电动力学知识总结Word文档格式.docx
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或
∂ρ∇⋅J+=0(1.2.2)∂t
这就是电荷守恒定律的数学表达式。
2、毕奥-萨伐尔定律
r处的电流元Idl在r处产生的磁感强度为
μ0Idl⨯r-r(1.2.3)dB=3'
4πr-r()
参见图1-1-2。
由此得沿闭合
曲线L流动的电流I所产生的磁感
强度为
μB(r)=0
4π'
Idl⨯r-r(1.2.4)Lr'
3-r()
如果电流是体分布,则电流元
为JrdV'
,这时()
μ0Jr⨯r-r'
(1.2.5)dB(r)=dV3'
4πr-r
μ0Jr'
⨯r-r'
(1.2.6)B(r)=dV3⎰V'
4πr-r()()()()
3、磁场的环量和旋度
(1)安培环路定理
μB磁感强度沿闭合曲线L的环量等于通过L所围的曲面S的电流代数和的0
倍;
即
B⋅dl=μ0⎰J⋅dS(1.2.7)LS
(2)磁场的旋度
由安培环路定理和斯托克斯公式B⋅dl=⎰S∇⨯BL⋅dS
可得磁场的旋度为
∇⨯B=μ
0J
这是安培环路定理的微分形式。
4、磁场的散度
磁场的散度为∇⋅B=01.2.8)1.2.9)((
1.3麦克斯韦方程组
1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广
按照法拉第电磁感应定律,变化的磁场在一固定导体回路L中产生的感应电动势为
dΦd(1.3.1)=-⎰B⋅dSSdtdt依定义,感应电动势ε是电场强度E感沿导体回路L的线积分,因此(1.3.1)ε=-
式可写做
dE⋅dl=-B⋅dS(1.3.2)Li⎰Sdt其中Ei是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。
麦克斯韦的推广:
当导体回路不存在时,变化的磁场在空间仍然产生感应电场E感,并且满足(1.3.2)式。
应用斯托克斯公式,可将(1.3.2)式化为微分形式
∂B(1.3.3)∇⨯Ei=-∂t
在一般情况下,既有静电场ES,又有感应电场Ei,则总电场便为
E=ES+Ei(1.3.4)
又因为∇⨯ES=0,故得∂B∇⨯E=-(1.3.5)∂t
这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。
2、麦克斯韦对安培环路定理的推广
稳恒电流的安培环路定理为∇⨯B=μ0J,由此得出
1∇⋅J=∇⋅(∇⨯B)=0(1.3.6)μ0
这与电荷守恒定律
∂ρ∇⋅J=-≠0(1.3.7)∂t
相矛盾。
在一般情况下,安培环路定理的普遍形式为
∇⨯B=μ0(J+JD)(1.3.8)
其中∂DJD=(1.3.9)∂t
叫做位移电流密度。
即⎛∂D⎫∇⨯B=μ0J+∂t⎪⎪(1.3.10)⎝⎭
或B⋅dl=μ0⎰L⎛∂D⎫⎪J+⎪⋅dS(1.3.11)S∂t⎝⎭
3、麦克斯韦方程组
我们把电磁学中最基本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相互协调的方程组,这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。
它与电荷守恒定律不矛盾。
⎧∂B∇⨯E=-⎪∂t⎪∂E⎪⎪∇⨯B=μ0J+μ0ε0∂t(1.3.12)⎨⎪ρ⎪∇⋅E=
⎪ε0
⎪∇⋅B=0⎩
这组方程称为麦克斯韦方程组。
4、洛伦兹力公式
带电荷q的粒子以速度v在电磁场中运动时,它所受的力为F=q(E+v⨯B)
作用在单位体积的电荷上的力(力密度)为
f=ρ(E+v⨯B)=ρE+J⨯B
1.4介质的电磁性质
1、介质的极化
(1)极化强度P
在外电场的作用下,介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则的排列,这叫做介质的极化。
极化强度P是描述介质极化状态的量,其定义是单位体积内的电偶极矩,即P≡∑pii
∆V(1.4.1)
式中∆V为包含有大量分子的物理小体积,pi为第i个分子的电偶极矩。
如果每个分子的平均电偶极矩为p,则
P=np(1.4.2)
式中n为分子数密度。
(2)极化电荷与极化强度的关系
极化电荷体密度ρP与极化强度P的关系为
P⋅dS=-⎰ρPdV(1.4.3)SV
ρP=-∇⋅P(1.4.4)
极化电荷面密度σP与P的关系为
σP=n⋅(P1-P2)(1.4.5)
式中n为交界面法线方向的单位矢量,从介质1指向介质2。
如果介质2为真空,则
σP=n⋅P(1.4.6)
均匀介质内的极化电荷
⎛ε⎫ρP=-∇⋅P=-∇⋅(D-ε0E)=-1-0⎪ρf(1.4.7)ε⎭⎝
即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度ρf的⎛ε-1-0
ε⎝⎫⎪倍。
⎭
因此,若该点处无自由电荷分布,则ρP=0。
(3)有介质时的电场
E在一般情况下,介质中的电场E是自由电荷的电场f,极化电荷的电场EP
以及变化磁场产生的感应电场Ei的和,即
E=Ef+EP+Ei(1.4.8)
在介质中,电场的旋度和散度分别为
∂B(1.4.9)∇⨯E=∇⨯Ei=-∂t
和
1111∇⋅E=ρf+ρP=ρf-∇⋅P(1.4.10)ε0ε0ε0ε0
DE(4)电位移及其与电场强度的关系
电位移矢量D的定义为
D≡ε0E+P(1.4.11)
在各向同性的线性介质中,P与E成线性关系
P=χeε0E(1.4.12)χe叫做介质的电极化率。
代入(1.4.11)式得
()D=ε01+χeE(1.4.13)
定义相对介电常数εr和介电常数ε分别为
εr≡1+χe,ε≡εrε0(1.4.14)这时
D=εE(1.4.15)
2、介质的磁化
(1)磁化强度M
在外磁场的作用下,介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列,这叫
做介质的磁化。
磁化强度M是描述介质磁化状态的量,其定义是单位体积内的
磁矩,即
M≡m∑i
∆V(1.4.16)
式中∆V为含有大量分子的物理小体积,mi为第i个分子的磁矩。
如果每个分子的平均磁矩为m,则
(1.4.17)M=nm
(2)磁化电流与磁化强度的关系
磁化电流体密度JM与磁化强度M的关系为
上式可写作
LM⋅dl=⎰JM⋅dS(1.4.18)SLM⋅dl=IM(1.4.19)
式中IM是积分环路L所套住的磁化电流的代数
和,如图1-1-3。
把斯托克斯公式用于(1.4.18)式,便得
JM=
∇⨯M
(1.4.20)
磁化电流面密度αM与磁化强度M的关系:
面电流是指在曲面上流动的电
流,面电流密度α的大小等于通过与α垂直的单位长度横截线的电流。
设介质1
的磁化强度为M1,介质2的磁化强度为M2,在两介质的交界面上,磁化面电流
密度为αM,交界面的单位法向矢量为n,从介质1指向介质2,则
(1.4.21)αM=n⨯(M2-M1)
若介质2为真空,则
αM=n⨯(M2-M1)(1.4.21)
(3)有介质时的磁场
自由电流Jf、磁化电流JM和位移电流JD都产生磁场,这些磁场的叠加就
是介质中的磁场B。
因此,在一般情况下,磁场的旋度和散度分别为
∂D⎫⎛∇⨯B=μ0(Jf+JM+JD)=μ0(1.4.23)Jf+∇⨯M+∂t⎪⎪⎝⎭
∇⋅B=0(1.4.24)
(4)磁场强度H及其与磁感强度B的关系
磁场H定义为
BH≡-M(1.4.25)μ0
对于各向同性的非铁磁物质,磁化强度M和H之间有简单的线性关系
M=χMH(1.4.26)
χM叫做介质的磁化率。
把(1.4.26)式代入(1.4.25)式可得
()B=μ0HχMH(1.4.27)
定义相对磁导率μr和磁导率μ分别为
这时μr≡1+χM,μ≡μrμ0(1.4.28)
(1.4.29)B=μH
对于所有物质来说,相对介电常数εr都大于1,但相对磁导率μr则可以大于1(顺磁质),也可以小于1(抗磁质)。
3、介质中的麦克斯韦方程组
电磁场遵守的普遍规律为
⎧⎪∇⨯E=-∂B
⎪∂t
⎪⎨∇⨯H
=J+∂D
⎪∂t⎪⎪∇⋅D
⎩∇⋅B=ρ
=0
物质方程:
在各向同性的线性介质中
D=εE,B=μH(1.4.29)(1.4.29)
1.5电磁场边值关系
由麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面两侧场量的关系为
n⨯(E2-E1)=0n⨯(H2-H1)=αn⋅(D2-D1)=σn⋅(B2-B1)=0(1.5.1)(1.5.2)(1.5.3)(1.5.4)
式中n是交接面法线上的单位矢量,从介质1指向介质2;
σ和α分别是交界面上的自由电荷和自由面电流密度。
在用交界面两侧的切向分量(下标t),和法向分量(下标n)表示时,边值关系可写做
Et1=Et2
Ht2-Ht1=α
Dn2-Dn1=σ
Bn1=Bn2(1.5.5)(1.5.6)(1.5.7)(1.5.8)
1.6电磁场的能量和能流
1.电磁系统的能量守恒定律
考虑图1-1-4所示的空间区域V,其边界面
为Σ。
设V内有电荷分布ρ和电流分布J。
(1)电磁场作用在单位体积电荷上的力为
f=ρ(E+v⨯B
),这力的功率为
f⋅v=ρ(E+v⨯B)⋅v=ρE⋅v=J⋅E
式中J⋅E
代表介质单位体积消耗的焦耳热。
(2)电磁场对体积V内的电荷系统做功的功率为
⎰
f⋅vdV=⎰V
JV
⋅E
dV(3)体积V内电磁场能量的增加率为
ddt⎰VωdV=d1dt⎰V2
(E⋅D+B⋅H
)dV(4)单位时间内从边界面Σ流出体积V的电磁能量为
∑
S⋅d∑=⎰V
∇⋅S
dV因为能量守恒,对于体积V内的电磁场能量有
⎰VJ⋅EdV+⎰d
V∇⋅SdV=-dt
⎰VωdV或
J⋅E+∇⋅S=-∂ω
∂t
这便是电磁场的能量守恒定律。
2.电磁场的能量密度ω
单位体积内的电磁场能量为
(1.6.1)(1.6.2)(1.6.3)(
1.6.4)(1.6.5)(1.6.6)
1ω=(E⋅D+H⋅B)(1.6.7)2
3.电磁场的能量密度S
单位时间流过垂直于能流方向的单位面积的电磁场能量为
S=E⨯H(1.6.7)
S通常叫做坡印廷矢量。
第二章静电场
2.1静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
(1)静电场的基本方程
∇⋅D=ρ(2.1.1)或
SD⋅dS=Q(2.1.2)∇⨯E=0(2.1.3)
E⋅dl=0(2.1.4)L或
其中电荷Q是封闭曲面S包住的自由电荷的代数和,ρ是自由电荷密度。
(2)静电场的电势
在静电场中,根据(2.1.3)式知道有势函数ϕ存在,使得
E=-∇ϕ(2.1.5)
如果在无穷远处的电场强度为零,一般便选r0=∞为电势参考点,这时由上
式得空间一点P(r)的电势为
(2.1.6)ϕ(r)=⎰E⋅drr∞
①点电荷的电势
由库仑定律可得r'
处(源点)的点电荷Q在r处(场点)产生的电势为
ϕ(r)=
②电势叠加原理'
(2.1.7)4πεr-r1Q
分立的点电荷系所产生的电势为
ϕ(r)=1
4πε∑r-riQi'
(2.1.8)
连续分布的电荷所产生的电势为
1ϕ(r)=4πε⎰ρ(r'
)dV
V(2.1.9)r-r'
2、静电势所满足的微分方程和边值关系
(1)电势的微分方程
电势ϕ满足方程
∇⋅(ε∇ϕ)=-ρ(2.1.10)
在均匀介质内,(2.1.10)式可化为
∇2ϕ=-ρ(2.1.11)ε
这个方程叫泊松方程。
式中ρ是自由电荷密度。
如果ρ=0则(2.1.11)式便化为拉普拉斯方程
∇2ϕ=0(2.1.12)
(2)电势的边值关系
在介电常数不同的两种介质交界面上,电势ϕ满足下列边值关系
ϕ1=ϕ2(2.1.13)ε1∂ϕ1∂ϕ2-ε2=σ(2.1.14)∂n∂n
其中n是由介质1指向介质2的单位法向矢量,σ是交界面上的自由电荷面密度。
如果介质1是导体,则以上两式分别化为
ϕ1=常量(2.1.15)和ε2∂ϕ2(2.1.16)=-σ∂n
3、静电场能量
电荷分布在区域V内,密度为ρ(r),所具有的静电能量为
W=1()ϕ(r)dV(2.1.17)ρr2⎰V
这能量分布在电场中,因此
11W=⎰E⋅DdV=⎰εE2dV(2.1.17)22
式中E是上述电荷所产生的电场,积分遍及E不为零的全部空间。
2.2唯一性定理
静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。
唯一性问题是讨论在什么条件下,解是唯一的。
这点很重要,因为求解的方法不同,求出的解可能有不同的表达形式,有时要证明它们是同一解颇非易事;
但如果这些解都满足相同的边界条件,则它们必定相同。
其次,对于有些问题,可以根据经验提出尝试解。
如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件,它就是该问题的唯一正确解。
1.问题说明
假定空间V可以分为若干个小区域Vi,每一小区域Vi内都是充满均匀的,介
电常数为εi的各向同性介质。
设V内的自由电荷分布ρ(r)已知,则在Vi内,电势
满足泊松方程
∇2ϕi=-1
εiρ(2.2.1)
在两区域Vi和Vj的交界面上,电势满足边值关系
ϕi=ϕj(2.2.1)
⎛∂ϕj⎛∂ϕi⎫εi⎪=εj∂n⎝∂n⎭⎝⎫⎪⎪(2.2.1)⎭
2.唯一性定理
设区域V内自由电荷的分布ρ(r)已知,在V的边界S上给定
(i)
或电势ϕS,
⎛∂ϕ⎫(ii)电势的法向导数,⎪(即En)∂n⎝⎭S
则V内的电场便唯一确定。
3.有导体存在时的唯一性定理
设区域V内有一些导体,给定导体之外的电荷分布ρ(r),并给定
(i)每个导体上的电势ϕi,或
(ii)每个导体上的总电荷Qi,
⎛∂ϕ⎫以及V的边界S上的ϕS或⎪值,则V内的电场便唯一地确定。
⎝∂n⎭S
2.3拉普拉斯方程分离变量法
1、笛卡儿坐标系
拉普拉斯方程(简称拉氏方程)的形式为
∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ+2+2=0(2.3.1)2∂x∂y∂z
设电势ϕ(x,y,z)可分离变数,即ϕ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z),则拉氏方程可分为以下三个方程
1d2X(2.3.2)=-k22Xdx
1d2Y=-l2(2.3.3)2Ydy
1d2Z=k2+l2(2.3.4)2Zdz
由此得方程的通解为
ϕ(x,y,z)=∑(A1kcoskx+A2ksinkx)(B1lcoslx+B2lsinlx)
k,l
(C1k,lek2+l2z+C2k,le-k2+l2z)(2.3.5)式中各常数A1k,A2k,B1l,B2l,C1k,l,C2k,l等由问题的具体条件决定。
2、柱坐标系
拉氏方程为
1∂⎛∂ϕ⎫1∂2ϕ∂2ϕ+2=0(2.3.6)r⎪+2r∂r⎝∂r⎭r∂φ∂z
设电势ϕ(r,φ,z)可分离变数,即ϕ(r,φ,z)=R(r)Φ(φ)Z(z),代入上式求得Z(z)的解为
Z(z)=C1coshbz+C2sinhbz(2.3.7)
Φ(φ)的解为
Φ(φ)=C3cosaφ+C4sinaφ(2.3.8)
在0≤φ≤2π内,符合物理实际的解必须是单值的,因此a必须是整数。
R(r)的解为
R(r)=C5Ja(br)+C6Na(br)(2.3.9)
式中
m⎛br⎫()-1⎪∞⎝2⎭Ja(br)=∑(2.3.10)m=0m!
Γa+m+1a+2m
Na(br)=(cosaπ)Ja(br)-J-a(br)
sinaπ(2.3.11)
其中级数J(br)是a阶第一类贝塞耳函数,如果a=n(整数),则在幂级数中的伽玛函数Γ(a+m+1)可以用(n+m)!
来代替。
Na(br)是a阶第二类贝塞耳函数。
函数Na(br)在r=0附近的奇异性与lnr相似。
因此,只要已知r=0处的电势是有限的,在解中就不包含Na(br),即系数C6为零。
3、球坐标系
球坐标系中拉氏方程为
1∂⎛2∂ϕ⎫1∂⎛∂ϕ⎫1∂2ϕ=0(2.3.12)r⎪+2sinθ⎪+2222∂θ⎭rsinθ∂φr∂r⎝∂r⎭rsinθ∂θ⎝
设电势ϕ(r,θ,φ)可分离变数,即ϕ(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ),且在θ=0和π时ϕ(r,θ,φ)为有限值,则拉氏方程(2.3.12)的通解为
ϕ(r,θ,φ)=blm⎫m⎛lar+⎪Pl(cosθ)cosmφ∑lml+1r⎭l,m=0⎝(2.3.13)∞d⎫m⎛+∑Clmrl+llm⎪Pl(cosθ)sinmφ+1r⎭l,m⎝∞
式中Plm(cosθ)是连带勒让德多项式。
如果问题具有轴对称性(m=0),通解为
ϕ(r,θ)=∑alrl+
l=0∞⎛⎝bl⎫⎪Pl(cosθ)(2.3.14)l+1r⎭
式中Pl(cosθ)是勒让德多项式。
通解中的系数alm,blm,clm,dlm或al、bl等由问题的具体条件确定。
2.4镜像法
1、平面边界
(1)无限大导体平面外的点电荷
点电荷Q到电势为零的无限大导体平面的距离为a,如图1-2-1,电像q'
=-q在导体平面的另一侧,与导体平面的距离为a。
则导体外的电势为
q⎡1⎢ϕ(x,y,z)=-4πε0⎢x2+y2+z-a2⎣1x2+y2+z+a2⎤⎥,(z≥0)(2.4.1)⎥⎦导体面上的感应电荷面密度为
σ=-ε0∂ϕ|z=0∂n
aq=-2π322(x2+y+a2)
(2.4.2)
导体面上的总感应电荷为
⎰σdS=-q(2.4.3)
导体上感应电荷吸引点电荷q的力为
F=-q2
16πε0a2n(2.4.4)
感应电荷与点电荷的相互作用能为
q2
U=-(2.4.5)4πε04a1
(2)劈形导体平面间的点电荷
如图1-2-2,两无限大导体平板电势为零,夹角为θ(
θ≤π)。
其间有一点电
荷q,点电荷q的幅角为θ0,与θ角的顶点O的距离为a。
q有多重电像,当θ=π
n(n为整数)时,电像的个数为(2n-1)个,
2π-θ
θ=2n-1(2.4.6)
所有电像均位于以O为圆心,a为半径的圆周上。
诸电像的位臵为
q:
-q:
4π2π2(n-1)π+θ0,……,+θ0,+θ0,共(n-1)个。
nnn4π2π-θ0,……,2π-θ0,共n个。
-θ0,nn图1-2-2是θ=
像。
π4时电像的分布图。
共有七个电
(3)介质平面外的点电荷
两无穷大的均匀介质的介电常数分别为ε1和ε2交界面为平面。
在ε1中有一自由点电荷q,距交界面为a,如图1-2-3所示。
求z≥0区域(ε1)的解时,可在z<
0区域内距界面为a2处设臵一电像
电荷q2。
则所求电势ϕ1为:
ϕ1(x,y,z)=
+1
4πε114πε1'
q2qx2+y2+z-a22x2+y2+z+a(2.4.7)
求z≤0区域(ε2)的解时,可在z>
0区域内距界面为a1处设臵电像电荷q
1'
,
则所求电势ϕ2为
ϕ2(x,y,z)=
14πε2
2
q1'
x+y+z-a12
(2.4.8)
在z=0的交界面上任意一点处,电势应满足边值关系
ϕ1=ϕ2(2.4.9)
ε1
∂ϕ1∂ϕ2
(2.4.10)=ε2
∂z∂z
设a1=a2=a,则在原点处(x=y=z=0),应用上式可得
1
ε(q+q2
)=111
εq2
q-q'
2=q1解得
q'
1-ε2
2=
εεεq1+2
2ε2
1=
εq1+ε2
因此
ϕq2q1=
14πε1
x2
+y2
++
1ε1-εz-a2
4πε1ε1+ε2
+z+a2
ϕ2=
q
2πεz≤0)1+ε2x2
+z-a2
(点电荷q所受的库仑力为
F=ε1-ε2q2
16πε+ε1ε12a2
2、球面边界
(1)导体球外的点电荷
(2.4.11)
(2.4.12)
(2.4.13)
(2.4.14)
(z≥0)
2.4.15)
2.4.16)
(2.4.17)
((
有一电势为零,半径为R的
导体球,球外距球心O为l处的
A点有一点电荷q。
如图1-2-4,在球内A'
点设
臵一电像q'
,距球心为l'
。
由边
界条件得
R2
(2.4.18)l=l'
=-Rq(2.4.19)l
于是球外P(r)处的电势为
⎫1⎛q-qR⎪(r>
R)(2.4.20)'
⎪4πε0r⎝-llr-l⎭
这里选取球心为原点,l和l分别为电荷q和q'
的位臵矢量。
ϕ(r)=
球上的电荷密度面为
∂ϕql2-R2
σ(θ)=-ε0|r=R=-∂r4πRR2+l2-2Rlcosθ(2.4.21)电荷q与导体球的相互作用能为
q2RU=-(2.4.22)4πε02l2-R21电荷q所受的库仑力为
∂U1q2RlF=-=-∂l4πε0l2-R22(2.4.23)
(2)导体球形空腔内的点电荷
导体内有一球形空腔,腔内距球心O为l'
处有一点电荷q'
,导体的电势为零。
由对称性可知,这时图1-2-4中,位于A点的电荷q便是q
的电像,并且
l='
(2.4.24)l
q=-R'
(2.4.25)q'
l这时空腔内的电势为
ϕ(r)='
1⎛q-qR⎫⎪(r<
R)(2.4.26)⎪4πε0⎝r-l'
l'
r-l⎭
2.5格林函数
点电荷的密度:
位于x'
处的
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- 电动力学 知识 总结