浙江省中考《第19讲特殊三角形1等腰三角形》复习讲解Word格式文档下载.docx

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方法

求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：

（1）当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；

（2）当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部．

1．（2017·

台州）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE

2．（2017·

丽水）等腰三角形的一个内角为100°

，则顶角的度数是____________________．

3．（2015·

义乌）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°

，如图2，则此时A，B两点之间的距离是____________________cm.

【问题】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

，AE＝BE，D为EC中点．

（1）你能从图中得到哪些信息？

（2）求∠CAE的度数；

（3）求证：

△ADE是等边三角形．

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理等腰三角形、等边三角形的有关知识．

类型一　等腰三角形的性质与判定

　如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上．

（1）若顶角40°

，则一个底角的度数为________；

（2）若一个内角50°

，则顶角的度数为________；

（3）若一个外角为100°

（4）若AD⊥BC，AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．

（5）若BD＝DC，∠B＝50°

，则∠DAC＝________．

（6）若△ABC的两条边长为7cm和14cm，则它的底边为________cm.

【解后感悟】解答此类问题时要注意角的指代明确性：

顶角还是底角、内角还是外角；

对于（4）（5）没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．

1．

（1）（2016·

泰安）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°

，则∠P的度数为（　　）

A．44°

B．66°

C．88°

D．92°

（2）（2017·

绍兴模拟）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°

，则∠MPC的度数为（　　）

A．20°

B．35°

C．40°

D．55°

（3）（2016·

滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°

，则∠CDE的度数为（　　）

A．50°

B．51°

C．51.5°

D．52.5°

（4）（2017·

温州模拟）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连结AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝10cm，则AB＋BD＝

　cm.

类型二　等边三角形的性质与判定

（1）等边△ABC中，AB＝4，则它的高为________，△ABC的面积为________；

（2）如图1，等边△ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，△ABC的边长为a，则△ADE的周长是________；

（3）如图2，等边△ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为________；

（4）如图3，等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为__________．

【解后感悟】解题的关键是利用现有图形或画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理，揭示图形之间的数量关系来解决问题．

2．

（1）（2016·

本溪模拟）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　　　　　　　.

上海模拟）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：

①△EBF≌△DFC；

②四边形AEFD为平行四边形；

③当AB＝AC，∠BAC＝120°

时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　　　　　　　　.（请写出正确结论的序号）．

3．（2017·

河北模拟）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.

（1）求证：

AD＝CE；

（2）求∠DFC的度数．

类型三　等腰三角形构造的分类讨论

　（2016·

黄冈模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在坐标轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有______个．

【解后感悟】此题主要考查等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，解答此题的关键是如何确定点Q（即分类讨论），以及利用勾股定理求出OP的长．

4．

（1）（2017·

西宁模拟）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC＝90°

，连结AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是____________________度．

（2）（2016·

丹东模拟）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°

，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有　　个．

类型四　等腰三角形的探究问题

（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结BE.

填空：

①∠AEB的度数为________；

②线段AD、BE之间的数量关系是________．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°

，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD＝

.若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°

，请直接写出点A到BP的距离．

【解后感悟】本题主要考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，而通过添加适当的辅助线从而能用

（2）中的结论解决问题是解决第（3）题的关键．它是中考的热点题型．

5．（2016·

江西模拟）有一三角形纸片ABC，∠A＝80°

，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　　　.

类型五　等腰三角形的综合运用

石家庄模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°

，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，连结OD.

△COD是等边三角形；

（2）当α＝150°

时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

【解后感悟】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等）．

6．（2016·

河南）

（1）发现

如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.

当点A位于　　　　　　　　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　　　　　　　　.（用含a，b的式子表示）

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值．

图1图2

（3）拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°

.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【探索研究题】

（2016·

菏泽）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.

（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°

.

①求证：

AD＝BE；

②求∠AEB的度数．

（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°

，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：

AE＝2

CM＋

BN.

【方法与对策】

（1）①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；

②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；

（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用

（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．这类探究性问题，往往从特殊到一般，积累经验，利用前小题的结论或方法解决问题．这类问题是中考的热点题型．

【忽视等腰三角形腰的高线不明确】

（2015·

西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°

，则顶角的度数是　　　　　　　　.

参考答案

【考点概要】

1．相等　一　相等　等角　中线　高　等边　2.三　60°

　三　相等　60°

【考题体验】

1．C　2.100°

　3.18

【知识引擎】

【解析】

（1）从角、边、对称性、图形的形状角度去考虑，并注意之间的相关性．

（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝30°

，∠BAE＝∠B＝30°

，∴∠CAE＝120°

－30°

＝90°

；

（3）根据直角三角形斜边上的中线性质得出AD＝

EC＝ED＝DC，得出∠DAC＝∠C＝30°

，∴∠EAD＝60°

，∴△ADE是等边三角形．

【例题精析】

例1　

（1）70°

（2）80°

或50°

　（3）80°

或20°

　（4）20　（5）40°

　（6）7　

例2　

（1）2

4

（2）

a；

（3）30°

（4）60°

例3　

∵P（2，2），∴OP＝

＝2

，∴当点Q在y轴上时，Q点的坐标分别为（0，2

），（0，－2

），（0，4），（0，2）；

当点Q在x轴上时，Q点的坐标分别为（2

，0），（－2

，0），（4，0），（2，0）．所以共有8个．故答案为：

8.　

例4　

（1）①60°

　②AD＝BE；

（2）∠AEB＝90°

AE＝2CM＋BE.理由：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°

，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°

.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°

－45°

.在等腰Rt△DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.　（3）

或

.∵PD＝1，∠BPD＝90°

，∴BP是以点D为圆心、以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：

如图1，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证△APD≌△AP′B，PD＝P′B＝1，CD＝

，∴BD＝2，BP＝

，∴AM＝

PP′＝

（PB－BP′）＝

.第二种情况如图2，可得AM＝

（PB＋BP′）＝

.　

例5　

（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°

，∴△COD是等边三角形．　

（2）当α＝150°

时，△AOD是直角三角形．理由是：

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°

，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°

，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°

，∵∠α＝150°

，∠AOB＝110°

，∠COD＝60°

，∴∠AOD＝360°

－∠α－∠AOB－∠COD＝360°

－150°

－110°

－60°

＝40°

，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．　（3）①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°

－α＝190°

－α，∠ADO＝α－60°

，∴190°

－α＝α－60°

，∴α＝125°

②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD＝180°

－（∠AOD＋∠ADO）＝180°

－（190°

－α＋α－60°

）＝50°

，∴α－60°

＝50°

，∴α＝110°

③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°

－α，∠OAD＝

＝120°

－

－α＝120°

，解得α＝140°

.综上所述：

当α的度数为125°

或110°

或140°

时，△AOD是等腰三角形．

【变式拓展】

1．

（1）D　

（2）B　（3）D　（4）10　2.

（1）45°

（2）①②　3.

（1）略．　

（2）60°

.　4.

（1）120和150　

（2）5　5.25°

或40°

或10°

　6.

（1）CB的延长线上　a＋b　

（2）①DC＝BE，理由如下：

∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°

，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE的最大值是4.（3）AM长的最大值是3＋2

，点P的坐标为（2－

，

）．

【热点题型】

【分析与解】

（1）①∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°

，∴∠ACB＝∠DCE＝180°

－2×

50°

＝80°

.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE.　②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°

，∴∠ADC＝180°

－∠CDE＝130°

，∴∠BEC＝130°

.∵∠BEC＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°

，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°

－50°

.

（2）∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°

，∴∠CDM＝∠CEM＝

×

（180°

－120°

）＝30°

.∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°

，DM＝EM.在Rt△CMD中，∠CMD＝90°

，∠CDM＝30°

，∴DE＝2DM＝2×

CM.∵∠BEC＝∠ADC＝180°

＝150°

，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°

，∴∠BEN＝180°

＝60°

.在Rt△BNE中，∠BNE＝90°

，∠BEN＝60°

，∴BE＝

＝

BN.∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，∴AE＝BE＋DE＝2

【错误警示】当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．即可求得顶角是90°

＋20°

＝110°

当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°

－20°

＝70°

.故答案为：

110°

或70°