认识三角形精品练习题Word文档格式.docx
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1、高的定义:
在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点与垂足之间的线段称为三角形的高。
注:
(1)三角形的高必为线段;
(2)三角形的高必过顶点垂直于对边;
(3)三角形有三
条高。
2、三角形的角平分线
1、定义:
在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线。
2、注:
(1)三角形的角平分线必为线段,而一个角的角平分线为一条射线;
(2)三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角;
(3)三角形有三条角平分线。
三角形的三条角平分线相较于一点,这点叫做三角形的内心
3、三角形的中线
1、定义:
在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线。
2、注1)三角形的中线必为线段;
2)三角形的中线必平分对边;
3)三角形有三条中线。
三角形的三条中线相较于一点,这点称为三角形的重心
重心定理:
三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理:
三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理:
垂心:
三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理:
三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理:
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角
形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相
关点。
1在△ABC中,AD是角平分线,BE是中线,∠BAD=40,
则∠CAD=,若AC=6cm,则AE=
2下列说法正确的是()
A三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B直角三角形只有一条高
C三角形的三条至少有一条在三角形内
D钝角三角形的三条高均在三角形外
2
3.下列各图中的AD是△ABC的高吗?
若不是,画出正确图形。
4、在△ABC中,AD是角平分线,
BE是中线,∠BAD=40,则
∠CAD=
,若AC=6cm,则AE=
E
5、下列说法正确的是(
)
A、三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
B、直角三角形只有一条高
(第4
题图)
C、三角形的三条至少有一条在三角形内
D、钝角三角形的三条高均在三角形外
6、
ABC的高为AD,角平分线为AE,中线为AF,则把
ABC面积分成相等的两部分
的线段是
。
7、如图,AD、CE分别是△ABC的中线和高.若∠B=35°
BC=12cm,则BD=
cm,∠BCE=
8、如图,AD是△ABC的外角平分线,∠B=∠C=40°
则∠EAC=
°
9、∠DAC=
图中,直线AD与直线
BC有怎样的位置关系?
答:
.
你的根据是:
AD
10.在△ABC,AD是角平分线,∠B=50°
,∠C=70°
,则∠ADC=。
BC
11.说出图中的阴影线的各三角形的面积(每一小正方形的边长为一个长度单位)
12.在△ABC中,已知∠ABC=60°
,∠ACB=50°
,
BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点。
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数。
3
三.例题精讲:
例1.一个等腰三角形的周长为28cm,有一边长为8cm,则这个三角形的边长是多少?
例2、如图,A
65,
ABD
30,ACB
72,
且CE平分
ACB,求
BEC
的度数。
00
例3.如图,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,∠B=70,∠ACB=50,
求∠EDC,∠BDC的度数。
A
DE
认识三角形同步练习
一、选择题
1.现有两根铁条,它们的长分别是30cm和50cm,如果要做成一个三角形铁架,那么在
下列四根铁条中应选取()
A.20cm的铁条;
B.30cm的铁条;
C.80cm的铁条;
D.90cm的铁条.
2.以下列长度的线段为边,可以作一个三角形的是()
A.5㎝、10㎝、15㎝;
B.5㎝、10㎝、20㎝;
C.10㎝、15㎝、20㎝;
D.5㎝、20㎝、25㎝.
3.已知三角形的三边长分别是3,8,x;
若x的值为偶数,则x的值有()
A.6个;
B.5个;
C.4个;
D.3个.
4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形的形状是
A.锐角三角形;
B.直角三角形;
C.钝角三角形;
D.等腰三角形.
4
5.三角形的角平分线是()
A.射线;
B.直线;
C.线段;
D.线段或射线.
二、填空题
6.等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm,则这个等腰三角形的周长为cm.
2.三角形的两边分别为4和5,第三边为,则的取值范围是_________.
3.在△ABC中,AB=9,BC=2,并且AC为奇数,那么△ABC的周长是_______.
4.△ABC中,∠A=∠B=∠C,则三个内角分别为___________.
5.一个三角形最多有__________个直角:
有________个锐角;
有_________个钝角.
6.在△ABC中,∠A-∠B=15°
,∠C=75°
,则∠A=__________,∠B=__________.
7.如图,∠A=80°
,∠2=130°
,则∠1=____度
8.等腰三角形的两条边长分别为4cm和9cm,则第三边长为
9.已知,如图,已知AD、AE分别是△ABC的中线,高线,且AB=5cm,AC=3cm;
则△ABD和△ADC的周长之差等
于
cm;
△ABD与△ACD的面积关系是
DEC
.
第9题图
10.用一根长为15cm的细铁丝围成一个三角形,其三边的长
(单位:
cm)分别为整数
a、b、c,且a>
b>
c,
(1)请写出一组符合上述条件的
a、b、c的值
(2)a最大可取
,c最小可取
11.如图在△ABC中,,D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点,BD的延长线交AC
于E,且∠EDC=50°
,求∠A的度数.
5
12.如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,若∠DBC=45°
,∠A=70°
,求∠D,∠AED,∠BFE的度数.
全等三角形
一、课标要求(学习本章节需要达到的目的)
1、了解全等形及全等三角形的概念;
2、掌握全等三角形的性质,体会通过三角形的平移、翻折和旋转,图形变换的保形性
3、掌握一般三角形全等的四种判定方法和直角三角形全等的判定方法,会运用三角形全等
解决日常生活中问题;
4、会画角平分线,了解角平分线的性质和判定方法
二、知识疏理
1、三角形全等的有关概念和性质
能够完全重合的两个图形叫做全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等
2、一般三角形全等的判定
(1)边角边公理(SAS):
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等
(2)角边角公理(ASA):
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
(3)角角边公理(AAS):
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
(4)边边边公理(SSS):
有三边对应相等的两个三角形全等
3、直角三角形全等的特殊判定方法
斜边直角边公理(HL):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
注意:
判定直角三角形全等也可以用SAS,ASA,AAS,SSS。
4、角的平分线的定义、性质和判定定理
定义:
把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线
性质:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等
判定:
到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上
6
三、典型例题解析
例1如图,ABCDEB,AB=DE,EABC,
则C的对应角为,
BC的对应边为。
例2如图,
ABC
EFC,且CF=3cm,EFC640
则BC=
cm,
B=
例3下列说法错误的是()
A.全等三角形对应边相等
B.全等三角形对应角相等
C.若两个三角形全等且有公共顶点,则公共顶点就是它们的对应顶点
D.若两个三角形全等,则对应边所对的角是对应角
例4在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接
AD,
(1)求证:
ADC;
(2)求证:
ADC
ADB900.
BA
F
BCE
DC
例5如图,在
ABC中,C
900,AM平分
CAB,CM=20cm,
M
那么M到AB的距离是
cm.
例6如图所示,已知AC平分BAD,EBCCDF,求证:
AB=AD。
EF
7
例7已知:
如图,在
ABC中,AB=BC,
ABC900
F为AB延长线上一点,点E
在BC上,BE=BF,连接AE、EF和CF。
(1)求证:
AE=CF;
(2)若CAE300,求EFC的度数。
E
ABF
四、实战演练(课堂练习)
1、下列判断不正确的是().
A.形状相同的图形是全等图形B.能够完全重合的两个三角形全等
C.全等图形的形状和大小都相同D.全等三角形的对应角相等
2、如图:
若△ABE≌△ACF,且AB=5,AE=2,则EC的长为(
A.2
B.3
(第2题)
C.5
D.2.5
3、如图:
在△ABC中,AB=AC,∠BAD=∠CAD,则下列结论:
①△
ABD≌△ACD,②∠B=∠C,
③BD=CD,④AD⊥BC。
其中正确的个数有(
(第4题)
题)
题)D
(第3
(第6
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4、如图:
AB=AD,AE平分∠BAD,则图中有(
)对全等三角形。
A.2
C.4
D.5
5、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是:
如图在∠
AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,
移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与
M,N重合,得到∠AOB的平分线OP,做法中用到三
角形全等的判定方法是(
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.HL
6、.如图,D是∠BAC的平分线上一点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F,下列结论中不正确
的是(
A.DE=DF
B.AE=AF
C.△ADE≌△ADF
D.AD=DE+DF
8
7、如图:
EA∥DF,AE=DF,要使△AEC≌△DBF,则只要()
A.AB=CDB.EC=BFC.∠A=∠DD.AB=BC
8、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那
么最省事的办法是()
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
a
b
9题)
(第
(第7题)
c
9、如图:
直线a,b,c表示三条相互交叉环湖而建的公路,现在建立一个货物中转站,要
求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
10、如图:
△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6
㎝,则△DEB的周长是()
A.6㎝B.4㎝
C.10㎝D.以上都不对
AB
(第10题)E
11、如图:
AB=AC,BD=CD,若∠B=28°
则∠C=
(第11题)
13、已知,如图2:
∠ABC=∠DEF,AB=DE,要说明
ABC≌ΔDEF。
若以“SAS”为
依据,还要添加的条件为______________;
BECF
图2
图3
14、如图3:
要测量河岸相对的两点A、B之间的距离,先从B处出发与AB成90°
角方向,
向前走50米到C处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走50米到D处,在D处转90°
沿
DE方向再走17米,到达E处,使A、C与E在同一直线上,那么测得A、B的距离为_____
米。
9
15
、如图:
在△ABC中,AD=AE,BD=EC,∠ADB=∠AEC=105°
,∠B=40°
,则∠CAE=
16
、如图,在△ABC中,AD=DE,AB=BE,∠A=80°
,则∠CED=_____.
AA
BD
ECB
(第15
(
第16题)
第17题)
17、如图:
两个三角形全等,其中已知某些边的长度和某些角的度数,?
则x=_______.
18、、如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠BAC,BC=10cm,BD=6cm,则点D到AB的距离为_____。
19、如图:
AB,CD相交于点O,∠B=∠C=90°
,请你补充一个条件,
使得△RtABD≌△RtCDB,你补充的条件是;
AC
O
DB
(第19题)
20、如图:
在△ABC中,∠B=∠C=50°
,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,则∠BAD=。
D(第20题)
21、如图:
AC=DF,AD=BE,BC=EF。
求证:
∠C=∠F。
22、如图:
AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD。
BE⊥AC。
10
23、如图:
E是∠AOB的平分线上一点,
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足为C,D。
(1)OC=OD,
(2)DF=CF。
FE
24、如图:
在△ABC,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F。
AF平分∠BAC。
ED
尺规作图专题
尺规作图的定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
最基本,最常用的尺规作图,
通常称基本作图。
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图:
1、作一条线段等于已知线段;
2、作一个角等于已知角;
3、作已知线段的垂直平分线;
4、作已知角的角平分线;
5、过一点作已知直线的垂线;
题目一:
作一条线段等于已知线段。
已知:
如图,线段a.
求作:
线段AB,使AB=a.
作法:
(1)作射线AP;
(2)在射线AP上截取AB=a.
则线段AB就是所求作的图形。
题目二:
作已知线段的中点。
如图,线段MN.
点O,使MO=NO(即O是MN的中点).
(1)分别以M、N为圆心,大于
的相同线段为半径画弧,
两弧相交于P,Q;
(2)连接PQ交MN于O.
则点O就是所求作的MN的中点。
(试问:
PQ与MN有何关系?
11
题目三:
作已知角的角平分线。
如图,∠AOB,
射线OP,使∠AOP=∠BOP(即OP平分∠AOB)。
(1)以O为圆心,任意长度为半径画弧,分别交OA,OB于M,N;
(2)分别以M、N为圆心,大于
的相同线段为半径画弧,两弧交∠AOB内于P;
(3)作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四:
作一个角等于已知角。
(请自己写出“已知”“求作”并作出图形,不写作法)
题目五:
已知三边作三角形。
如图,线段a,b,c.
△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
(1)作线段AB=c;
(2)以A为圆心b为半径作弧,
以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C;
(3)连接AC,BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六:
已知两边及夹角作三角形。
如图,线段m,n,∠.
△ABC,使∠A=∠,AB=m,AC=n.
(1)作∠A=∠;
(2)在AB上截取AB=m,AC=n;
(3)连接BC。
12
题目七:
已知两角及夹边作三角形。
如图,∠,∠,线段m.
△ABC,使∠A=∠,∠B=∠,AB=m.
(1)作线段AB=m;
(2)在AB的同旁
作∠A=∠,作∠B=∠,
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所
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