高中数学幂函数复习课件Word文件下载.docx
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单调性
增
(—8,0)减,
(0,+8)增
(0,+8)减
定点
(0,0)(14)
(1,1)
[难点正本疑点清源]
对扇函数的理解
(1)幕函数(«
£
R),其中。
为常数,其本质特征是以幕的底兀为自变量,指数。
为常数,这是判断一个函数是否是幕函数的重要依据和唯一标准.
(2)在(0,1)上,幕函数中指数越大,函数图像越靠近兀轴
(简记为“指大图低”),在(1,+8)上,幕函数中指数越大,函数图象越远离兀轴.
(3)幕函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;
幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;
如果幕函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.
(4)幕函数的定义域的求法可分5种情况,即:
①。
为零;
②a为
正整数;
③。
为负整数;
④。
为正分数;
⑤。
为负分数.
(5)作帚函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性
等,只要作出幕函数在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性就可作出幕函数在定义域内完整的图象.
基础自测
1・下列函数中:
①y=*;
②y=3x—2;
@j=x4+x2;
④y=松是幕函数的个数为―2
2
解析①中J=X~3,④中y=x3符合幕函数的定义;
而②中y=3x—29③中y=x4+x2不符合摹函数的定义
2.幕函数丿=/(兀)的图象经过一2,-舟,则满足/(兀)
1'
丿
=27的x的值是3.
解析设幕函数尸代则-i=(-2f,
•\a=
=—3,即y=x~3,又x~3=27,/.x=|.
3.设
则使函数的定义域为
R且为奇函数的所有a值为1,3
4.如图所示曲线是幕函数j=xH在第一象限内的图象.已知兀分别取±
1,2四个值,则
相应曲线Cl、C2、C3、C4的〃依次为(B)
A.—1,1,2B.2,1,—1
解析幕函数在(0,1)的图象为“指大图低”,所
5.若幕函数几r)的图象经过点0费则其定义域为(C)
A.{xlx^R,x>
0}B.{xlx^R,x<
0}
C.{xlx^R,且xHO}D.R
解析设f(x)=xa.9:
图象过点[3,站/.^=3a,即3~2=3a,.\a=—2,
即/(x)=x_2=p,/.x2#:
0,即xHO,
其定义域为{xlxGR,且兀HO}.
题型分类深度剖析
题型一幕函数的概念
例1已知f(x)=(m2+2m)Xn加为何值时,/(兀)是
(1)正比例函数;
(2)反比例函数;
⑶幕函数・
念求解•
m2-^m—1=1加?
+2加工0
,解得m=l.
解⑴若/3)为正比例函数,
所以当加=1时,/3)为正比例函数.
(2)若/(兀)为反比例函数,贝II
所以当加=—1时,/(兀)为反比例函数・
⑶若/(兀)为幕函数,则m2-\-2m=l.
J.m=—1±
\/2,
所以当m=—l±
^2时,/(兀)为幕函数.
探究提高⑴正比例函数为y=kx仗HO);
⑵反比例函数为丿=:
(无HO);
(3)幕函数为y=xa.»
这类题目,要紧扣
定义.
变式训练1
已知函数f(x)={m—m—l)x~^n~3,加为何值时,/(x)⑴是幕函数;
⑵是幕函数,且是(0,+8)上的增函数;
(3)是正比例函数;
⑷是反比例函数;
(5)是二次函数.
解
(1)0/(x)是幕函数,故m2—nt—1=1,艮卩m2—m—2=0,
解得m=2或m=—l.
l=j
⑵若/(X)是幕函数且又是(0,+8)上的增函数,
{m2—m—1=1
一5加一3>
(3)右/(兀)是正比例函数,贝I)—5zn—3=1,
4解得加=_亍
34
此时/m2—m—1H0,故加=—
(4)若/(兀)是反比例函数,则一5加一3=—1,
22则m=—^9此时加?
一加一1工0,故m=—-9
(5)若/(兀)是二次函数,则—5加—3=2,
即/«
=—19此时加2—m—1H0,故加=—1.
综上所述,当m=2或加=—1时,/(无)是幕函数;
时时
4-52-5
--
/(兀)既是幕函数,又是(0,+8)上的增函数;
/(兀)是正比例函数;
/(兀)是反比例函数;
/(兀)是二次函数.
例2比较下列各组值的大小:
(1)_83禾口_(_)3;
Z_2_3
(2)4.15.3.85和(一19)飞;
(3)O.2°
5^no.4°
-3.
思维启迪观察符号指数的特点,利用性质插入中间值进行转化,从而得到结果.
解⑴一b『=—9-嘉由于幕函数j=x4在©
+8)
一.11因此一8丐v-9飞,即一
上是减函数,所以8>
9
1
(2)由4.15>
1,0<
3.85<
1,(-1.9)I<
⑶由于指数函数J=0.2^在R上是减函数,所以
0.2°
-5<
-3.又由于幕函数j=x03在(0,+8)上是递增函数,所以0.2°
3<
0.403,故有0.2°
0.4°
3.
探究提高有关暮值的大小比较,可结合幕值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
一般地,几种幕值的比较方法如下:
1幕的底数相同,指数不同型
可以利用指数函数的单调性进行比较.
2幕的底数不同,指数相同型
可以利用幕函数的单调性进行比较.
3幕的底数不同,指数不同型常运用媒介法,即找到一个中间值,通过比较两个幕值与中间值的大小,确定两个幕值大小.
变式训练2
已知壽函数y=x4~3m~m(/weZ)的图象与y
轴有公共点,且其图象关于丿轴对称,求加的值,并
作出其图象.
解依题意,其图象与y轴有公共点,则
4—3m—m2>
09即—4v0,解得一4<
m<
l.
又•.•/wGZ,:
.肌=—3,—2,—1,0・
当加=—3或加=0时,函数可化为y=x4,符合题意,其
图象如图①.
当m=—2或m=—l时,
函数可化为J=x6,
符合题
」、
O
1兀
图①
图②
意,其图象如图②.
题型三幕函数的综合应用
例3已知幕函数f(x)=xm一的图象关于y
m
轴对称,且在(0,+8)上是减函数,求满足(6Z+l)_y
<
(3-2a)~7的a的取值范围・
思维启迪由f(x)=xm—加-3(加WN+)的图象关于y轴对
称知m2-2m-3为偶数,又在(0,+~)±
是减函数,所
HI
以m2—2m—3<
09从而确定加值,再由函数/(x)=x3的
单调性求。
的值.
解•・•幕函数沧)=兀"
'
一加-3在(0,+8)上递减,
Am2—2m—3<
0,解得一1<
•:
加WN+,J.m=1,2.
又函数的图象关于丿轴对称,."
2—2/M—3是偶数,
而22—2X2—3=—3为奇数,X2—2X1—3=—4为偶数,
W/(x)=x3在(一8,0),(0,+8)上均为减函数,
A(€Z+Ip<
(3-2^p等价于"
+1>
3—加>
0或0>
a+l>
3—2a或a+lv0v3—2a.
探究提高本题集幕函数的概念、图象及单调性、奇偶性
于一体,综合性较强,解此题的关键是弄清幕函数的概念
及性质.解答此类问题可分为两大步:
第一步,利用单调
E=1
性和奇偶性(图象对称性)求出加的值或范围;
第二步,利
用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数a的取值范
变式训练3指出函数/(对二孑亦口的单调区间,并比
较/(一冗)与/[―明的大小.
x2+4x+51
解V/(X)=x2+4x+4=1+^+2?
=l+(x+2)-2,
其图象可由幕函数J=x-2的图象向左平移2个单位,再
^2!
0
I
向上平移1个单位得到,
该函数在(一2,+8)上是减函数,在(―OO,—2)上是增
函数,且其图象关于直线x=-2对称(如图所示).
XV—2—(―7r)=7t—2<
—2—(—2)=2—2,
思想与方法
(X2—fhx+1)°
的定义域为R,求实数m
的取值范围.
试题:
(12分)若函数/(x)=(mx2+4x+/w+2)4+
3
审题视角
(1)从幕函数的视角看,幕指数为一亲AQ的定义域为R,转化为mx2+4x+^+2>
0恒成立,且戏—mx+1^0.
(2)/wx2+4x+m+2>
0恒成立转化为y—加/+4兀+加+2开口向上,且与兀轴无交点.
规范解答
解设g(x)=mx2+4x+/w+2,①
h(x)=x2—mx+1,②
原题可转化为对一切MR有g(x)>
0且方(兀)工0恒成立.[4分]f/n>
0,
由①得L1=4?
-4加(加+2)vO.
Jm>
0Jm>
yw2+2m—4>
0[m<
—1—寸5,或加〉—1+诟,
•••加>
一1+书.[8分]
由②得J2=(-^)2-4<
0,即一2<
2.[10分]
综上可得书一l<
2.[12分]
批阅笔记⑴有关幕函数y=xa的定义域的确定,当a
为分数时,可转化为根式考虑,当«
=0时,底是非零
的,不可忽视•本题将原题转化为对一切x£
R有g(x)>
0且恒成立是解题的关键.⑵不等式恒成立问题,可利用数形结合思想,如g(x)>
0和仇(兀)工0在R上恒成立作进一步转化.(3)易错分析:
第一,不能将问题转化为加兀2+4兀+加+2>
0恒成立问题,也就是缺乏转化的意识;
第二,易忽略x2-mx+1^0的隐含条件,致使
范围扩大.
思想方法感悟提高
方法与技巧
1.幕函数y=xa(a^R)f其中rz为常数,其本质特征是
以幕的底兀为自变量,指数Q为常数,这是判断一
个函数是否是幕函数的重要依据和唯一标准.应当
注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幕函数,如j=x+l,j=x2-2x等都不是幕函数.
2.作幕函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调
性、奇偶性等,只要作出幕函数在第一象限内的图像,然后根据它的奇偶性就可作出幕函数在定义域内完整的图象.
失误与防范
1.幕函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出
现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;
幕函数的图象最多只能同时出现
在两个象限内;
如果幕函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
2.利用幕函数的图象和性质可处理比校大小、判断复合
函数的单调性及在实际问题中的应用等类型.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想方法.
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