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从直线外一点到直线的垂直距离最短。
二、角
角的定义:
从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
用“∠”符号表示。
也可以说成有一个顶点和两条边组成的图形,叫做角。
角可以看作由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
1.角的大小跟两条边张开的程度有关,与边的长短无关。
角是不能用放大镜放大或缩小的唯一图形。
2.角的分类:
锐角(大于00小于900);
直角(等于900);
钝角(大于900小于1800);
平角(等于1800);
周角(等于3600)。
1平角=2直角;
1周角=2平角=4直角。
一条射线绕它的端点旋转半周,形成的角叫做平角;
一条射线绕它的端点旋转一周,形成的角叫做周角。
3.角的度量:
人们将圆平均分成360等份,每份所对应的角作为度量角的单位,它的大小就是1度,记做“10”。
角的大小用量角器来度量。
把量角器的中心点与角的顶点重合,角的一边跟量角器的始边零刻度线重合;
角的另一边所对的量角器上的刻度线,就是这个角的度数。
4.画角
(1)用量角器画角。
画法:
先画出一条射线,使量角器的中心和射线的端点重合,00刻度线和射线重合;
再在量角器上找出需要画的角的度数“n0”的刻度线处点一个点;
以画出的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一条射线。
这两条射线所形成的图形就是要画的角。
(2)用一副三角尺也可以画出一些特殊的角。
如:
150,300,450,600,750,900,1050,1200,1350,1500,1650,1800。
5.例题:
(1)用直尺和量角器画出200,380,1750的角。
(2)用一副三角尺画出150,750,1050,1650的角。
三、四边形
1.长方形:
四个顶点,四条边(对边相等),四个角(都是直角)。
(1)周长:
封闭图形一周的长度,就是它的周长。
也就是说围成一个图形的所有边的边长之和就是这个图形的周长。
C长=2(a+b)
(2)面积:
物体的表面或围成的平面图形的大小,就是它们的面积。
S长=ab
2.正方形:
(正方形是四条边都相等的特殊的长方形。
)四个顶点,四条边(4条边都相等),四个角(都是直角)。
C正=4a;
S正=a2(正方形的面积也可以等于对角线的平方除以2来计算。
3.平行四边形:
两组对边分别平行的四边形,叫做平行四边形。
从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线,这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高,垂足所在的边叫做平行四边形的底。
平行四边形有:
四个顶点,四条边(对边平行且相等),四个角(对角相等)。
C=2(a+b)
S=ah(用割补法延高切割拼对后可以变成长方形,拼对成的长方形的长相当于平行四边形的高。
平行四边形拉伸容易变形,具有拉伸可塑的不稳定性;
如果拉伸变成长方形时,长方形的面积大于平行四边形的面积(h<
b),但周长不变。
4.梯形:
只有组对边平行的四边形叫做梯形。
梯形可分为一般梯形和特殊梯形(特殊梯形又分为直角梯形和等腰梯形)
有一个角是直角的梯形叫直角梯形(有2个直角)。
两腰相等的梯形叫等腰梯形(两腰相等,两组底角分别两两相等)。
任何一个梯形都有无数条高。
C梯=四条边之和
S梯=(上底+下地)×
高÷
2(两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,利用拼组转化思想就可以求出其面积。
S梯==
(a+b)h
5.所有四边形的内角和都是360度。
6.四边形包含关系如图:
四边形
平行四边形
长方形梯形
正方形直角梯形等腰梯形
四、三角形
有三条线段首尾相连围成的封闭图形就是三角形。
三角形有三条边,三个顶点,三个内角。
一个三角形至少有两个锐角;
最多只能有一个直角或一个钝角;
任何一个三角形都有三条高、三条角平分线、三条中线。
三角形按角分类可分为:
锐角、直角、钝角三角形。
三角形按边分类可以分为:
不等边三角形和等腰三角形两类,(等边三角形是特殊的等腰三角形。
从三角形的一个顶点到对边作的一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,这条对边叫做三角形的底。
三角形两边之和大于第三边。
三角形的内角和是180°
。
三角形具有稳定性。
等底等高的三角形的面积相等。
等腰三角形两腰相等,两底角相等。
等边三角形也叫正三角形,它的三条边相等,三个角相等。
C=a+b+c
S=底×
2(两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,利用拼组转化思想就可以求出其面积。
S=
ah
任意一个多边形都可以分成(n-2)个三角形;
所以,多边形的内角和是(n-2)×
1800。
五、圆
一条线段一端旋转一周另一端所形成的轨迹曲线,就是圆。
用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆心;
把圆反复对折,对折后折痕相交的点就是圆心。
连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。
画圆时圆规两脚之间的距离就是这个圆的半径。
通过圆心并且两端都在圆上的线段,叫做圆的直径。
圆的周长与其直径的比值,就叫做圆周率。
任意一个圆的周长与它的直径的比值都是一个固定的数,把这个固定的数就叫圆周率。
用字母
表示,
=
,它是一个无限不循环小数(即无理数)。
=3.1415926535…
在实际应用中一般取
≈3.14。
一个圆有一个圆心,无数条半径和直径。
同圆或等圆中半径相等,直径也相等。
圆心和圆弧决定了圆的位置,半径决定圆的大小。
在同一个圆(或相等的圆)里,直径等于半径的2倍,半径等于直径的一半、即:
d=2r或r=
.
任何一个圆的周长都是它的直径的3倍多一点。
圆是轴对称图形,对称轴就是直径所在的直线,一个圆有无数条对称轴。
d=2r;
c=πd=2πr;
s=πr2
(把一个圆先分成两半,再分成若干等份的扇形对叉,无限分切拼组就可以拼成一个近似的平行四边形,再极限细小分切拼组就可以拼成一个长方形,用拼组转化方法就可以求得圆的面积。
有关圆的常见量:
1.圆周长的一半2πr×
=πr
2.半圆的周长2πr×
+2r=πr+2r=(π+2)r
3.
圆的周长2πr×
+2r=
πr+2r=(
π+2)r
4.半圆的面积πr2÷
2=
πr2
5.
圆的面积πr2÷
4=
6.环形圆的周长和面积
C环=C大+C小=2πR+2πr=2π(R+r)
S环=S大-S小=πR2-πr2=π(R2-r2)
7.圆内接正方形(圆中方)与圆的关系
圆跟圆内接正方形的面积比是π:
2,圆比圆内接正方形的面积大1.14r2。
r
S圆=πr22r
S内接正=2r×
r÷
2×
2=2r2
S圆:
S内接正=πr2:
2r2=π:
2=3.14:
2=157:
100
S圆-S内接正=πr2-2r2=(π-2)r2=(3.14-2)r2=1.14r2
8.圆外切正方形(方中圆)与圆的关系
当一个圆的直径和正方形的边长相等时,(即正方形中画一个最大的圆),这个圆的面积小于正方形的面积,并且,S正:
S圆=4:
圆跟圆外切正方形的面积比是π:
4,圆比圆外切正方形的面积小0.86r2。
S圆=πr2r
S外切正=2r×
2r=4r2
S外切正=πr2:
4r2=π:
4=3.14:
4=157:
200
S外切正-S圆=4r2-πr2=(4-π)r2=(4-3.14)r2=0.86r2
9.圆外切正方形面积是圆内接正方形面积的2倍。
S圆外切正:
S圆内接正=4r2:
2r2
=2:
1
10.正方形外接圆的面积是
正方形内切圆的面积的2倍。
S外接圆:
S内切圆=(2×
×
r)2:
(2r)2
=8r2:
4r2
如果圆、正方形、长方形的周长相等时,圆的面积最大,正方形的面积次之,长方形的面积最小。
即:
当C圆=C正=C长时,则S圆>S正>S长。
如果圆、正方形、长方形的面积相等时,圆的周长最短,正方形的周长次之,长方形的周长最长。
当S圆=S正=S长时,则C圆<C正<C长。
计算圆的周长和面积时必须识记的几个数据是:
=3.14,2
=6.28,3
=9.42,4
=12.56,5
=15.7,16
=50.24,
六、扇形
圆上A、B两点之间的部分叫做弧。
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
扇形是圆的一部分。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大扇形就越大,圆心角越小扇形就越小,
C扇=2r+
2πr=2r+
πr(n0圆心角的度数)
S扇=
πr2=
一个圆环被截得的部分叫做扇环。
S扇环=
π(R2-r2)=
π(R2-r2)
小学涉及到的平面几何知识就只有以上这些了。
关于不规则平面图形的面积,可用“割补法”转化成规则图形来求面积。
或“割补拼组”求出近似的面积。
组合图形的面积可分块求出各部分的面积,再求总的面积。
希望同学们能活学活用,灵活处理现实生活中的几何问题。
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