最新初中数学动态几何探究题汇总大全Word格式.docx
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2.AD=BD3./FAD=ZEBDAFD^ABED(AAS).:
AF=BE.
②如图
由旋转得/BAC=ZBAD.
•••/ABD=ZFAD=ZBAOZBAD=2/BAD
由旋转得AD=AB,
•••/ABD=ZADB=2/BAD.
•••/BAD^ZABD^ZADB=180°
•••/BAD^2ZBAD^2ZBAD=180°
./-ZBAD=36°
设BD=a,作BG平分ZABD
•ZBAD=ZGBD=36°
.•AG=BG=BD=a.
•DG=AD-AG=AD-BG=AD-BD.
•••ZBDG=ZADBBD3AADB.
•BD/AD=DG/DB./.BD/AD=(AD-BD)/BD「.AD/B»
(1+根号5)/2。
•ZFAD=ZEBDZAFD=ZBEDAFMABED.
•BD/AD=BE/AF.•AF=BD/AD-BE=(1+根号5)/2*x.
2.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2ODOE=2OC然后以
OGOE为邻边作正方形OEFG连接AGDE.
G
图1E图2
(1)求证:
DELAQ
⑵正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转a角(0°
<
aV360°
)得到正方形OEF'
G'
如图2.
1在旋转过程中,当ZOAG是直角时,求a的度数;
2若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'
长的最大值和此时a的度数,直接写出结果不必说明理由.
(1)证明:
延长ED交AG于点H,
••点O是正方形ABCD两对角线的交点,
•OA=ODOALOD.
在厶AOG^D^DOE中,1.OA=OD2.ZAOG=ZDOE=90°
;
3.OG=OE
•△AOG^ADOE.:
/AGO=ZDEO.
•••/AGO/GAO=90°
「./GAO/DEO=90°
•••/AHE=90°
即卩DE丄AG.
(2)①在旋转过程中,/OAG成为直角有两种情况:
(I)a由0°
增大到90°
过程中,当/OAG=90°
时,
OA=OD=1/2*OG=1/2*OG'
•••在Rt△OAG中,sin/AGO=OA/OG=1/2
•/AGO=30°
•/OALODOALAG'
•OD//AG.
•/DOG=/AGO=30°
,即a=30°
(n)a由90°
增大到180°
同理可求/BOG=30°
「.a=180°
-30°
=150°
综上所述,当/OAG=90°
时,a=30°
或150°
②AF'
的最大值为2分子根号2+2,此时a=315°
提示:
如图
I
Ifq'
jI
//辿"
当旋转到A,O,F'
在一条直线上时,AF的长最大,
•••正方形ABCD的边长为1,
•OA=OD=OC=OB=2分子根号2.
•/OG=2OD•-OG=OG=.•OF'
=2.
•AF'
=AO^OF=2分子根号2+2.v/COE=45°
二此时a=315°
3.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分/MAB寸,求DM的长;
⑵连接BN当Dg1时,求△ABN的面积;
⑶当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
丁
n
d
a
.J
(1)由折叠可知△ADM
•••/MAN=ZDAM.
•/AN平分/MAB
•••/MAN=ZNAB.
•••/DAM=ZMAN=ZNAB.
•••四边形ABCD是矩形,
•••/DAB=90°
.DAM=30°
•DM=AD-tan/DAM=3X3分子根号3=根号3。
⑵如图1,延长MN交AB延长线于点Q.
•••四边形ABCD是矩形,•AB//DC.
•••/DMAfZmaq.
由折叠可知△ANN^AADM
•••/DMAfZAMQAN=AD=3,MN=MD=1.
•••/MAQ=ZAMQ.
•mqfaq.
设NQ=x,贝yAQ=MQ=1+x.
在Rt△ANQ中,AQ2=AN平方+NQ平方,
•(x+1)平方=3的平方+x的平方.解得x=4.
NQ^=4,A(Q=5.
TAB=4,AQ=5,
•••SANAB=4/5*S,△NAQ=4/5•1/2•AN-NQ=24/5.
(3)如图2,过点A作AFUBF于点九则厶ABHTABFC•BH/AH=CF/BC.
AHKANh3,AB=4,
•当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大.(AH最大,BH最小,CF最小,DF最大)
此时MF重合,B,N,M三点共线,△ABH^ABFC(如图3),
•DF的最大值为4—根号7
类型2动态探究题
4.
(2016•自贡)已知矩形ABCD勺一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
⑵如图2,在
(1)的条件下,擦去折痕AO线段OP连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P,A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BNhPM连接MN交PB于点F,作ME!
BP于点E.试问当动点MN在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?
若变化,说明变化规律•若不变,求出线段EF的长度.
(1)•••四边形ABCD是矩形,•••/C=Z»
90°
•••/APD^ZDAP=90°
•••由折叠可得/APO=ZB=90°
•ZAPD^ZCPO=90°
.•••/CPO=ZDAP.
又tZ»
ZC,「.AOCMAPDA.tAOCPM^PDA的面积比为1:
4,
设OP=x,贝UCO=8-x.在Rt△PCO中,ZC=90°
由勾股定理得
B的坐标是(5,2),点P
E,交CB边于点M且Z
x'
=(8-xy+4-
(1)当x为何值时,OPLAP?
(2)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)在点P的运动过程中,是否存在x,使△OCM勺面积与△ABP的面积之和等于厶EMP的面积.若存在,请求值;
若不存在,请说明理由.
(1)由题意知OA=BC=5,AB=OC=2,ZB=ZOC申90°
BC//OA.
•/OPLAP,
•••/OPCFZAPB=ZAPB^ZPAB=90°
•••/OPC=ZPAB.
•••△OPSAPAB.
*CP_OCsnx_2
'
^AB^PB即厂匚?
解得x1=4,x2=1(不合题意,舍去).
.•.当x=4时,OPLAP.
(2)TBC//OACPO=ZAOP.
•••/AOP=ZCOI\/I./COW/CPO.
•••/OCI^ZPCO•△OCMhAPCO.
”CNLCO
rC^~CP
•y=x—4/x(2<
x<
5)
⑶存在x符合题意•过点E作ED丄OA于点D,交MP于点F,贝UDF=AB=2.
•/△OCMffAABP面积之和等于△EMP的面积,
•••§
△EOA=S矩形OABC=2X5=1/2•5ED.
ED=4,EF=2.
•/PM//OA•△EMP^EOA.
…EDOA即43、
解得y=5/2.
二由
(2)y=L*'
得兀一厶壬.
xx2
解得耳尸害,血二近画不合题意舍去〕.
44
二在点P的运动过程中‘存在%=-—-‘使△OCX1与△ABF面积之乐皓于AEAIP的面积.
4
6.如图1,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与坐标原点O重合,且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCD沿O
B方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD勺边AB经
过点B向点C运动,当点P到达点C时,矩形ABCD和点P同时停止运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)当t=5时,请直接写出点D,点P的坐标;
(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时,求出△PBD的面积S关于t的函数关系式,并写出相应t的取值范围;
(3)点P在线段AB或线段BC上运动时,作
PE±
x轴,垂足为点巳当厶BCD相似时,求出相应的t值.
(1)D(-4,3),P(-12,8).
⑵当点P在边AB上时,BP=6-t.
•S=0.5BP•AD=0.5(6-t)•8=-4t+24.
当点P在边BC上时,BP=t-6.
•••S=0.5BP•AB=0.5(t—6)•6=3t—18.
AS=
-41+24(0^fS6>
,
册巩予扣当点P在边AB上时*汁孕产二=女?
解得t=6
^4-S
5
当等浄寸’十|「解得WgtS~L■B
时点P不在边上‘不合题意当点?
在边BC上时宀一冷+新分6)■
4+6
,——-、解得E一若匹
17S°
E
T(5WtW14‘寸,点P不在边BC±
,不合题意.二当1=(5时■△卩己^与厶BCD相佩.
类型3类比探究题
7.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F.
PC=PE;
⑵求/CPE的度数;
⑶如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD其他条件不变,当/ABC=120°
时,连接CE试探究线段AP与线段CE
的数量关系,并说明理由.
在正方形ABCD中AB=BC,/ABP=ZCBP=45在厶ABP和厶CBP中,1.AB=BC;
2.PB=PB;
3./ABP=ZCBP
•△ABP^ACBP(SAS).•PA=PC.
又•••PA=PE二PC=PE.
(2)由
(1)知,△ABP^ACBP
•••/BAP=ZBCP.aZDAP=ZDCP.
•/PA=PE,:
/DAP=ZE.
•••/DCP=/E.
•••/CFP=/EFD(对顶角相等),
•180°
—/PFOZPCF=180°
-/DFE-/E,
即/CPF=/EDF=90°
(3)在菱形ABCD中,AB=BC,/ABP=/CBP=60°
在厶ABP和厶CBP中,1.AB=BC;
3./ABP=/CBP
•△ABP^ACBP(SAS).
•PA=PC,/BAP=/BCP.
PC=PE.:
/DAP=/DCP.
/DAP=/AEP.
•/DCP=/AEP.
•••180°
—/PFC-/PCF=180°
—/DFE-/AEP
即/CPF=/EDF=180°
—/ADC=180°
—120°
=60°
•△EPC是等边三角形.•••PC=CE.
•AP=CE.
8.已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG勺对角线,点E在厶ABC内,/CA冉/CBE=90
(1)如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时,连接BF.
①求证:
△CAE^ACBF;
②若BE=1,AE=2,求CE的长;
①•••四边形ABCD和EFCG匀为正方形,
•••/ACB=45°
/ECF=45°
•△CAE^ACBF.
②•••△CAE^ACBF,CAE=/CBF,AE/BF=根号2.
•BF=根号2.
又/CAE^ZCBE=90°
•••/CBF^ZCBE=90°
即ZEBF=90°
\CE:
=2EF-=2tBE:
+37^—6.
解得CE=根号6.
⑵连接BF,
•/AB/BC=EF/FC=k,ZCFE=ZCBA
•△CFE^ACBA.
•ZECF=ZACBCE/CF=AC/BC.
•••/ACE^ZBCF.•••△AC0ABCF.a/CAB/CBF.
•••/CA冉ZCBB90°
•/CBF^ZCBB90°
即ZERF=9L,.'
.BC:
AB:
AC=1:
k:
冷十j,
CF:
EF:
E81:
停TL二乎=鉉=停TL
~y-.B?
,bF=^^.\CF=^±
_1eF1=^±
-1(BE2+BF^.0+10k;
17
P+Mv).解得k=4^.(3](P-ii=(2+^)m<
k*4"
14
TZABC=90°
「.ZABD=90°
—ZDBC.
•/DE是直径,
•ZDBE=90°
•ZE=90°
—ZBDE.
•/BC=CD,•••/DBC=ZBDE.
•ZABD=ZE.
vZBAD=ZDAB•△ABD^AAEB.
⑵TAB:
BC=4:
3,
二设AB二牡,BC=3k./,AC-^AB:
+BC=-5k//BC-CD=3k,
.\AD-AC-CD=2k.'
?
AABD^AAEB,
/.^=^=~/.AB;
=ADAE./.(4k^=2kAE..\AE=SL
AEABBE
在松DBE中,砸二警瞥診》
(3泡点F作FM丄AE于点M
由(2渕,AB=4k,BC=3k,AD=2k,AC=5k,刚AE=8k‘DE=6k.?
AF平分ZBAC,
SzjtEEEFAE
■;
眶经'
聪」,.仏E=^伽E=适二归座
EFSk2255DE5
二BE二业区二EF=^BE=^k“)f证=逻=逅
535EF5
丁㈱rE=g、二'
怔二2\IF=¥
kJ.从仁AE-'
IE二
10.如图,在Rt△ABC中,/ABC=90°
AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F.OO是△BEF的外接圆,/EBF的平分线交EF于点G,交OO于点H,连接BD,FH.
(1)试判断BD与O0的位置关系,并说明理由;
⑵当AB=BE=1时,求OO的面积;
⑶在⑵的条件下,求HG・HB的值.
⑴直线BD与OO
相切.理由:
连接OB.
•/BD是Rt△ABC斜边上的中线,•••DB=DC.
•••/DBC=ZC.
•/OB=OE
:
丄OBIOEB.
又•••/OEB=ZCED•••/OBE=ZCED.
•/DF丄AC,CDE=90°
•••/C+ZCED=90°
•••/DBC+ZOBE=90°
•BD与OO相切.
⑵连接AE.
在Rt△ABE中,AB=BE=1,•AE=根号2.
•/DF垂直平分AC,•CE=AE=根号2.•BC=1+根号2.
•/ZC+ZCAB=90°
,ZDFA+ZCAB=90°
,「・ZACB=ZDFA.又ZCBA=ZFBE=90°
A
B=BE,「.ACAB^AFEB.
.\BF-BC=1+P+(1+^)—4+2^.
(3)/AB=BEZABE=90°
•ZAEB=45°
•/EA=EC,•••/C=22.5°
•ZH=ZBEG=ZCED=90°
-22.5°
=67.5
•/BH平分ZCBF,
•ZEBG=ZHBF=45°
•ZBGE=ZBFH=67.5°
ABG=BE=1BH=BF=l+#2.
二HB-HG=a/2X(1+^)=2+a/5.
11.如图,在△ACE中,CA=CE/CAE=30°
OO经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.
(1)试说明CE是OO的切线;
⑵若厶ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示OO的直径AB
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点
⑴证明:
连接OC.
•/CA=CE,/CAE=30°
•••/E=ZCAE=30。
,/COE=2/A=60°
•••/OCE=90°
•CE是OO的切线.
t驸乍OF平分ZAOC'
交00于点「连接AF,CF、DP
则ZAOT=ZC0F=^ZA0C^ix(18a*-60Q)=60*.
22
■/OA=OF=OC,.\AAOF?
ACOFS等边三角形.
「・AF=mO=OC=FCI*四边形AOCF是菱形*
二根抿对称悝可猜DF=DO过岂D作ELLOC于点M“
VOA=OC•;
.ZOCA=ZOAC=30°
.\DM=DCj^ZDCM=DCj^30*=|d€:
.^D+OD=DM+FD
根据两点之廉疼殳最短可得:
当P・D“三点共綁扌DM+FD(即知40D蜃小址閃FM=OFj^ZFOM=^OF=6•则0F=4j5AB=2OF=s£
「苗|CD+OD的最小值対S时•00的直径AB的长为曲.
EP=
12.如图,已知AB是OO的直径,BP是OO的弦,弦CD±
AB于点F,交BP于点G,E在CD的反向延长线上,
EG
直线EP为OO的切线;
⑵点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF•BO试证明BdPG
⑶在满足⑵的条件下,已知OO的半径为3,sinB=根号3/3.求弦CD的长.
连接OP.
•/EP=EG
•••/EGP=ZEGP•又•••/EGP=ZBGF
•••/EPG^ZBGF.tOP=OB
•••/OPB=ZOBP.vCDLAB,:
/BGF^ZOBP=90°
•••/EPG^ZOP=90°
即/EPO=90°
.•直线EP为OO的切线.
⑵证明:
连接OGAP.•/BG2=BF•BQ•BG/BC=BF/BG
又•••/GB1OBGBF3ABGO.
•••/BGF=ZBOG/BGO=ZBFG=90°
•••/APB=ZOGB=90°
「.OGIAP.又;
AO=BQ•BG=PG.
(3旌接AC、BC.
\£
汨=鱼,二^=d.T0B=「3,「・OG=$
3OB3
由
(2){§
ZEPG+ZOPB=90ZB4-ZBGF=ZOGF+ZBC*G=90°
、
R'
;
ZBGF=ZBOG/-ZB^ZOGE
J.s;
>
ZOGF=y=^-J.OF=l./.BF=BO-OF=3-1=2•FA=OF+OA=1+3=4.
在中,CF2=BFFA>
.\CF=-^FFA=^X4=2-^.;
CD=2CF=4-^.
13.如图,在△AOB中,/AOB为直角,OA=6,OB=8,半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t秒(0vt<
5)以P为圆心,PA长为半径的OP与AB,OA的交
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