高考第二轮复习文数专题二 函数概念及其基本性质文档格式.docx
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浙江,12,中)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=________,b=________.
6.[考向2]【解析】 ∵f(x)=x3+3x2+1,
∴f(x)-f(a)=x3+3x2-a3-3a2=(x3-a3)+3(x2-a2)
=(x-a)(x2+ax+a2)+3(x-a)(x+a)
=(x-a)[x2+(a+3)x+a2+3a].
又f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2=(x-a)[x2-(a+b)x+ab].
∴x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,∴∴
【答案】 -2 1
7.(2013·
安徽,11,易)函数y=ln+的定义域为________.
7.[考向1]【解析】 ∵∴即0<x≤1.
∴函数的定义域为(0,1].
【答案】 (0,1]
定义域注意要写成集合或区间形式.
8.(2014·
浙江,15,中)设函数f(x)=
若f(f(a))=2,则a=________.
8.[考向3]【解析】 若a>
0,则f(a)=-a2<
0,
∴f(f(a))=a4-2a2+2,
由f(f(a))=2,得a4-2a2+2=2,
解得a=(舍负和零).
若a≤0,则f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>
∴f(f(a))=-(a2+2a+2)2<
0≠2.
综上,a=.
【答案】
9.(2013·
北京,13,中)函数f(x)=的值域为________.
9.[考向3]【解析】 x≥1时,f(x)=
是单调递减的,此时,函数的值域为
(-∞,0];
x<1时,f(x)=2x是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).
综上,f(x)的值域是(-∞,2).
【答案】 (-∞,2)
函数的定义域是函数的基本要素之一,是函数不可缺少的组成部分,在高考中出现的频率较高,一般出现在选择题、填空题中,难度不大.
复习中要抓住函数定义域的本质特征和外部形式,掌握其求法.同时,研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念.
1
(1)(2015·
湖北,6)函数f(x)=+lg的定义域为( )
A.(2,3)B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]
(2)(2016·
辽宁大连一模,7)已知函数f(lgx)的定义域是,则函数f的定义域是( )
A.[-1,2]B.[-2,4]C.D.
【解析】
(1)方法一:
由得
故函数的定义域为(2,3)∪(3,4].
方法二:
当x=3和x=5时,函数均没有意义,故可以排除选项B,D;
当x=4时,函数有意义,可排除选项A,故选C.
(2)函数f(lgx)的定义域为,
即≤x≤100,所以-1≤lgx≤2.
即f(x)的定义域为[-1,2].
故-1≤≤2,所以-2≤x≤4.
所以函数f的定义域是[-2,4].
【答案】
(1)C
(2)B
1.(2016·
山东滨州模拟,6)若函数f(x)=的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是( )
A.[0,4)B.(0,4)
C.[4,+∞)D.[0,4]
1.D 由题意可得mx2+mx+1≥0恒成立.
当m=0时,1≥0恒成立;
当m≠0时,则
解得0<m≤4.
综上可得:
0≤m≤4.
2.(2016·
辽宁葫芦岛模拟,13)已知函数f(2-x)=,则函数f()的定义域为________.
2.【解析】 由4-x2≥0,得-2≤x≤2,
∴f(2-x)的定义域是[-2,2],则2-x∈[0,4],故f(x)的定义域是[0,4],
∴0≤≤4,解得0≤x≤16.
∴函数f()的定义域为[0,16].
【答案】 [0,16]
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数,二次函数的定义域均为R.
(4)y=x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx定义域均为R.
(6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞).
(7)y=tanx的定义域为+.
求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式:
构建使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
(3)实际问题:
既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
函数的解析式是函数的基础知识,高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大,以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分.
复习中要注意通过对分段函数、复合函数、抽象函数等的认识,进一步体会函数的本质.
2
(1)(2014·
陕西,10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3x
C.y=x3-xD.y=x3+x2-2x
(2)(2013·
安徽,14)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.
(3)(2016·
安徽合肥模拟,15)已知f(x)的定义域为,满足3f(x)+5f=+1,则函数f(x)的解析式为________.
【解析】
(1)(待定系数法)设该函数解析式为f(x)=ax3+bx2+cx+d,
则f′(x)=3ax2+2bx+c,
由题意知解得
∴f(x)=x3-x2-x.
(2)(代入法)∵-1≤x≤0,∴0≤x+1≤1,
∴f(x)=f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1).
(3)(函数方程法)令代替3f(x)+5f=+1中的x,得3f+
5f(x)=3x+1,
∴
①×
3-②×
5得f(x)=x-+.
【答案】
(1)A
(2)-x(x+1) (3)f(x)=x-+
解题
(1)的关键是设出三次函数的解析式y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),然后根据题目条件,确定参数的值;
解题
(2)的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化;
解题(3)的关键是变换得到一个关于f(x)和f为未知数的新的方程,通过解方程组求出f(x)的解析式.
(2016·
四川南充模拟,13)已知函数f(x)对任意实数x恒有f(1-x)-2f(x-1)=2x+1,则f(x)=________.
【解析】 令x-1=t,则x=t+1,
有f(-t)-2f(t)=2t+3,用-t代替
f(-t)-2f(t)=2t+3中的t,得
f(t)-2f(-t)=-2t+3.
解得f(t)=-t-3,
∴f(x)=-x-3.
【答案】 -x-3,
求函数解析式的常见方法
(1)代入法:
将g(x)代入f(x)中的x,即得到f(g(x))的解析式.
(2)构造法:
已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理构造成只含h(x)的式子,用x将h(x)替换.
(3)待定系数法:
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),根据函数类型设出函数解析式,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可.
(4)换元法:
已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,求出f(t)的解析式,再将t替换为x即可.
(5)函数方程法:
已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f(-x),f,则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
分段函数一直是高考的重点内容之一,高考命题主要以分段函数求值、解与分段函数有关的不等式、求分段函数中参数值(范围)等形式出现.主要以选择题的形式出现,题目一般不难,若直接求解出现困难,可考虑数形结合思想的运用.
3
(1)(2015·
课标Ⅰ,10)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=( )
A.- B.- C.- D.-
(2)(2015·
湖北,7)设x∈R,定义符号函数sgnx=则( )
A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx
【解析】
(1)因为f(x)=f(a)=-3,
所以或解得a=7,
所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.
(2)当x>
0时,|x|=x,sgnx=1,则|x|=xsgnx;
当x<
0时,|x|=-x,sgnx=-1,则|x|=xsgnx;
当x=0时,|x|=x=0,sgnx=0,则|x|=xsgnx.
【答案】
(1)A
(2)D
求分段函数的函数值应根据自变量的取值范围代入不同的解析式,当自变量范围不确定时,要注意分类讨论思想的应用.
另外,解题时,还可考虑直接代入特殊值,利用排除法解题.
1.(2015·
浙江,12)已知函数f(x)=则f(f(-2))=________,f(x)的最小值是________.
1.【解析】 因为f(-2)=4,f(4)=-,所以f(f(-2))=-;
当x≤1时,f(x)min=0;
当x>1时,f(x)min=2-6,
又2-6<0,所以f(x)min=2-6.
【答案】 - 2-6
江苏徐州一模,11)已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
2.【解析】 ①当a>
0时,1-a<
1,1+a>
1.
这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,
f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.
由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a,
解得a=-,
不符合题意,舍去.
②当a<
0时,1-a>
1,1+a<
这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,
f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a.
由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=-.
综合①②知a的值为-.
【答案】 -,
分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数的解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)
应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.
山东省实验中学二诊,2)设函数f(x)=,则f(x)的定义域为( )
A.B.
C.∪(0,+∞)D.
1.C ∵∴
∴x>-且x≠0.
∴f(x)的定义域为∪(0,+∞).
河北秦皇岛一模,3)设函数y=的定义域为A,B={x||x-m|<
6}且A∪B=R,则实数m的取值范围为( )
A.-1<
m<
4B.-1<
3
C.1<
4D.1<
2.A 由x2-3x-10>
0解得x<
-2或x>
5,所以A={x|x<
5}.因为B={x||x-m|<
6}={x|-6+m<
x<
6+m},且A∪B=R,所以有
解得-1<
4.
3.(2016·
广东佛山一模,6)已知函数f(x2-1)的定义域为[-1,3],则函数f(2x+1)的定义域为( )
A.(-1,1]B.[-2,2]
C.[-1,8]D.
3.D ∵-1≤x≤3,∴-1≤x2-1≤8,
即-1≤2x+1≤8,∴-1≤x≤,
∴f(2x+1)的定义域为.
4.(2015·
安徽合肥三模,6)已知函数f(x)=则f(2015)等于( )
A.2015B.C.2016D.
4.B 由题意知,当x≥0时,f(x+1)=f(x)+1,∴f(x+1)-f(x)=1,
∴f(2015)=f
(1)+2014×
又f(0)=f(-1)+1=+1=,
f
(1)=f(0)+1=,
∴f(2015)=+2014=.
山东滨州二模,8)具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数:
①y=x-;
②y=x+;
③y=中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①②B.②③C.①③D.只有①
5.C (逐项验证法)对于①,f=-x=-f(x)满足条件;
对于②,f=+x≠-f(x)不满足条件;
对于③,f=
满足f=-f(x).故③满足“倒负”变换,故选C.
广东江门一模,4)已知函数g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f(0)等于( )
A.-3B.-C.D.3
6.D 令g(x)=1-2x=0,∴x=,
则f(0)=f==3.
7.(2016·
山东枣庄二模,6)设函数f(x)对不为零的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f
(2)等于( )
A.2013B.2014C.2015D.2016
7.B ∵f(x)+2f=3x,
把x=2代入得f
(2)+2f(1008)=6,①
把x=1008代入得f(1008)+2f
(2)=3×
1008,②
∴f
(2)=2014.
当含有f(x)与f(k≠0)(或f(x)与f(-x))时常考虑采用函数方程法.
8.(2015·
广东中山一模,13)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.
8.【解析】 设f(x)=kx+b(k≠0),
∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
∴3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=2x+17,
即kx+5k+b=2x+17,
∴∴
∴f(x)=2x+7.
【答案】 2x+7
9.(2016·
安徽六安模拟,14)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1)时,f(x)=,则当x∈[1,2)时,f(x)=________.
9.【解析】 设1≤x<2,可得0≤x-1<1,
又∵f(x)=2f(x+1),
∴f(x)=f(x-1)
=
=.
北京,4,易)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
A.y=B.y=cosx
C.y=ln(x+1)D.y=2-x
1.D [考向1]y=在(-1,1)上为增函数,故A错;
y=cosx在(-1,1)上先递增后递减,故B错;
y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,故C错;
而D中y=
在(-1,1)上为减函数,故选D.
2.(2014·
北京,2,易)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
A.y=e-xB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|
2.B [考向1]选项A,y=e-x=,在R上为减函数;
选项B,y=x3在R上为增函数;
选项C,y=lnx,定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上为增函数;
选项D,y=|x|=在[0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数,故B符合要求.
湖南,4,易)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )
A.f(x)=B.f(x)=x2+1
C.f(x)=x3D.f(x)=2-x
3.A [考向1]选项A,由于y=x2在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,0)上单调递增且为偶函数;
选项B,f(x)=x2+1是偶函数但在(-∞,0)上单调递减;
选项C,f(x)=x3为奇函数;
选项D,f(x)=2-x为非奇非偶函数,综上选A.
湖南,8,中)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
4.A [考向1]f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln,
f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
设u=,则y=lnu,
又因为u=在(0,1)上为增函数,
且y=lnu为增函数,
所以由复合函数性质得y=f(x)在(0,1)上是增函数.
形如y=f(g(x))单调性的判断常用“同增异减”.
5.(2014·
陕西,7,中)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x3B.f(x)=3x
C.f(x)=xD.f(x)=
5.B [考向1](根据函数满足的条件和函数性质逐一判断)f(x)=x3,f(x+y)=(x+y)3≠x3·
y3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),A错误.f(x)=3x,f(x+y)=3x+y=3x·
3y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)=3x是增函数,B正确.f(x)=
,f(x+y)=(x+y)≠
·
y,不满足f(x+y)=f(x)f(y),C错误.f(x)=,f(x+y)==·
,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)=不是增函数,D错误.
方法点拨:
解抽象函数的有关试题的关键是对对应法则的理解和应用,常常依据法则特殊化处理,例如采用赋值法,以寻求解题的切入点.
6.(2013·
北京,3,中)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=B.y=e-x
C.y=-x2+1D.y=lg|x|
6.C [考向1](逐项验证法)A中y=是奇函数,A不正确;
B中y=e-x=是非奇非偶函数,B不正确;
C中y=-x2+1是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C正确;
D中y=lg|x|在(0,+∞)上是增函数,D不正确.故选C.
7.(2012·
辽宁,8,中)函数y=x2-lnx的单调递减区间为( )
A.(-1,1]B.(0,1]
C.[1,+∞)D.(0,+∞)
7.B [考向1](根据函数的导数小于或等于0的解集就是函数的单调递减区间求解)由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由y′=x-≤0,解得0<
x≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].
8.(2016·
北京,10,中)函数f(x)=(x≥2)的最大值为________.
8.[考向2]【解析】 因为函数f(x)===1+,
在[2,+∞)上为减函数,
所以f(x)max=f
(2)==2.
【答案】 2
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础,是高考的必考内容,多以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题的某一问中,属中、低档题目.
复习中,要熟练掌握确定函数单调性的常用方法.
陕西,9)设f(x)=x-sinx,则f(x)( )
A.既是奇函数又是减函数
B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数
D.是没有零点的奇函数
(2)(2014·
天津,12)函数f(x)=lgx2的单调递减区间是________.
(3)(2015·
广东佛山联考,17,12分)讨论函数f(x)=(a>
0)在(-1,1)上的单调性.
【解析】
(1)f(x)的定义域为R,
∵f(-x)=-x-sin(-x)
=-x+sinx=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
∵f′(x)=1-cosx≥0,
∴f(x)在R上为增函数.
∵f(0)=0,∴函数f(x)有零点.
(2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=lgu在(0,+∞)上为增函数,u=x2在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,故f(x)在(-∞,0)上单调递减.
(3)方法一(定义法):
设任意-1<
x1<
x2<
1,
则f(x1)-f(x2)=-==.
∵-1<
∴x2-x1>
0,x1x2+1>
0,(x-1)(x-1)>
0.
又a>
0,∴f(x1)-f(x2)>
故函数f(x)在(-1,1)上为减函数.
方法二(导数法):
f′(x)=
===-.
∵a>
0,x∈(-1,1),
∴f′(x)<
∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
判断题
(1)单调性的关键是利用导数来判断;
解题
(2)的关键是利用复合函数“同增异减”的法则来求解;
题(3)利用单调性的定义或导数来判断.
河北邯郸模拟,4)若函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A最大为( )
A.(-∞,0) B. C.[0,+∞) D.
1.B f(x)=|x|(1-x)=
==
画出草图如图,
由图易知f(x)=|x|(1-x)在上是增函数.
山东济南一模,11)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
2.【解析】 要使y=log5(2x+1)有意义,则2x+1>
0,即x>
-,而y=log5u为(0,+∞)上的增
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