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【试题点评】本题考查函数的连续性。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数
学重点题型精讲班也均有涉及。
(2)设二阶可导函数f(x)满足f
(1)f
(1)1,f(0)1,且f”(x)0,则()。
A.
1f(x)dx
B.
2f(x)dx
C.
f(x)dx
D.
1f(x)dx
【答案】B
【解析】由于f'
(X)V0,可知其中f(X)的图像在其任意两点连线的曲线下方,也即
11
f(x)f(0)[f
(1)f(0)]x2x1,X(0,1),因此of(x)dxvof(2x1)dx=0,同理f(x)f(0)[f(0)f
(1)]x2x1,x(1,0),因此
011
1f(x)dx<
1f(2x1)dx=0,从而1f(x)dx<
0,故选B.
【试题点评】本题考查二阶导数与拐点的关系。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第
部分高等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
(3)设数列xm收敛,则(
【试题点评】
本题考查级数收敛性。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等
数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
'
'
nxk
(4)微分方程y4y8ye1cos2x的特解可设为y()。
A.Ae2xe2xBcos2xCsin2x
B.Axexe2xBcos2xCsin2x
C.Ae2xxe2xBcos2xCsin2x
D.Axe2xxe2xBcos2xCsin2x
【答案】C
【解析】齐次方程的特征根为r22i,原方程可分解为两个非齐次方程:
2x2x2x
y'
4y'
8ye和y”4y'
8yecos2x,可知第一个方程的特解为Ae,第二个
方程的特解为xe2x(Bcos2xCsin2x),故选C.
【试题点评】本题考查微分方程的解。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高
等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第五章微分方程和强化阶段数学重点题
型精讲班也均有涉及。
(5)设f(x,y)具有一阶偏导数,且在任意的x,y,都有f(x,y)0,f(x,y)则()。
xy
A.f(0,0)f(1,1)
B.f(0,0)f(1,1)
C.f(0,1)f(1,0)
D.f(0,1)f(1,0)
【答案】D
【解析】易知f(x,y)分别关于x,y单调递增和单调递减,所以选D.
【试题点评】本题考查函数的导数。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等
数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题
vV2(t),三块阴影部分面积的数
(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:
m)处,图中,实线表示甲的速
度曲线vVi(t)(单位:
m/s),虚线表示乙的速度曲线
A.t010
B.15t020
C.t025
D.t025
【解析】t025时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处。
(7)设
A为三阶矩阵,P1,2,3为可逆矩阵,
使得
P1AP
0,则
A1
23()°
A.1
B.2
23
C.2
3
D.1
22
B
由相似矩阵的特征值与特征向量的定义,可知
0,A2
2,A
23.
【试题点评】本题考查可逆矩阵。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代
数有重点讲解,在强化阶段数学强化班线性代数第二章矩阵和强化阶段数学重点题型精讲班
也均有涉及。
(8)已知矩阵A0
1,B
0,C
0,则(
A.A与C相似,B与C相似
B.A与C相似,B与C不相似
C.A与C不相似,B与C相似
D.A与C不相似,B与C不相似
【解析】A,B的特征值为2,2,1,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以A
4/13
可对角化,B则不行•
【试题点评】本题考查相似矩阵。
数有重点讲解,在强化阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重
点题型精讲班也均有涉及。
(9)曲线yx(1arcsin—)的斜渐近线方程为
x
【答案】yx2
yx2.
【试题点评】本题考查导数的应用。
数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数应用和强化阶段数
(10)设函数yy(x)由参数方程
.t2
Xte确定,则今|t0=ysintdx
【答案】y1
8
【试题点评】本题考查二阶导数。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数
学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
(11)
101n(1x),
dx=。
0(1x)2
ln(1x)
1x0
【答案】xyey
fy'
xeyxyeyc'
(y)xey,即c'
(y)0,即c(y)c,vf(0,0)0,故c=0,
即f(x,y)xyey.
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题
/“、\1tanx’
(13)dydx=
0yx
【答案】ln(cos1)
Incos1Incos0Incos1
等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数
4
(14)设矩阵A1
a的一个特征向量为
1,则a
【答案】-1
【解析】A1
32a,即32a=1,可得a1.
【试题点评】本题考查矩阵。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有
重点讲解,在强化阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重点题
三、解答题(共94分)
(15)(本题满分10分)
【答案】-
【解析】令xtu,则txu,dtdu,
数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
(16)(本题满分10分)
Qyf(ex,cosx)dxdy|
|x0
dx
dx2
dx2lx0
exf2'
sinx
f1'
(1,1)
(fn'
ex
f12'
sinx)e
he
(f21'
exf22'
sinx)sinxf2'
cosx
f11'
(1,1)『(1,1)f2'
【试题点评】本题考查切线方程与导数的关系。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
(17)(本题满分10分)
nk2ln(1
1n
【答案】1
r1
n
lim[一2ln(1
2
(1)■-
2(1
)]
xn
nn
lim[丄ln(1
!
-ln(1-)
...ln(1
n)]
xnn
x)d】x2
2x2|n(1
x)|0
112
02
如2
1x2
Udx
1In2
2[o(x
1)dx
op】
oxln(1
xln(1x)dx
n2丄(丄1In2)
222
【试题点评】本题考查级数。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学
重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均
有涉及。
(18)(本题满分10分)
33
已知函数y(x)由方程xy3x3y20确定,求y(x)的极值。
【答案】当x=1时函数有极大值,极大值为1,当x=-1时函数有极小值,极小值为0.
xy3x3y20①
方程①两边对x求导得:
3x23y2y'
33y'
0②
令y'
=0,得3x2=3,x1
当x1时y1,当x1时y0
方程②两边再对x求导:
6x6y(y'
)23y2y'
3y'
0
0,6x(3y21)y'
当x=1,y=1时,y'
3,当x=-1时,y'
62
所以当x=1时函数有极大值,极大值为1,当x=-1时函数有极小值,极小值为0.
【试题点评】本题考查多元函数极值。
等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第六章空间解析几何与多元微分学和强
化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
(19)(本题满分10分)
设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f⑴0,lim丄凶0,证明:
X0x
(I)方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(□)方程f(X)f'
(x)(f'
(x))20在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】略
(I)证:
因为lim30,由极限的局部保号性知,存在c(0,),使得f(c)0,
(n)构造函数
F(x)f(x)f'
(x),因此F(0)f(0)f'
(0)0,F()f()f'
()0,
因为lim()
0,所以f'
(0)0,由拉格朗日中值定理知,存在(0,1),使得
f
(1)f(0)
10
f'
()0,所以f'
(0)f'
()0,因此根据零点定理可知存在
1(0,),
而f
(1)0,由零点存在定理可知,存在(c,1),使得f()0。
使得f'
(1)0,所以F
(1)f
(1)f'
(1)0,所以原方程至少有两个不同实根。
学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型
精讲班也均有涉及。
(20)(本题满分11分)
已知平面区域D
x,y|x2y22y,计算二【重积分x1dxdy。
D
(x1)2dxdy
xdxdyIdxdy
DD
2sin22
dr2cos2dr
oo
5
【试题点评】本题考查二重积分。
学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第七章重积分和强化阶段数学重点题型精讲
班也均有涉及。
(21)(本题满分11分)
设yx是区间0,—内的可导函数,且y10,点P是曲线L:
yyx上的任意一点,
L在点P处的切线与y轴相交于点
0,YP,法线与x轴相交于点XP,0,若XPYp,求
L上点的坐标x,y满足的方程。
【答案】ln(x2y2)2arcta0,x(0,3)x2
设曲线L在(x,y)处的切线方程为Y
y(x)y'
(x)(Xx),所以
Ypy(x)xy'
(x)
对应的法线方程为Yy(x)(Xx),所以XPxy(x)y'
因此y(x)xy'
(x)x
y1y(x)y'
(x),即dyyx—
dxyx_y1
这是一个齐次方程,可令
u(x)-,最终求得方程的通解为
ln(u1)2arctanu
2ln|x|C
再由y
(1)0得in(x2
2y3
y)2arctan0,x(0,-)
x2
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第
部分高等数学有重点讲解,在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
(22)(本题满分11分)
设3阶矩阵A(!
2,3)有3个不同的特征值,且3122
(I)证明r(A)2;
(n)如果123,求方程组Ax的通解。
(I)略;
(n)k(1,2,1)T(1,1,1T,kR。
因为A有三个不同的特征值,所以A不是零矩阵,因此r(A)1,若r(A)1,那么特征根0是二重根,这与假设矛盾,因此r(A)2,又根据3122,所以r(A)2,因此r(A)2。
(n)因为r(A)2,所以Ax0的基础解系中只有一个解向量,又3122,即
12230,因此基础解系的一个解向量为(1,2,1)T。
因为123,故
Ax的特解为(1,1,1),因此Ax的通解为k(1,2,1)T(1,1,1f,kR。
【试题点评】本题考查线性方程组的解。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分
线性代数有重点讲解,在强化阶段数学强化班线性代数第四章线性方程组和强化阶段数学重
(23)(本题满分11分)
设二次型f(xj,X?
X3)2X[X2ax32xjX28X1X32x?
X3在正父变换xQy下的标
准型为1y;
2y;
,求a的值及一个正交矩阵Q。
:
"
6
【答案】a2,正交矩阵Q;
.6
214
【解析】二次型的矩阵A111
41a
•••|A|=0,故a=2
由|EA|1
14
11(3)(6)0得特征值为
12
3,26,30
对1
3,3EA
1,得
对2
6,6EA
7
0:
「得2
0;
对3
0,0EA
得3
2;
解齐次方程组(.E
i
A)x0,求特征向量
因为1.2,3属于不同特征值,已经正交,只需规范化:
【试题点评】本题考查二次型。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数
有重点讲解,在强化阶段数学强化班线性代数第六章二次型和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
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- 数学 二真题