沪教版五四制八年级数学下册 222 特殊平行四边形 强化讲义无答案Word文档格式.docx
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对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
(一)菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(二)菱形性质定理
菱形的四条边都相等。
菱形性质定理
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
(三)菱形判定定理
四条边都相等的四边形是菱形。
菱形判定定理
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(四)菱形的面积:
菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半。
正方形
(一)正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(二)正方形性质定理
正方形的四个角都是直角,四条边都相等。
正方形性质定理
正方形的两条对角线相等,并且互相垂直,每条对角线平分一组对角。
(三)正方形判定定理
有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定定理
有一组邻边相等的矩形是正方形。
特殊的平行四边形之间的关系
相关元素
关系特征
平行四边形
对边
位置关系
平行
长度关系
相等
邻边
相交
垂直
不一定相等
角
对角关系
邻角关系
互补
互补且相等
对角线
对称性
中心对称
既是中心对称
又是轴对称
【例题1】【基础、提高】菱形的一边和等腰直角三角形的直角边相等,若菱形的一角为60°
,则菱形和等腰直角三角形的面积比是.
【尖子】将边长为
的正方形ABCD绕A点按顺时针方向旋转60°
得到正方形AB'
C'
D'
,则前后两正方形重叠部分面积为.
【例题2】【基础、提高】平行四边形各角的平分线相交成的四边形一定是()
(A)梯形(B)菱形(C)矩形(D)正方形
【尖子】下列命题中正确的是()
(A)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
(B)对角线互相垂直的四边形是菱形
(C)对角线相等的四边形是矩形
(D)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【例题3】【基础、提高】将一张正方形纸片按如图所示的方式二次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()
(A)多个等腰直角三角形
(B)一个等腰直角三角形和一个正方形
(C)四个相同的正方形
(D)两个相同的正方形
【尖子】已知平面直角坐标系内有三点A(2,4)、B(-2,2)、C(4,0),若再给一点P(x,y),使以这四点为顶点的四边形是平行四边形,那么点P的坐标不可能是()
(A)(7,2)(B)(0,-2)(C)(-4,6)(D)(8,2)
【例题4】【基础、提高】已知菱形的两条对角线长为a与b,求这个菱形的高.
【尖子】矩形的一条对角线长为20,对角线与一条边的夹角为15°
,求这个矩形的面积.
【例题5】【基础、提高】如图,已知正方形ABCD的对角线BD上有一点F,边AB上有一点E,使得CF⊥FE,求
的值.
【尖子】在正方形ABCD中,P、Q分别为BC、CD上的点,∠PAQ=45°
,且△CPQ的周长为20,求正方形的周长.
【例题6】【基础、提高】OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=10,OC=6
(1)如图,在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作B′.求点B′的坐标;
(2)求折痕CM所在直线的解析式
【尖子】如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2,
(1)求证:
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
【例题7】【基础、提高】如图,将边长为24厘米的正方形ABCD折叠,使得点A落在边CD上的点E,然后压平得折痕FG,若FG的长为25厘米,求线段CE的长.
【尖子】在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为CD上的点,且AF=BC+CF.求证:
∠BAF=2∠BAE
【例题8】【基础、提高】正方形边长等于1,通过它的中心引一条直线,求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围.
【尖子】设M、N分别为正方形ABCD的边AD、CD的中点,且CM与BN交于P,求证:
PA=AB
【例题9】【基础、提高】已知两个正方形ABCD、AKLM(顶点均按照顺时针方向排列),求证:
这两个正方形的中心和BM、DK的中点组成一个正方形.
【尖子】M是正方形ABCD内一点,若
,∠CMD=90°
,求∠MCD
【例题10】【基础、提高】O是正方形ABCD的两对角线的交点,P是BD上异于O的任一点,PE⊥AD于E,PF⊥AB于F,G是EO的延长线和BC的交点,求∠OFG
【尖子】K是正方形ABCD的边AB的中点,点L分对角线AC的比为AL:
LC=3,
证明:
∠KLD=90°
.
【例题11】【基础、提高】已知:
正方形ABCD中,E、F分别在BC、CD上,AG⊥EF于G,若∠EAF=45°
,求证AG=AB,反之,若AG=AB,则∠EAF=45°
【尖子】在梯形ABCD中,AD//BC(BC>
AD),∠D=90°
,BC=CD=12,E在边CD上,
∠ABE=45°
,若AE=10,求CE的长.
【例题12】【基础、提高】在边长为1的菱形ABCD的边上依次截取点E、F、G、H,使得AE=AH=CF=CG.若∠A=120°
,AE=x,四边形EFGH的面积为y
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当x为何值时,四边形EFGH为正方形?
【尖子】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD是AB上高,AP平分∠CAB交BC于P,作PQ⊥AB,Q为垂足,连结EQ,若CP=m,
(1)求四边形CEQP的周长;
(2)当∠B=30°
时,求在Rt△ABC的周长.
【练习1】如图,正方形ABCD,E、F、G、H依次是各边上的点,且EG⊥FH,求证:
EG﹦FH
【练习2】如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连结AE、AF,那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论。
【练习3】如图,已知:
四边形ABCD是正方形,E是CD上的点,BF平分∠ABE,点F是AD的中点上,求证:
BE=AD+DE
【练习4】已知△ABC,向外作正方形ABEF和ACGH.直线AK垂直BC于K,反向延长交FH于M,求证:
M是FH的中点.
【练习5】正方形ABCD的对角线交于O,∠BAC的平分线交BD于G,交BC于F,求证:
【练习6】菱形ABCD中,
,
,求菱形的面积.
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