)的作用在直角坐标系中表示为
fff
f(x,y,z)ijk,或写为
xyz
那么在球坐标系中,函数f(x,y,z)g(r,,)g[r(x,y,x),(x,y,z),(x,y,z)],Nabla算符又具有什么样的形式?
利用直角坐标和球坐标之间的关系
222
rsin
cos
r
.xyz
rsin
sin
和cos
zxyz
z
rcos
tan
yx
则f
rg
xrx
g一
——g,或写为—
计算得:
sincos
cos,
1sin
cos一
同理一sinsin
1.
1cos
cossin
—cos
一-sin
rr
(sincosisinsin
cosk)一
(coscosr
(sinicosj)rsin
er
isin
sinj
kq
icos
i
cosj
注意直角坐标和球坐标系单位矢量间的关系(见右图)
可得球坐标系中
Nabla算符的具体表达式
(1)
11
er——-e——e
rrrsin
sink)
(1)式可得
Laplace算符
,注意到er,e,e相互正交,且由
cosi
j
sinke
sini
sine
cosksine
cose
0,
ij(siner
)e
可得
12
1-er
-er
22
2・
2e
2cos
・2
2・
ere
r2sin22
1/2、1/•
r2r(rr)r2sin的
注意:
i,j,k是空间三个相互正交的固定方向上的单位矢量,与空间点(x,y,z)或(r,,)无关。
而
er,e,e是空间三个相互正交的变动方向上的单位矢量,与空间点(x,y,z)或(r,,)有关,确切地说与
有关。
VI.函数空间及其矢量
一、三维几何空间中的矢量
在三维几何空间中,所谓矢量是指需其大小和方向两方面来描述的量,如位移、速度等,一般来说是三
维空间中的有向线段。
一旦我们在空间中选定一组(此处是三个)线性无关的矢量作为基矢量,比如i,j,k(相
当于选定了直角坐标系),则任意矢量A可写为AA2jA3k,其中A|,A2,A3分别是A在i,j,k方
A1
向上的分量,或写为三行一列的列矩阵AA2。
而三个基矢量的矩阵表示分别为|
i0,j
1,k
0。
A3
以矩阵表示矢量时,习惯上矩阵名A上不加表示矢量的箭头
类此地,一旦我们选定er,e,e作为基矢量(相当于选定了球坐标系),则上述任意矢量
Ar
AArerAeAe,或写为AA。
显然同一矢量A在直角坐标系中的矩阵表示A与在球坐标中
A
的矩阵表示A是不同的。
以上的讨论实际上意味着这样一个事实,三维几何空间中的任意一个矢量可写成一组完备正交基
(i,j,k或er,e,e)的线性组合。
两个矢量A和B的内积(点乘)等于在同一完备基下两矢量对应分量的乘积和,即
ABAiBiA2B2A3B3或AB
、从Fourier变换看完备函数系
我们在数理方法中知道,对任一在(
A-BrABAB
复变函数,而是实变复函数,即「变量为实数,而函数值为复数
此处f(x)可以是复函数,不是
)上有定义的函数f(x)可作Fourier变换:
我们可以换一个角度来看Fourier变换,选择一系列函数Jeikx[k取遍(,)中的所有值],任一函数
V2
f(x)可写成这一函数系列的线性组合。
如果任一函数f(x)可写为某一函数系列的线性组合,则该函数系列为完备函数系,简称完备系。
比如
我们这里的函数系列1eikx,kR就是完备系。
七2
对于三维几何空间,当选定一组完备系(比
三、函数空间
三维几何空间实际上是所有三维矢量作为其元素的一个集合。
如i,j,k,它们当然也是该集合中的元素)后,任意矢量A可写为AA1iA2jA^k,其中A1,A2,A3分别是A在i,j,k方向上的分量。
对照来看,所有定义在(,)上的复函数的集合,也构成一个空间,称为函数空间,也叫希尔伯特空
间。
当选定函数系列
k
g(k)eikxdk,g(k)是f(x)
R作为完备系时,任意函数f(x)'
.2
在基
1ikx
上的分量。
从这个意义上讲,
一个函数
f(x)就是函数空间中的一个矢量。
既然是一个矢量,
也可以形式上写成矩阵:
g(kj
gh)
第k2行
,只不过此处标记行的指标k有无限多个取值而且是连续的。
希尔伯特空间中的两个矢量fdx)和f2(x)的内积也等于两个对应分量乘积的和,即
g;
(k)g2(k)dk。
当然我们并不一定要选函数系列
R作为希尔伯特空间的完备系,也可以选另外一套完
备系,比如(xx0),x0R。
此处x是基函数(xx0)的变量,而x0是不同基函数(xx0)的标记。
根据3函数的性质,f(x)
f(Xo)(xxo)dxo,可以看出函数值f(X。
)就是矢量f(x)在基(XX。
)上
f(xj第捲行
f(x2)第x2行
两个矢量fi(x)和f2(x)的内积也可以写成两个对应分量的乘积和(当然其中一个要取复数共轭),
f1*(x0)f2(x0)dx0。
由于积分变量的替换不改变积分的值,fjx)和f2(x)的内积可写为f1*(x)f2(x)dx。
ikx,k
(xXo),X。
R作为完备系,
计算得到的fi(x)和
f2(X)的内积理应相等,
在三维几何空间中,两矢量的内积不依赖于坐标系的选取,不管取直角坐标还是求坐标,计算出的两个矢量A和B的内积AB都是相同的。
那么在希尔伯特空间中,取不同的函数系
f1*(x)f2(x)dxg;
下面证明这个结论:
由Fourier变换知,
fl(x).2
gi(k)edk,f2(x)
ikx
g2(k)edk
fi(x)f2(x)dx
*ikx
gi(k)edk
ik
g2(k)edkdx
交换积分次序
*
gi(k)g2(k)
ei(kk)xdxdkdk
此积分为s函数
(k)g2(k)(kk)dkdk
在量子力学中我们还会遇到很多其它不同的完备系。
VII.矩阵及其特征向量和特征值
复习方阵的特征值和特征向
复习矩阵、转置矩阵、正交矩阵、相似变换等。
量的计算方法。
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