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分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。
5、百分数的含义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"
%"
表示。
百分数的分数单位是1%。
分数和百分数的关系:
分数既可以表示一个数,也可以表示两个数的比;
而百分数只表示一个数占另一个数的百分比,不能用来表示具体数。
因此,百分数是一种特殊的分数,但分数可以有单位,而百分数绝不能有单位。
6、小数的含义:
把整数"
平均分成10份,100份,1000份,......这样的1份或几份是十分之一,百分之一,千分之一,......或十分之几,百分之几,千分之几,......可以用小数表示。
小数的单位是0.1,0.01,0.001,...它是十进制分数的另一种表现形式。
小数的分类:
(1)纯小数和带小数:
整数部分是0的小数叫做纯小数,纯小数小于1;
整数部分不是0的小数叫做带小数,带小数大于1。
(2)有限小数和无限小数:
小数部分位数有限的小数,叫做有限小数;
小数部分位数无限的小数,叫做无限小数。
如4.28是有限小数,兀是无限小数。
(3)循环小数,:
一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。
循环小数都是无限小数。
(4)循环节:
一个循环小数的小数部分中,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。
(5)纯循环小数和混循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数;
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
知识点二计数单位和数位。
1、计数单位:
个、十、百、......以及十分之一、百分之一、......都是计数单位。
2、数位:
各个计数单位所占的位置,叫做数位。
数位是按一定的顺序排列的。
3、十进制计数法:
"
十进制计数法"
是世界各国最常用的一种计数方法。
它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是"
十"
,就是10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位(即通常所说的"
逢十进一"
)。
这种以"
为基础进位的计数方法,叫做十进制计数法。
4、整数和小数数位顺序表:
六年级数学整理和复习
数的认识
(二)数的读、写法及大小比较
知识点一数的读法和写法。
1、整数的读、写法。
读法:
从高位到低位,一级一级地读,每一级末尾的0都不读,其他数位不管连续有几个0,都只读一个零。
读数前通常先把这个数分级,再按各数级来读。
写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
2、小数的读、写出法。
读小数的时候,从左往右,整数部分按照整数的读法来读(整数部分是0的读作"
零"
),小数点读作"
点"
,小数部分从高位到低位顺次读出每一个数位上的数字,即使是连续的0,也要依次读出来。
写小数时,也是从左往右,整数部分按照整数的写法来写(整数部分是零的写作"
),小数点写在个位的右下角,小数部分从高位到低位顺次写出每个数位上的数字。
3、分数的读、写法。
读分数时,先读分数中分母,再读"
分之"
,最后读分子。
读带分数时,要先读整数部分,再读分数部分,中间加一个"
又"
字。
写分数时,先写分数线,再写分母,最后写分子。
写带分数时,要先写整数部分,再写分数部分,整数部分要对准分数线,距离要紧凑。
在列式计算中,分数线要对准"
="
号中两横线的中间。
4、百分数的读、写法。
与分数的读法相同,先读分母,再读分子。
百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面加上百分号"
写百分数时,要先写分子,再写百分号。
知识点二数的改写。
1、把多位数改写成以"
万"
或"
亿"
为单位的数。
(1)直接改写:
把多位数改写成以"
为单位的数,先把原数的小数点向左移动4位或8位(若小数部分的末尾是0要划掉),再在数后面加写"
字,中间要用"
号连接。
(2)省略尾数改写成近似数:
先用"
四舍五入"
法省略万位或亿位后面的尾数,再在这个数的后面加写"
字,得出的是近似数,中间要用"
≈"
2、求小数的近似数。
根据要求,要把小数保留到哪一位,就把这一位后面的尾数按照"
法省略。
中间用"
号。
3、假分数与带分数或整数之间的互化。
(1)假分数化成整数或者带分数的方法:
根据分数与除法的关系,用假分数的分子除以分母,如果分子是分母的倍数,所得的商就是整数;
如果分子不是分母的倍数,所得的商就是带分数的整数部分,余数就是分数部分的分子,原分母不变。
(2)整数化成假分数的方法:
把整数(0除外)化成假分数,用指定的分母(0除外)作分母,用分母和整数的乘积作分子。
(3)带分数化成假分数的方法:
把带分数化成假分数,用原来的分母作分母,用分母和整数的乘积再加上原来的分子作分子。
4、分数、小数与百分数之间的互化。
知识点三数的大小不变。
1、整数的大小比较。
比较两个整数的大小,要看它们的位数,如果位数不同,那么位数多的数就大;
如果位数相同,就从最高位比起,相同数位上的数大的那个数就大。
2、小数的大小比较。
先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;
整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;
十分位上的数相同的,百分位上的数大的那个数就大......以此类推。
3、分数的大小比较。
(1)真、假分数或整数部分相同的带分数:
分母相同,分子大则分数大;
分子相同,则分母小的分数大;
分子和分母都不相同,通分后化成同分母或同分子分数再比较大小。
(2)整数部分不同的带分数:
整数部分大的则分数大。
数的认识(三)数的性质
知识点一分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
知识点二小数的基本性质。
1、小数的基本性质:
小数的末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。
2、小数的基本性质与分数的基本性质的关系:
小数的基本性质与分数的基本性质是一致的。
例如:
0.3=0.30=0.300
知识点三小数点位置移动引起小数大小变化的规律。
小数点向右移动一位、两位、三位......该数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍......小数点向左移动一位、两位、三位......该数就缩小到原来的一、一、一......
应用小数位置移动的变化规律,如果要把一个数扩大到原来的10倍、100倍、1000倍......就要把它的小数点向右移动一位、两位、三位......如果要把一个数缩小到原来的一、一、一......就要把它的小数点向左移动一位、两位、三位......
第4课时数的认识(四)因数倍数质数合数
知识点一因数和倍数。
已知a、b、c均为正整数,且a×
b=c,那么c就是a和b的倍数,a和b就是c的因数。
倍数和因数是相互依存的。
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数;
一个数既是它本身的因数,也是它本身的倍数。
知识点二2、3、5的倍数的特征。
1、2的倍数的特征:
个位上是0、2、4、6、8。
2、3的倍数的特征:
各个数位上的数字的和是3的倍数。
3、5的倍数的特征:
个位上是0或者5。
4、既是2又是5的倍数的特征:
个位上是0。
知识点三奇数和偶数。
1、奇数:
在自然数中,不是2的倍数的数叫做奇数。
2、偶数:
在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数。
自然数中,不是奇数就是偶数。
最小的奇数是1,没有最大的奇数;
最小的偶数是0,没有最大的偶数。
知识点四质数和合数。
1、质数的含义:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。
最小的质数是2,2是唯一的偶质数,没有最大的质数。
2、合数的含义:
一个数,如果除了1和它本身两个因数,这样的数叫做合数。
最小的合数是4,没有最大的合数。
3、1既不是质数,也不是合数。
4、判断一个数是质数还是合数的方法。
(1)检查因数的个数:
即先找出这个数的所有因数,再数因数的个数,只有两个因数的数是质数,有三个或三个以上因数的数是合数。
(2)查质数表:
20以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19。
(3)找第三个因数:
这个因数既不是1,也不是这个数本身。
没有第三个因数的数便是质数,否则就是合数。
知识点五分解质因数。
1、质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
2、分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
3、分解质因数的方法:
把一个合数分解质因数,通常运用短除法。
分解质因数时,先用这个合数的质因数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;
得出的商如果是合数,就照上面的方法继续除下去,直到得出的商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
知识点六最大公因数和最小公倍数。
1、最大公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2、最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
3、互质数:
公因数只有1的两个数叫做互质数。
4、求两个数的最大公因数的方法:
一般采用短除法,即先用这两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来。
(在除的过程,有时也可以用两个数的公因数去除。
5、求两个数的最小公倍数的方法:
一般也采用短除法,即先用这两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。
6、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法:
如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数,较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么它们的最大公因数就是1,最小公倍数就是这两个数的乘积。
数的运算及解决问题
(一)
四则运算的意义和计算方法
知识点一四则运算的意义。
1、加法的意义:
把两个(或几个)数合并成一个数的运算,叫做加法。
2、减法的意义:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。
3、乘法的意义:
求几个相同加数的和的简便运算。
(1)整数乘法的意义:
(2)小数乘法的意义:
小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,也是求几个相同加数的和的简便运算;
一个数乘纯小数的意义,就是求这个数的十分之几、百分之几......是多少;
一个数乘带小数的意义,就是求这个数的带小数倍是多少。
(3)分数乘法的意义:
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,也是求几个相同加数的和的简便运算;
一个数乘分数的意义,就是求这个数的几分之几是多少;
一个数乘假分数或带分数的意义,是求这个数的假分数(或带分数)倍是多少。
(4)小数乘法与分数乘法的意义要结合具体语言环境来理解。
4、除法的意义:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
知识点二四则运算的计算方法。
1、加减法的计算方法:
整数加法的计算方法:
相同数位对齐,从个位加起,哪一位上的数相加满十要向前一位进1。
整数减法的计算方法:
相同数位对齐,从个位减起,哪一位上的数不够减,要从前一位上退1,在本位上加十再减。
小数加法的计算方法:
计算小数加法,把小数点对齐,从末位加起。
哪一位上的数相加满十,要向前一位进1。
最后在得数里对齐横线上的小数点,点上小数点。
小数减法的计算方法:
计算小数减法,把小数点对齐,从末位减起。
如果被减数的小数末尾位数不够,可以添"
再减。
哪一位上的数不够减,要从前一位上退1,在本位上加十再减。
分数加减法的计算方法:
同分母分数和相加减,分母不变,只把分子相加减;
异分母分数相加减,先通分,然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
注意,计算的结果要写成最简分数。
整数、小数、分数加减法计算的相同点:
都是把相同计数单位的数相加减。
2、乘法的计算方法:
整数乘法的计算方法:
相同数位对齐,从末位算起,先用第二个因数每一位上的数分别去乘第一个因数,用第二个因数的哪一位上的数去乘,乘得的积的末位就要和那一位对齐,最后再把每次所乘得的积相加。
小数乘法的计算方法:
计算小数乘法,先按照整数乘法的计算方法算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的末位起数出几位,点上小数点。
分数乘法的计算方法:
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
(为了计算简便,能约分的,可以先约分再乘。
3、除法的计算方法:
整数除法的计算方法:
(1)从被除数的高位除起,除的时候,除数是几位数,就先看被除数的前几位,如果前几位不够除,再多看一位。
(2)除到被除数的哪一位,就把商写在那一位的上面。
(3)每次除得的余数必须比除数小。
小数除法的计算方法:
(1)除数是整数的小数除法,要按照整数除法的计算方法去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐。
如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的后面添0再继续除。
(2)除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数;
除数的小数向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够时,在被除数的末尾用"
补足。
),然后按除数是整数的小数除法进行计算。
分数除法的计算方法:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
倒数:
乘积是1的两个数互为倒数。
知识点三四则运算的验算。
1、加法的验算方法:
(1)用加法验算:
即调换两个加数的位置再相加。
(2)用减法验算:
和一一个加数=另一个加数。
2、减法的验算方法:
即差+减数=被减数。
即被减数-差=减数。
3、乘法的验算方法:
(1)用乘法验算:
调换两个因数的位置再乘一遍。
(2)用除法验算:
积÷
一个因数=另一个因数。
4、除法的验算方法:
商×
除数=被除数或商×
除数+余数=被除数。
被除数÷
商=除数或(被除数-余数)÷
商=除数。
知识点四0与1在四则运算中的特性。
a+0=aa-0=aa-a=0
a×
0=0a×
1=aa÷
1=a
0÷
a=01÷
a=一a÷
a=1(a作除数时不为0)
知识点五四则运算的估算方法。
根据算式中各数的特点,估算时一般是将其中的大数看作整十、整百、整千......的数,使原式通过口算便可求出得数。
由于得数是近似值,所以计算时要用"
连接。
知识点六简单应用题的类型。
1、简单应用题:
是指用一步计算解答的应用题。
2、简单的加法应用题:
(1)根据加法意义,求两个数的和。
(2)求比一个数多几的数。
数的运算及解决问题
(二)
运算定律与简便算法、四则混合运算
知识点一运算定律。
1、加法交换律:
a+b=b+a
2、加法结合律:
a+b+c=a+(b+c)
3、乘法交换律:
a×
b=b×
a
4、乘法结合律:
b×
c=a×
(b×
c)
5、乘法分配律:
(a+b)×
c+b×
c
知识点二运算性质。
1、减法的运算性质:
a-(b+c)=a-b-da-(b-c)=a-b+c
2、除法的运算性质(除数不为0):
a÷
c)=a÷
b÷
ca÷
(b÷
(a+b)÷
c=a÷
c+b÷
c(a-b)÷
c-b÷
知识点三四则混合运算的顺序。
1、四则运算分为两级:
加法和减法叫做第一级运算;
乘法和除法叫做第二级运算。
2、
(1)在没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;
如果含有两级运算,要先做第二级运算,再做第一级运算。
(2)在有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
知识点四复合应用题。
1、复合应用题:
是两用两步或两步以上计算来解答的应用题。
分析此类问题,一般采用分析法或综合法。
2、用算术方法解应用题的一般步骤:
(1)审清题意,并找出已知条件和所求的问题;
(2)分析数量关系,确定先算什么,再算什么,最后算什么;
(3)列式计算;
(4)检验并写出答语。
知识点五复合应用题的类型及解法。
1、"
归一"
问题:
此类主尖用题中暗含着单一量不变,文字叙述中多带有类似"
照这样计算"
的字样,其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量(即归一),再以它为标准,根据题目要求算出所求量。
2、"
归总"
此类题中暗含着总量不变,即乘积不变。
其解题的关键是先求出总数(即归总),再根据总数算出所求量。
3、行程问题:
根据速度、时间和路程之间的关系,计算相向、相背或同向运动的问题,称为行程问题。
其基本的数量关系式为:
速度×
时间=路程。
路程÷
速度=时间,路程÷
时间=速度。
①相遇问题,即同时同向而行并相遇(或同时背向而行):
速度和×
(相遇)时间=总路程。
②追及问题,即同时同向而行,速度慢的在前,速度快的在后:
速度差×
追及时间=路程差。
4、工程问题:
把工作总量看作单位"
,工作效率用单位时间内做工作总量的"
几分之一"
根据工作总量、工作效率、工作时间其中两种量求出第三种量。
数量关系式为:
工作效率×
工作时间=工作总量
工作总量÷
工作效率=工作时间
工作时间=工作效率
5、分数应用题:
关键是找准标准量,即单位"
若单位"
已知,用北法计算;
未知,用除法计算。
(1)求甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)的解题规律:
甲乙的差÷
乙;
(2)已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几),求甲的解题规律:
乙×
(1±
一);
(3)已知甲比乙多(或少)几分之几(百分之几),求乙的解题规律:
甲÷
(4)利息=本金×
利率×
时间
税后利息=本金×
时间×
(1-5%)
(5)应纳税额=应纳税所得额×
税率
式与方程
知识点一用字母表示数、运算定律和计算公式。
1、用字母或含有字母的式子可以表示数(包括整数、小数、分数和百分数),也可以表示数量关系、运算定律和计算公式。
2、在含有字母的式子里,字母就读字母的名称,字母与字母、字母与数字之间的乘号可以记作"
·
或省略不写。
但要注意,在省略乘号的时候,应当把数字写在字母的前面。
3、用字母表示除法、分数和比时,表示除数、分母及比的后项的字母不能为0。
4、用字母表示运算结果时,必须是最简明的式子。
知识点二等式和简易方程。
1、等式的含义:
表示相等关系的式子叫做等式。
2、方程的含义:
含有未知数的等式叫做方程。
3、等式与方程的关系:
所有的方程都是等式,但等式却不全是方程。
4、方程的解的含义:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
5、解方程的含义:
求方程的解的过程叫做解方程。
知识点三等式的性质。
1、等式的两边都加上(或减法)同一个数,左右两边仍然相等。
这就是等式的性质
(1)。
2、等式的两边都乘(或除以)一个不等于0的数,左右两边仍然相等,这就是等式的性质
(2)。
3、根据等式的性质
(1)和性质
(2),可以解方程。
知识点四列方程解应用题的一般步骤。
1、弄清题意,找出未知数并用X表示(也可以间接设某个量为X,再通过这个量去求未知数。
);
2、找出应用题中数量间的相等关系,并根据等量关系列出方程;
3、解方程,求出未知数的值;
4、检验并写出答语。
知识点五列方程解应用题的关键。
找等量关系是列方程解应用题的关键,找等量关系可以通过以下途径:
1、充分利用表示等量关系的关键性词语;
2、利用常见的四则运算的意义及数量关系;
3、利用常见的数量关系式;
4、利用计算公式。
常见的量
知识点一常见的计量单位及其进率。
1、长度、面积和体积单位及其同类量之间的进率:
2、质量单位和它们之间的进率:
1吨=1000千克1千克=1000克
3、时间单位和它们之间的进率:
(1)时间单位:
有世纪、年、月、日、时、分、秒,还有季度、旬、星期等。
(2)年、月、日之间的关系。
(3)日、时、分、秒等其他时间单位。
1世纪=100年1日=24时1时=60分1分=60秒1星期=7天
(4)平年、闰年的计算方法。
根据公历年份判断,整百、整千的年份是400的倍数,其他年份是4的倍数的年份都是闰年,反之则是平年。
4、人民币的单位及其进率:
人民币的单位有元、角、分。
1元=10角1角=10分
知识点二名数之间的互化。
1、名数的意义:
计量的结果,要用数来表示,并且还要带上单位名称,通常把它们合起来叫做名数。
只带有一个单位名称的,叫做单名数,如1米、30天等;
带有两个或两个以上单位名称的,叫做复名数,如3吨50千克、1米5厘米等。
2、名数的改写:
把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去乘,反之用进率去除。
如果进率是10、100、1000...时,也可以把小数点向右(或左)移动一位、两位、三位......来完成。
比和比例
知识点一比和比例的联系与区别。
知识点二比和分数、除法的联系。
知识点三求比值和化简比。
知识点四正比例和反比例的意义和判断方法。
1、正比例的意义:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变
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