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,使得a=向量OP=xi+yj+zk,因此把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y,z)。
其中(x,y,z),也就是点P的坐标。
3)当然,对于空间多维向量,可以通过类推得到,此略。
编辑本段向量简介
在数学中,通常用点表示位置,用射线表示方向。
在平面内,从任一点出发的所有射线,可以分别用来表示平面内的各个方向。
向量的表示常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。
向量也可用字母a、b、c等表示,或用表示
向量机器模型
向量的有向线段的起点和终点字母表示。
向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作|a|长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量。
平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
向量a、b、c平行,记作a∥b∥c。
0向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,数学上规定0与任一向量平行。
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量a与b相等,记作a=b。
零向量与零向量相等。
任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。
向量空间的同构
在域F上的两个向量空间V与V'
,如果存在一个双射φ:
V→V'
并且φ(αu+bv)=αφ(u)+bφ(v),a,b∈F,u,v∈V.这样V与V'
便是同构。
向量线性映射
给两个向量空间V和W在同一个F场,设定由V到W的线性变换或“线性映射”.这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。
这个集合包含所有由V到W的线性映像,以L(V,W)来描述,也是一个F场里的向量空间。
当V及W被确定后,线性映射可以用矩阵来表达。
同构是一对一的一张线性映射。
如果在V和W之间存在同构,我们称这两个空间为同构;
他们根本上是然后相同的。
一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴,即阿贝尔范畴。
概念化及额外结构
研究向量空间一般会涉及一些额外结构。
额外结构如下:
一个实数或复数向量空间加上长度概念。
就是范数称为赋范向量空间。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念,称为内积空间。
一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。
一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。
子空间及基
一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性,被称为V的线性子空间。
给出一个向量集合B,那么包含它的最小子空间就称为它的扩张,记作span(B)。
给出一个向量集合B,若它的扩张就是向量空间V,则称B为V的生成集。
一个向量空间V最大的线性独立子集,称为这个空间的基。
若V=0,唯一的基是空集。
对非零向量空间V,基是V最小的生成集。
如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就称V是一个有限维空间。
向量空间的所有基拥有相同基数,称为该空间的维度。
例如,实数向量空间:
R0,R1,R2,R3。
。
,R∞,。
中,Rn的维度就是n。
空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。
把基中元素排列,向量便可以座标系统来呈现。
编辑本段模和数量
向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。
向量a的模记作|a|。
1.向量的模是非负实数,是可以比较大小的。
2.因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
例如,“向量AB>
向量CD”是没有意义的。
编辑本段各种向量
单位向量
长度为单位1的向量,叫做单位向量.与向量a同向或反向,且长度为单位1的向量,叫
做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|。
零向量
长度为0的向量叫做零向量,记作0.零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b.
规定:
所有的零向量都相等.
当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。
自由向量
始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代
表原来的向量。
在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。
滑动向量
沿着直线作用的向量称为滑动向量。
固定向量
作用于一点的向量称为固定向量(亦称胶着向量)。
位置向量
对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作:
向量P。
方向向量
直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量
相反向量
与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a。
有-(-a)=a
零向量的相反向量仍是零向量。
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线),记作a∥b.
零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定:
零向量与任一向量平行.
平行于同一直线的一组向量是共线向量。
若a=(x,y)b=(m,n)。
a//b=>
a·
b=xn-ym=0
共面向量
平行于同一平面的三个(或多于三个)向量叫做共面向量。
空间中的向量有且只有以下两种位置关系:
⑴共面;
⑵不共面。
只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。
法向量
直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做
平面α的法向量。
编辑本段运算
设a=(x,y),b=(x'
,y'
)。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'
,y+y'
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被
向量的减法
减”
a=(x,y)b=(x'
y'
)则a-b=(x-x'
y-y'
).
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·
∣a∣。
当λ>
0时,λa与a同方向
当λ<
0时,λa与a反方向;
向量的数乘
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>
0)或反方向(λ<
0)上伸长为原来的∣λ∣倍
0)或×
×
反方向(λ<
0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
(λa)·
b=λ(a·
b)=(a·
λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):
(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):
λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:
①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
4、向量的数量积
定义:
已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·
b。
若a、b不共线,则a·
b=|a|·
|b|·
cos〈a,b〉;
若a、b共线,则a·
b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:
b=x·
x'
+y·
y'
向量的数量积的运算律
a·
b=b·
a(交换律)
(λa)·
b)(关于数乘法的结合律)
(a+b)·
c=a·
c+b·
c(分配律)
向量的数量积的性质
a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·
b=0。
|a·
b|≤|a|·
|b|。
(该公式证明如下:
|a·
b|=|a|·
|cosα|因为0≤|cosα|≤1,所以|a·
|b|)
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1.向量的数量积不满足结合律,即:
(a·
b)·
c≠a·
(b·
c);
例如:
b)^2≠a^2·
b^2。
2.向量的数量积不满足消去律,即:
由a·
b=a·
c(a≠0),推不出b=c。
3.|a·
b|≠|a|·
|b|
4.由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积
两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×
b(这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·
”不同,也可记做“∧”)。
若a、b不共线,则a×
b的模是:
∣a×
b∣=|a|·
sin〈a,b〉;
a×
b的方向是:
垂直于a和b,且a、b和a×
b按这个次序构成右手系。
若a、b共线,则a×
向量的向量积性质:
∣a×
b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×
a=0。
a垂直b〈=〉a×
b=|a||b|。
向量的向量积运算律
b=-b×
a
(λa)×
b=λ(a×
b)=a×
(λb)
(b+c)=a×
b+a×
c.
向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、三向量的混合积
给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×
b,再和向量c作数量积(a×
c,
向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×
c
混合积具有下列性质:
1.三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;
当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;
当a、b、c构成左手系时ε=-1)
2.上性质的推论:
三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4.(a×
(b×
c)
7、三向量的二重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂,于是直接给出了下列化简公式以及证明过程:
二重向量叉乘化简公式及证明
编辑本段三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
①当且仅当a、b反向时,左边取等号
②当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时,左边取等号
②当且仅当a、b反向时,右边取等号。
编辑本段定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ·
向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个任意实数λ且λ不等于-1,使向量P1P=λ·
向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);
(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心
编辑本段其他
向量共线的条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有x1y2=x2y1。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a·
b=0,即x1x2+y1y2=0。
零向量0垂直于任何向量。
平面向量的分解定理
平面向量分解定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底.
矩阵在三维图形学中的应用
矩阵在3D图形中,常用于描述图形变换,平易,旋转,放缩等。
编辑本段向量法解题
难点3运用向量法解题
平面向量是新教材改革增加的内容之一,近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度,本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析,解决一些相关问题.
●难点磁场
(★★★★★)三角形ABC中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2),求:
(1)BC边上的中线
AM的长;
(2)∠CAB的平分线AD的长;
(3)cosABC的值。
●案例探究
[例1]如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面?
ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
(1)求证:
C1C⊥BD.
(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?
请给出证明。
命题意图:
本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直,夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.
知识依托:
解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题,这就使几何问题代数化,使繁琐的论证变得简单。
错解分析:
本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化,再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.
技巧与方法:
利用a⊥ba·
b=0来证明两直线垂直,只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可。
(1)证明:
设=a,=b,=c,依题意,|a|=|b|,、、?
中两两所成夹角为θ,于是=a-b,=c(a-b)=c·
a-c·
b=|c|·
|a|cosθ-|c|·
|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.
(2)解:
若使A1C⊥平面C1BD,只须证A1C⊥BD,A1C⊥DC1,
由
=(a+b+c)·
(a-c)=|a|+a·
b-b·
c-|c|=|a|-|c|+|b|·
|a|cosθ-|b|·
|c|·
cosθ=0,得
当|a|=|c|时,A1C⊥DC1,同理可证当|a|=|c|时,A1C⊥BD,
∴=1时,A1C⊥平面C1BD.
[例2]如图,直三棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°
,AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点。
(1)求的长
(2)求cos<
>
的值
(3)求证:
A1B⊥C1M.
本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题。
属
★★★★级题目.
解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O-xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标。
本题的难点是建系后,考生不能正确找到点的坐标.
可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标,然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标。
(1)解:
如图,以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
依题意得:
B(0,1,0),N(1,0,1)
∴||=.
依题意得:
A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2).
∴==(0,1,2)
=1×
0+(-1)×
1+2×
2=3
||=
(3)证明:
C1(0,0,2),M()
∴
∴A1B⊥C1M.
●锦囊妙计
1.解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,加深对向量的本质的认识。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.
2.向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题中。
常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题;
利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.
3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考:
(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决?
需要用到哪些向量?
(2)所需要的向量是否已知?
若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示?
(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?
这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系?
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论?
“三角学”,英文Trigonometry,法文Trigonometrie,德文Trigonometrie,都来自拉丁文Trigonometria。
现代三角学一词最初见于希腊文。
最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯(BartholomeoPitiscus,1516-1613),他在1595年出版一本著作《三角学:
解三角学的简明处理》,创造了这个新词。
它是由τριγωυου(三角学)及μετρειυ(测量)两字构成的,原意为三角形的测量,或者说解三角形。
古希腊文里没有这个字,原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学,而是依附于天文学。
因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。
早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。
还在很早的时候,由于垦殖和畜牧的需要,人们就开始作长途迁移;
后来,贸易的发展和求知的欲望,又推动他们去长途旅行。
在当时,这种迁移和旅行是一种冒险的行动。
人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林,或者经水路沿着海岸线作长途航行,无论是那种方式,都首先要明确方向。
那时,人们白天拿太阳作路标,夜里则以星星为指路灯。
太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路,也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。
就这样,最初的以太阳和星星为目标的天文观测,以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。
因此可以说,三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
三角学问题的提出
三角函数
三角学理论的基础,是对三角形各元素之间相依关系的认识。
一般认为,这一认识最早是由希腊天文学家获得的。
当时,希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。
研究天体的运行轨道,力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。
他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形,因为进行天文观测时,人与星球以及大地的位置关系,通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。
在很早以前,希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识:
星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的(如图一);
角度(∠ABC)越大,星球距地面(AC)就越高。
然而,星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢?
能不能把各种不同的角度所反映的星球
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