第十讲 导数题的解题技巧Word文档格式.docx
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(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.
思路启迪:
用求导来求得切线斜率.
解答过程:
(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,
设两实根为(),则,且.于是
,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.
(II)解法一:
由知在点处的切线的方程是
,即,
因为切线在点处空过的图象,
所以在两边附近的函数值异号,则
不是的极值点.
而,且
.
若,则和都是的极值点.
所以,即,又由,得,故.
解法二:
同解法一得
因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
设,则
由知是的一个极值点,则,
所以,又由,得,故.
例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.
C.D.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.
故选A.
例5.(2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()
A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:
设切线的方程为
又
解法2:
由解法1知切点坐标为由
例6.已知两抛物线,取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
先对求导数.
函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即 ①
曲线在点Q的切线方程是即
②
若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得
,消去得方程,
若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.
∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为.
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;
2.求函数的值域;
3.解决单调性问题;
4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
例8.(2007年全国一)设函数在及时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值.
(Ⅰ),
因为函数在及取得极值,则有,.
即
解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以 ,
解得 或,
因此的取值范围为.
例9.函数的值域是_____________.
求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
由得,,即函数的定义域为.
,
又,
当时,,
函数在上是增函数,而,的值域是.
例10.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.
(1)当时,判断函数是否有极值;
(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
(3)若对
(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.
(Ⅱ),令,得.
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:
x
0
+0-0+
↗极大值
↘极小值↗
因此,函数在处取得极小值,且.
要使,必有,可得.
由于,故.
②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:
极大值
极小值因此,函数处取得极小值,且
若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.
综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.
(III)解:
由(II)知,函数在区间与内都是增函数。
由题设,函数内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(II),参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有,即.
综上,解得或.
所以的取值范围是.
例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为,且
(1)当时,函数在上单调递减,
(2)当时,由解得
、随的变化情况如下表
—0+
极小值从上表可知
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
综上所述:
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
例12.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:
(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,
故在上递增,在上递减,
因此在处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
所以
由即得
例13.(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(Ⅱ)设,.若存在使得成立,求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f`(x)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,
由f`(3)=0,得-[32+(a-2)3+b-a]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则f`(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f`(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<
-4时,x2>
3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f`(x)<
0,f(x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f`(x)>
0,f(x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f`(x)<
0,f(x)为减函数.
当a>
-4时,x2<
在区间(-∞,―a―1)上,f`(x)<
在区间(―a―1,3)上,f`(x)>
在区间(3,+∞)上,f`(x)<
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>
0时,f(x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],
而f(0)=-(2a+3)e3<
0,f(4)=(2a+13)e-1>
0,f(3)=a+6,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须
(a2+)-(a+6)<
1且a>
0,解得0<
a<
.
故a的取值范围是(0,).
例14(2007年全国二)
已知函数
在处取得极大值,在处取得极小值,且.
(1)证明;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数的导数.
(Ⅰ)由函数在处取得极大值,在处取得极小值,知是的两个根.
当时,为增函数,,由,得.
(Ⅱ)在题设下,等价于 即.
化简得.
此不等式组表示的区域为平面上三条直线:
所围成的的内部,其三个顶点分别为:
在这三点的值依次为.
所以的取值范围为.
小结:
本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合.
考点4导数的实际应用
建立函数模型,利用
例15.(2007年重庆文)
用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
故长方体的体积为
从而
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′(x)>0;
当1<x<时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而最大体积V=V′(x)=9×
12-6×
13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.
答:
当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3。
例16.(2006年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米.
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
[解答过程](I)当时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗没(升).
当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(II)当速度为千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为升,依题意得
令得
当时,是减函数;
当时,是增函数.
当时,取到极小值
因为在上只有一个极值,所以它是最小值.
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1.y=esinxcos(sinx),则y′(0)等于()
A.0B.1C.-1D.2
2.经过原点且与曲线y=相切的方程是()
A.x+y=0或+y=0B.x-y=0或+y=0
C.x+y=0或-y=0D.x-y=0或-y=0
3.设f(x)可导,且f′(0)=0,又=-1,则f(0)()
A.可能不是f(x)的极值B.一定是f(x)的极值
C.一定是f(x)的极小值D.等于0
4.设函数fn(x)=n2x2(1-x)n(n为正整数),则fn(x)在[0,1]上的最大值为()
A.0B.1C.D.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处()
A、有极大值B、无极值C、有极小值D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2,f’(-1)=4,则a=()
A、B、C、D、
7.过抛物线y=x2上的点M()的切线的倾斜角是()
A、300B、450C、600D、900
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()
A、(0,1)B、(-∞,1)C、(0,+∞)D、(0,)
9.函数y=x3-3x+3在[]上的最小值是()
A、B、1C、D、5
10、若f(x)=x3+ax2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值,则()
A、c≠0B、当a>
0时,f(0)为极大值
C、b=0D、当a<
0时,f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()
A、(2,3)B、(3,+∞)C、(2,+∞)D、(-∞,3)
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中()
A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素D、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′(x0)=2,=_________.
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线C:
y=x3-3x2+2x,直线l:
y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+),在[0,1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
(1)y=(x2-2x+3)e2x;
(2)y=.
21.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4m时,梯子上端下滑的速度.
22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn-1,(x≠0,n∈N*).
23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.
25.已知a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证:
ab>ba.
26.设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)=.
(1)求f(α)?
f(β)的值;
(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;
(3)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?
【参考答案】
一、1.解析:
y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1.
答案:
B
2.解析:
设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面,y′=()′=,故
y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0
(1)=-3,y0
(2)=-15,对应有y0
(1)=3,y0
(2)=,因此得两个切点A(-3,3)或B(-15,),从而得y′(A)==-1及y′(B)=,由于切线过原点,故得切线:
lA:
y=-x或lB:
y=-.
A
3.解析:
由=-1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时<0,于是当x∈(a,0)时f′(0)>0,当x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减.
4.解析:
∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1=n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx],令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值,最大值fn()=n2()2(1-)n=4?
()n+1.
D
5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C
二、13.解析:
根据导数的定义:
f′(x0)=(这时)
-1
14.解析:
设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0?
g′(0)=g(0)=1?
2?
…n=n!
n!
15.解析:
函数的定义域是x>或x<-2,f′(x)=.(3x2+5x-2)′=,
①若a>1,则当x>时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数,x<-2时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.
②若0<a<1,则当x>时,f′(x)<0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数,当x<-2时,
f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数.
(-∞,-2)
16.解析:
设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO=R+,解得
x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为
S=x?
h=
令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表如下:
h(0,R)
R
(,2R)S′+0-
S增函数最大值减函数
由此表可知,当x=R时,等腰三角形面积最大.
三、17.解:
由l过原点,知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3x02+2x0,
∴=x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
又k=,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0或x0=.
由x≠0,知x0=,
∴y0=()3-3()2+2?
=-.∴k==-.
∴l方程y=-x切点(,-).
18.,
令f’(x)=0得,x=0,x=1,x=,
在[0,1]上,f(0)=0,f
(1)=0,.
∴.
19.设双曲线上任一点P(x0,y0),
∴切线方程,
令y=0,则x=2x0
令x=0,则.
20.解:
(1)注意到y>0,两端取对数,得
lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,
(2)两端取对数,得
ln|y|=(ln|x|-ln|1-x|),
两边解x求导,得
21.解:
设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5-,当下端移开1.4m时,t0=,
又s′=-(25-9t2)?
(-9?
2t)=9t,
所以s′(t0)=9×
=0.875(m/s).
22.解:
(1)当x=1时,Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时,1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导,得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
=.
23.解:
f′(x)=3ax2+1.
若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.
若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,∵f′(x)=3a(x+)?
(x-),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a<0且单调减区间为(-∞,-)和(,+∞),
单调增区间为(-,).
24.解:
f′(x)=+2bx+1
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