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利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程。
8.待定系数法:
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。
9.点差法:
求圆锥曲线中点弦轨迹问题时,常把两个端点设为A(X1,y1),B(X2,y2)并代
入圆锥曲线方程,然而作差求出曲线的轨迹方程。
此部分内容主要考查圆锥曲线,圆锥曲线的定义是根本,它是相应标准方程和几何性质的“源”。
对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略。
二、注意事项:
1.
P的运动规律,即P点满足的
求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。
2.轨迹方程既可用普通方程F(x,)=O表示,又可用参数方程Z=f(t)(t为参数)
』=g(t)
来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。
3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某
些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。
(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。
检验方法:
研究运动中的特殊情形或极端情形。
4.求轨迹方程还有整体法等其他方法。
在此不缀述。
【典型例题选讲】
一、直接法题型:
例1已知直角坐标系中,点Q(2,0),圆C的方程为χ2亠y2=1,动点M到圆C的切
解:
设MN切圆C于N,贝UMN
设M(X,y),则.X2y2-1=■
=MO
2-ON
..(X-2)2y2
化简得(九2_1)(X2+y2)_4扎2X+(1+4&
2)=O
5
(1)当彊=1时,方程为X,表示一条直线。
4
2、
2
22表示一个圆。
C-I)
线长与MQ的比等于常数h(λ>
0),求动点M的轨迹。
21*3r2
(2)当>.--1时,方程化为(X--^)2y2
丸-1
说明:
求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
变式--如图,圆。
1与圆。
2的半径都是1,。
1。
2=4,过动点P分别作圆。
1、圆。
2的
22
因为两圆的半径均为1,所以PO1-1=2(PO2-1)
设P(x,y),则(X2)2-1=2[(χ-2)2y2-1],即(x-6)2y2=33
所以所求轨迹方程为:
(x_6)2∙y2=33(或X2■y2_12x•3=O)
评析:
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意挖”与补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
二、定义法题型:
运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。
例2已知A、B、C是直线I上的三点,且IABI=IBC∣=6,Θ0'
切直线I于点A,又过B、C作Θ0'
异于I的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程•
【解析】设过B、C异于I的两切线分别切Θ0'
于DE两点,两切线交于点P.由切线的性质知:
∣BA∣=∣BD∣,∣PD∣=∣PE∣,
∣CA∣=∣CE∣,故∣PB∣+∣PC∣=∣BD∣+∣PD∣+∣PC∣=∣BA∣+∣PE∣+∣PC∣=∣BA∣+∣CE∣=∣AB∣+∣CA∣=6+12=18>
6=|BC|,
故由椭圆定义知,点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆,以I所在的直线为X
轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,
22可求得动点P的轨迹方程为:
—-1
8172
练习:
已知圆0的方程为χ2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,求点P的方程。
由中垂线知,PA=PM故PA+PO=PM+PO=OM=10,即P点的轨迹为
以A、O为焦点的椭圆,中心为(
-3,0),故P点的方程为W3)+±
=125
2516
定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件
三、代入法题型:
例3如图,从双曲线x-y=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为NO求线段QN的中点
P的轨迹方程。
设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1)
则N(2x-x1,2y-y1)代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①
又PQ垂直于直线x+y=2,故———也=1,即x-y+y1-x1=0②
X-X1
3113
由①②解方程组得x1=—X•—y-1,y1=—X•—y-1,代
2222
入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0
已知曲线方程f(x,y)=O∙分别求此曲线关于原点,关于X轴,关于y轴,关于直线y=x,关于直线y=-x,关于直线y=3对称的曲线方程。
(f(-x,-y)=O,f(x,-y)=O,f(-x,y)=O,f(y,x)=O,f(-x,-y)=O,f(x,6-y)=0)
四、参数法与点差法题型:
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。
例4经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>
0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于BC两
点,求线段BC的中点M轨迹方程。
A(-2p,0),设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k-0).与抛物线方程联立方程组可解得B
点的坐标为(2?
-2p,2p),由于AC与AB垂直,则AC的方程为y=-丄(χ∙2p),与抛
kkk
物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2P-2p,—2kp),又M为BC中点,设M(x,y),
X=-p2+k2p-2P
则<
k,消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。
PI
y=一_kp
Jk
巩固与提高:
1〉在平面直角坐标系XOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO丄BO(如图4所示).求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
【解析】
解法一:
以OA的斜率k为参数由=kx解得
.∙.OB:
y=
VOA丄OB,
1
VX
X
解得BW
y=X
1一1
设厶AOB的重心G(X,y),
3.'
、ky=1k2
3
消去参数k得重心G的轨迹方程为y=3χ2*2
X1X2
TOA⊥OB∙∙∙koAkoB=-1,即X1X2y』2_-1,
(2)
又点A,B在抛物线上,有y1=x12,y2=X;
代入
(2)化简得x1x2=-1
y^*^y21221212222
∙∙y(x1x2)[(x1x2)2x1x2](3x)3x
333333
所以重心为G的轨迹方程为y=3χ2上。
2〉如图,设抛物线C:
y=X2的焦点为F,动点P在直线丨:
X-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求
【解析】设切点A、B坐标分别为(x,X2)和(X1,X12)((X1=Xo),
∙切线AP的方程为:
2χ°
x-y-X;
=0;
切线BP的方程为:
2x1X-y-X10;
解得P点的坐标为:
XP
XoX1
2,yP=x0x1
A
yG二
y°
%YPX0X1X0X1=
(X。
X1)2-X°
X1二
4χp2y
△APB的重心G的轨迹方程.
所以yp--3Yg4xG,由点P在直线丨上运动,从而得到重心G的轨迹方
程为:
212
X-(-3y4x)-2=0,即卩y(4x-X2).
1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活,技巧性强,也是学生较难掌握的一类问题。
2.选用什么变量为参数,要看动点随什么量的变化而变化,常见的参数有:
斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。
4.多参问题中,根据方程的观点,引入n个参数,需建立n+1个方程,才能消参(特殊情况下,能整体处理时,方程个数可减少)。
五、交轨法与几何法题型
求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
例5抛物线y4px(PO)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点0在直线AB上的射影M的轨迹。
(考例5)
解1(交轨法):
点A、B在抛物线y2=4pχ(p.0)上,
设A(注,yA),B(^^lyB)所以koA=4pk°
B=4p,
4p4pyyB
由OA垂直OB得koAkoB=-1,得yAyB=-16p2,
又AB方程可求得y-yA=逬一坞(X-厶),
YAyB4p
4p4p
即(Ya+Yb)y--4pχ--yAyB=O,把YaYb=-16p
代入得AB方程(ya+yB)y--4px+16p2=0①又OM的方程为"
计X②由①②消去得Ya+Yb即得χ2∙y2-4PX=:
0,即得(x-2p)2,y2=4p2。
所以点M的轨迹方程为(x-2p)2∙y2=4p2,其轨迹是以(2p,0)为圆心,半径为2p的圆,除去点(0,0)。
用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交
点的两个坐标间的关系即可。
交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2(几何法):
由解1中AB方程(Ya+yb)y--4px+16p2=0可得AB过定点(4p,0)而OM
垂直AB,所以由圆的几法性质可知:
M点的轨迹是以(2p,0)为圆心,半径为2p的圆。
所
以方程为(x-2p)2∙y2=4p2,除去点(0,0)。
六、点差法:
一12
例6(2004年福建,22)如图,P是抛物线C:
yχ上一点,直线I过点P且与抛物线
C交于另一点Q。
若直线I与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程。
(图见教
材P129页例2)。
二PQ中点为M的轨迹方程为y=X
2x2
1(Xn0)
方法二(点差法)
P的切线的斜率k切=X1,
X2
消去X1,得y°
'
2x0
121
由y1-X1,y2SX2,X0
21
将上式代入
(2)并整理,得y。
=x27(X0=0)∙
2X0
二PQ中点为M的轨迹方程为y=X+—2+1(XH0)
2x
本题主要考查了直线、抛物线的基础知识,以及求轨迹方程的常用方法,本题的关键
是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。
七、向量法:
rXVXV
例7、(1995全国理)已知椭圆如图6,=1,直线L:
=1,P是L
2416128
上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足IoQl∙IoPl=IORf.当点P在L上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线
图6
由OQ,OR,OP共线,设OR=mOQ,OP=nOQ,OQ=(x,y)则OR=(mx,my),OP=(nx,ny),由∣OP∣.∣OQI=IOR|2,得n=m2....
(1)
在椭圆上,..^.1,
2416
1点P在L上.坐翌=1
XVXV
U=+——
128
X2y21Xy1X
2,代入
(1)得:
-
2416m128n2416
竺.(L∑1L=1即为所求的轨迹为椭圆。
55
23
本题解法较多,是一道有难度的多动点轨迹问题,如果用常规方法求解,其过程曲折,运算繁杂,而利用向量作形与数的转化,由此展开思路,不仅减少运算量,其过程也就变得
平坦自然
总结:
以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法,对于下面几点,在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的:
1.高考方向要把握
高考考查轨迹问题通常是以下两类:
一类是容易题,以定义法、相关点法、待定系数法等为主,另一类是高难度的纯轨迹问题,综合考查各种方法。
2.“轨迹”、“方程”要区分
求轨迹方程,求得方程就可以了;
若是求轨迹,求得方程还不够,还应指出方程所表示的曲线类型(定形、定位、定量)。
3.抓住特点选方法
处理轨迹问题成败在于:
对各种方法的领悟与解题经验的积累。
所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法(什么情况下用什么方法上面已有介绍,这里不再重复)。
4.认真细致定范围
确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点,也是学生容易出现错误的地方,在确定轨迹范围时,应注意以下几个方面:
1准确理解题意,挖掘隐含条件;
2列式不改变题意,并且要全面考虑各种情形;
3推理要严密,方程化简要等价;
4消参时要保持范围的等价性;
5数形结合,查“漏”补“缺”。
5.平几知识“用当先”在处理轨迹问题时,要特别注意运用平面几何知识,其作用主要有:
1题中没有给出明显的条件式时,可帮助列式;
2简化条件式;
3转化化归。
6.向量工具“用自如”向量是新课改后增加的内容,它是数形转化的纽带,它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用,在复习时应加强训练,使学生熟练掌握,并能运用
自如
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- 轨迹 问题
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