湘教版高中数学选修11第3章333三次函数的性质单调区间和极值Word文件下载.docx
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求下列函数的单调区间和极值.
(1)y=2x3+6x2-18x+3;
(2)y=-x3+12x+6.
[自主解答]
(1)函数的定义域为R.
y′=6x2+12x-18=6(x+3)(x-1),
令y′=0,得x=-3或x=1.
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
y′
+
-
y
极大值57
极小值-7
∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),(1,+∞);
单调减区间为(-3,1).
当x=-3时,函数有极大值,且y极大值=57;
当x=1时,函数有极小值,且y极小值=-7.
(2)y′=-3x2+12=-3(x+2)(x-2),
令y′=0,则x1=-2,x2=2.
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
极小值-10
极大值22
∴函数f(x)的单调减区间为(-∞,-2),(2,+∞);
单调增区间为(-2,2).
当x=-2时,y有极小值,且y极小值=f(-2)=-10;
当x=2时,y有极大值,且y极大值=f
(2)=22.
(1)求多项式函数的单调区间,关键是求出f′(x)后,解不等式f′(x)>
0和f′(x)<
0.
(2)单调区间可以是开区间,如果区间端点在定义域内,也可写成闭区间.
1.求函数y=8x3-12x2+6x+1的极值.
解:
y′=24x2-24x+6=6(4x2-4x+1),
令y′=6(4x2-4x+1)=0,
解得x1=x2=.
当x变化时,y′,y的变化情况如表所示:
不是极值
所以此函数无极值.
求函数的最值
求下列各函数的最值.
(1)f(x)=-x3+x2+x+1,x∈[-3,2];
(2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1].
[自主解答]
(1)f′(x)=-3x2+2x+1,
令f′(x)=-(3x+1)(x-1)=0,得
x=-或x=1.
当x变化时f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
(1,2)
f′(x)
f(x)
34
极小值
极大
值2
-1
∴当x=2时,f(x)取最小值-1;
当x=-3时,f(x)取最大值34.
(2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,
∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0,
∴f(x)在[-1,1]上为增函数.
故x=-1时,f(x)最小值=-12;
x=1时,f(x)最大值=2.
即f(x)的最小值为-12,最大值为2.
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:
(1)求函数的导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的全部实根x0,且x0∈[a,b];
(3)求最值,有两种方式:
①是将f(x0)的值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与最小值;
②是判断各分区间上的单调性,然后求出最值.
2.求函数f(x)=4x3+3x2-36x+5在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
f′(x)=12x2+6x-36=6(2x2+x-6),
令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=.
又f(-2)=57,f=-,f
(2)=-23,
∴函数f(x)的最大值为57,最小值为-.
三次函数性质的综合应用
设f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围;
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.
[自主解答]
(1)由f′(x)=-x2+x+2a
=-2++2a,
当x∈时,f′(x)的最大值为f′=+2a;
令+2a>0,得a>-.
所以,当a∈时,f(x)在上存在单调递增区间.
(2)令f′(x)=0,得两根x1=,
x2=.
所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.
当0<a<2时,有x1<1<x2<4,所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2),又f(4)-f
(1)=-+6a<0,
即f(4)<f
(1).
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-=-.
得a=1,x2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f
(2)=.
(1)f(x)在区间I上为增函数⇒f′(x)≥0在区间I上恒成立,f(x)在区间I上为减函数⇒f′(x)≤0在区间I上恒成立.
(2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用,解题时一般采用待定系数法,列出含参数的方程或方程组,从而求出参数的值,这也是方程思想的应用.
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f
(1))处的切线方程为y=3x+1.
(1)求a,b的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.
(1)依题意可知点P(1,f
(1))为切点,代入切线方程y=3x+1可得,f
(1)=3×
1+1=4,
∴f
(1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2,
又由f(x)=x3+ax2+bx+5得,
又f′(x)=3x2+2ax+b,
而由切线y=3x+1的斜率可知f′
(1)=3,
∴3+2a+b=3,即2a+b=0,
由解得
∴a=2,b=-4.
(2)由
(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,
f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),
令f′(x)=0,得x=或x=-2.
当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表:
(-3,-2)
8
极大值
4
∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f=,
又f(-3)=8,f
(1)=4,
∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13.
已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-2时都取得极值.
(2)若x∈[-3,2]时都有f(x)>
2c-恒成立,求c的取值范围.
[巧思] 解决不等式恒成立问题,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理,而导数是研究函数性质的有力工具,因而常将不等式f(x)>
g(x)(f(x)<
g(x))恒成立问题转化为F(x)=f(x)-g(x)>
0(F(x)=f(x)-g(x)<
0)恒成立问题,再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值.
[妙解]
(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
由题意,得即
解得
(2)由
(1)知f′(x)=3x2+3x-6.
令f′(x)=0得x=-2或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示:
(-2,1)
+c
c+10
c-
2+c
∴f(x)在[-3,2]上的最小值为c-.
即2c-<
c-,
∴c<
-3,
∴c的取值范围为(-∞,-3).
1.下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( )
A.①③ B.③④
C.②③④D.②④
解析:
根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系,易得③④一定不正确.
答案:
B
2.函数f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调递减区间为( )
A.(1,2)B.(2,+∞)
C.(-∞,1)D.(-1,+∞),(2,+∞)
f′(x)=6x2-18x+12,
令f′(x)<0,得1<x<2.
A
3.函数f(x)=x3-3x(|x|<
1)( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<
0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值.
D
4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于________.
y′=-3x2+12x,由y′=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×
42+m=13,解得m=-19.
-19
5.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>
0)是R上的增函数,则a,b,c的关系式为________.
f′(x)=3ax2+2bx+c≥0在R上恒成立,则从而解得a>
0,且b2≤3ac.
a>
0且b2≤3ac
6.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,求a的值及f(x)在[-2,2]上的最大值.
f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
由f′(x)=0得x=0,或x=2.
当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下:
(-2,0)
(0,2)
-40+a
极大值a
-8+a
∴当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,得a=3.
故x=0时,f(x)最大值是3.
一、选择题
1.函数y=f(x)在[a,b]上( )
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
由最值与极值的概念可知,D选项正确.
2.函数y=x3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值为( )
A.1 B.5
C.12D.-15
y′=3x2-3,令y′=0,得3x2-3=0,
∴x=1或x=-1.
当-1<
x<
1时,y′<
0;
当x>
1或x<
-1时,y′>
0,
∴y极小值=1,y极大值=5.
又当x=-3时,y=-15;
当x=3时,y=21,∴ymin=-15.
3.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则有( )
A.a=-2,b=4B.a=-3,b=-24
C.a=1,b=3D.a=2,b=-4
f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有-2和4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,所以有-=-2+4,=-2×
4,解得a=-3,b=-24.
4.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )
A.-10B.-71
C.-15D.-22
f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
二、填空题
5.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递减区间为________.
f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1),
令f′(x)<
0,得-1<
11.
∴f(x)的单调递减区间为(-1,11).
(-1,11)
6.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是________.
f′(x)=3x2+2x+m,∵f(x)在R上是单调函数,
∴Δ=4-12m≤0,即m≥.
7.若a>
0,b>
0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于________.
∵f′(x)=12x2-2ax-2b,
∴Δ=4a2+96b>
0,又x=1是极值点,
∴f′
(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6.
ab≤=9,当且仅当a=b时“=”成立,
∴ab的最大值为9.
9
8.函数f(x)=x3-x2-2x+5,对任意x∈[-1,2]都有f(x)>
m,则实数m的取值范围是________.
由f′(x)=3x2-x-2=0,得x=-或x=1,
由题意知只要f(x)min>
m即可,
易知f(x)min=f
(1)=,所以m<
.
三、解答题
9.求下列各函数的最值:
(1)f(x)=-x3+3x,x∈[-,3];
(2)f(x)=x2-(x<
0).
(1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x).
令f′(x)=0,得x=1或x=-1,
当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:
(-,-1)
(-1,1)
(1,3)
3
-18
所以x=1和x=-1是函数f(x)在[-,3]上的两个极值点,且f
(1)=2,f(-1)=-2.
又因为f(x)在区间端点处的函数值为f(-)=0,
f(3)=-18,
所以f(x)max=2,f(x)min=-18.
(2)f′(x)=2x+.令f′(x)=0,得x=-3.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-3,0)
所以x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值,
故f(x)的最小值为f(-3)=27,无最大值.
10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间.
(2)若x∈[-1,2],不等式f(x)<
c2恒成立,求c的取值范围.
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得f′(x)=3x2+2ax+b,
因为f′
(1)=3+2a+b=0,
f′=-a+b=0,解得a=-,b=-2,
所以f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
单调递增
单调递减
所以函数f(x)的递增区间为和(1,+∞);
递减区间为.
(2)由
(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-时,f=+c为极大值,
因为f
(2)=2+c,
所以f
(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<
c2(x∈[-1,2])恒成立,只需c2>
f
(2)=2+c,
解得c<
-1或c>
2.
故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
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