数学一真题答案解析Word格式文档下载.docx
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=0,于是gradf(x,y)
=i.故应选(A).
(3)在下列微分方程中,以y=Cex+Ccos2x+Csin2x(C,C,C为任意的常
数)为通解的是【】
123
(A)
y¢
+y¢
-4y¢
-4y=0.(B)
+4y¢
+4y=0.
(C)
-y¢
+4y=0.(D)
-4y=0.
【答案】应选(D).
【详解】由y=Cex+Ccos2x+Csin2x,可知其特征根为
l11,l2,3=±
2i,故对应的特征值方程为
(1)(l+2)(l-2)=
(1)(2+4)
=l3+4ll2-4
=l3-l2+4l4
所以所求微分方程为y¢
-y¢
4y¢
4y=0.应选(D).
(4)设函数f(x)在(-¥
)内单调有界,{xn}为数列,下列命题正确的是【】.
(A)若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛(B)若{xn}单调,则{f(xn)}收敛
(C)若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛.(D)若{f(xn)}单调,则{xn}收敛.
【答案】应选(B).
【详解】若{xn}单调,则由函数f(x)在(-¥
)内单调有界知,若{f(xn)}单调有界,
因此若{f(xn)}收敛.故应选(B).
(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则【】
则下列结论正确的是:
E-A不可逆,则E+A不可逆.(B)
E-A可逆,则E+A可逆.(D)
E-A不可逆,则E+A可逆.E-A可逆,则E+A不可逆.
【答案】应选(C).
【详解】故应选(C).
(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E.
故E-A,E+A均可逆.故应选(C).
æ
xö
(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(xyz)Aç
y÷
=1在正交变换下的标
ç
÷
è
ø
准方程的图形如图,则A的正特征值个数为【】
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
x2y2+z2
【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为a2-
正特征值个数为1.故应选(B).
c21.故A的
(7)设随机变量X,Y独立同分布且X的分布函数为F(),则Z=maxX,}的分布
函数为【】
F2().(B)
F()F().(C)
1[-F()]2.(D)
[1-F()]
-F()].
【答案】应选(A).
【详解】F()=P(Z£
z)=P{
axX,}£
}
=P(X£
z)(Y£
z)=F()F()=F2().故应选(A).
(8)设随机变量X:
N(0,1),
Y:
N(1,4),且相关系数rXY
1,则【】
P{Y=-2X
1}1
P{Y=2X
(D)
【答案】应选(D).
【详解】用排除法.设Y=aX+b.由rXY
1,知X,Y正相关,得a>
0.排除
(A)和(C).由X:
N(0,1),Y:
N(1,4),得
EX=0,EY1,E(aX+b)=aEX+b.
1=a´
0+b,b1.从而排除(B).故应选(D).
二、填空题:
(9-14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.)
(9)微分方程xy¢
+y=0满足条件y
(1)=1的解是y=.
【答案】应填y=.
dyydydx
【详解】由
=-,得=-.两边积分,得ln|y|=-ln|x|+C.
dxxyx
代入条件y
(1)=1,得C=0.所以y=1.
(10)曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)的切线方程为.
【答案】应填y=x+1.
【详解】设F(x,y)=sin(xy)+ln(y-x)-x,则
F(x,y)=ycos(xy)+-1-1,F(x,y)=xcos(xy)+1,
xy-xx
F¢
y-x
F(0,1)=-1,F(0,1)=1.于是斜率k=-x=1.
xyF¢
故所求得切线方程为y=x+1.
¥
(11)
n
已知幂级数å
a(x+2)n在x=0处收敛,在x=-4处发散,则幂级数
n=0
å
a(x-2)n的收敛域为.
【答案】
(1,5].
¥
【详解】由题意,知å
a(x+2)n的收敛域为(-4,0],则å
axn的收敛域为(-2,2]
.所以å
a(x-2)n的收敛域为(1,5].
(12)设曲面S是z=
的上侧,则ò
xydydz+xdzdx+x2dxdy=.
S
4p.
【详解】作辅助面S1:
z=0取下侧.则由高斯公式,有
ò
xydydz+xdzdx+x2dxdy
=Ò
xydydz+xdzdx+x2dxdy-ò
xydydz+xdzdx+x2dxdy
å
1
=ò
ydV+
W
x2+y24
x2dxdy.
=0+1ò
(2+y2)dxdy=1ò
2pò
22
16
22+y24
dq
200
r·
rdr=pg
4
(13)设A为2阶矩阵,a1,a2为线性无关的2维列向量,Aa1=0,Aa2=2a1+a2
.则A的非零特征值为.
【答案】应填1.
02ö
【详解】根据题设条件,得A(a1,a2)=(Aa1,Aa2)=(0,2a1+a2)=(a1,a2)ç
01÷
.
记P=(a1,a2),因a1,a2线性无关,故P=(a1,a2)是可逆矩阵.因此
1æ
AP=Pç
,从而PAP=ç
.记B=ç
,则A与B相似,从而有
è
相同的特征值.
l-2
因为|lE-B|
=l
(1),l=0,l
l1
1.故A的非零特征值为1.
(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X=EX}.
【答案】应填.
2e
【详解】因为X服从参数为1的泊松分布,所以EX=DX
1.从而由
DX=EX2-(EX)2得EX2=2.故P{X=EX}P{X=}=.
三、解答题:
(15-23小题,共94分.)
(15)(本题满分10分)
[
求极限lim
®
0
nx-sn(snx)]nx
x4
【详解1】lim
[inx-sin(sinx)]inxx4
lim
nx-sin(snx)]
x3
=lim
x®
0
cosx-cos(snx)cosx
3x2
1-cs(snx)3x2
=lim
sn(nx)cosx
(或
6x
1(n)2
2,或
1sn2x+o(sn2x)
2)
=1.
6
[nx-sn(snx)]nx
【详解2】lim
0x4
sn4x
t-snt
=lim3
1-cst
2
t2
2(或
snt
)
0t0303
06t
(16)(本题满分9分)
计算曲线积分sin2xdx+2(x2-1)ydy,其中L是曲线y=sinx上从(0,0)到
L
(p,0)
的一段.
【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算.
sin2xdx+2(x2-1)ydy
p[sin2xdx+2(x2-1)sinxcosx]dx=ò
px2sin2xdx
00
2p2
=-xcos2x
+ò
pxcos2xdx=-p
xcos2xdx
p2xsin2xpsin2x
=-+2
-ò
0dx
p2
=-.
【详解2】添加辅助线,按照Green公式进行计算.
设L1为x轴上从点(p,0)到(0,0)的直线段.D是L1与L围成的区域
L+L
é
(2(x2-1)y¶
sin2xù
=-ò
ê
-
x¶
ú
dxdy=-ò
4xydxdy
Dë
û
D
psinx
=-004xydydx=-0
2xsin2
xdx=-ò
x(1-cos2x)dx
pp2
=-+ò
xcos2xdx=-
xsin2xp
+
psin2x
dx
因为ò
sin2xdx+2(x2-1)ydy=ò
0sin2xdx=0
L1p
故sin2xdx+2(x2-1)ydy=-p
L2
【详解3】令I=sin2xdx+2(x2-1)ydy
L12
对于I1,记P=sin2x,
Q=-2y.因为
P=¶
P=0,故I与积分路径无关.
x1
p
I1=ò
0sin2xdx=0.对于I2,
I2=
2x2ydy=
p2x2sinxcosxdx=
2p
0xcos2xdx
=-2+ò
故
sin2xdx+2(x2-1)ydy=-p
ì
x2+y2-2
17(本题满分11分)已知曲线C:
í
2=0,
求C上距离xoy面最远的点和最近
的点.
î
x+y+3z=5,
【详解1】点(x,y,)到xoy面的距离为||,故求C上距离xoy面最远的点和最近的点
的坐标等价于求函数H=z2在条件x2+y2-22=0,x+y+3z=5下的最大值点和最小
值点.
构造拉格朗日函数
L(x,y,z,l,m)=z2+l(x2+y2-2
2)+m(x+y+3z-5),
Lx¢
=2lx+2m=0,
ï
L¢
=2ly+m=0,
y
由¢
Lz=2z-4lz+3m=0,
x2+y2-2z2=0,
x+y+3z=5.
得x=y,
2x2-2z2=0,
x=-5,
x=1,
从而í
解得í
y=-5,或í
y=1,
2x+3z=5.
z=5.ï
z=1.
根据几何意义,曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点,故所求点依次为
(5,-5,5)和(1,1,1).
【详解2】点(x,y,)到xoy面的距离为||,故求C上距离xoy面最远的点和最近的点
x+y-5ö
的坐标等价于求函数H=x2+y2在条件x2+y2-2ç
÷
=0下的最大值点和最
小值点.
22
222
3ø
2ö
L(x,y,z,l)=x+y+lç
x+y-(x+y-5)÷
,
ø
¢
æ
4ö
Lx=2x+lç
2x-9(x+y-5)÷
=0,
由ï
Ly=2y+lç
2y-9(x+y-5)÷
x2+y2-2ç
=0.
得x=y,从而解得
2x2-
2(2x-5)2
9
=0.
x=-5,ì
y=-5,或ï
í
【详解3】由x2+y2-2z2=0得
x=í
ï
y=
2zcosq,2zsinq.
代入x+y+3z=5,得
z=5
所以只要求z=z()的最值.
令z()==0,得csq=snq,解得q=
p5p
.从而
(+2(csq+snq)44
(18)(本题满分10分)
设f()是连续函数,
(I)
利用定义证明函数F()=ò
f()dt可导,且F¢
()=
f();
(II)当f()是以2为周期的周期函数时,证明函数
G()=2ò
f()dt-xò
f()dt也是以2为周期的周期函数.
x+Dxx
【证明】F¢
()lim
Dx®
F(x+Dx)-F()
Dx
limò
f()dt-ò
f()dt
=lim
f(x)Dx
f()=
f()
0Dx
f()dtf(x+Dx)
【注】不能利用L’Hospital法则得到limlim.
(II)【证法1】根据题设,有
G(x+2)=é
2ò
x+2
f()dt,
ê
f()dt-(x+2)
=f(x+2)-
G()=é
xò
f()dt.
f()dt-x
=2f()-
当f()是以2为周期的周期函数时,f(x+2)=f().
从而G(x+2)=G().因而
G(x+2)-G()=C.
取x=0得,C=G(0+2)-G(0)=0,故G(x+2)-G()=0.
即G()=2ò
f()dt是以2为周期的周期函数.
【证法2】根据题设,有
x+22
G(x+2)2ò
0f()dt-(x+2)ò
f()dt,
2x+222
=2ò
0f()dt+xò
2f()dt-xò
0f()dt-2ò
f()dt.
对于2
f()dt,作换元t=u+2,并注意到f(u+2)=
f(),则有
x+2xxx
2f()dt=ò
0fu+
(2)du=ò
0f()du=ò
因而xò
于是
f()dt=0.
G(x+2)=2ò
f()dt=G().
f()dt是以2为周期的周期函数
【证法3】根据题设,有
xx+222
0f()dt+2ò
xf()dt-xò
x2x+22
0f()dt-xò
0f()dt+2ò
xf()dt-2ò
=G()+
f()dt-0
f()).
当f()是以2为周期的周期函数时,必有
事实上
ò
xf()dt=0
d(ò
f()dt)
=
f(x+2)-f()=0,
2f()dtº
C.
022
取x=0得,Cº
(19)(本题满分11分)
(1)1
将函数f()1-x2(0£
x£
p)展开成余弦级数,并求级数å
n=1
的和.
【详解】将f()作偶周期延拓,则有bn=0,n
1,2,L.
2pæ
p2ö
0pò
a=2pf()cosnxdx
npò
2é
ppù
p
=ê
csnxdx-ò
x2cosnxdxú
pë
00û
p2p
=2é
0-p2
ù
=-2é
xsnnx
p2snnxù
pê
0xcosnxdxú
n
ndxú
ë
0ë
0û
22
(1)n-14
(1)1
==.
pn2n2
a¥
p2¥
(1)n-1
所以f()1-x2=0+
2n=1
ancsnx
1-+4
3
n=1n
csnx,0£
p.
令x=0,有f(0)1-p
+4
(1)n1
n2
又f(0)1,所以å
(1)n1p2
=.
n212
(20)(本题满分10分)
设a,b为3维列向量,矩阵A=aaT+bbT,其中aT,bT分别是a,b得转置.证明:
(I)秩r()£
2;
(II)若a,b线性相关,则秩r()<
2.
【详解】
【证法1】r(A)=r(aaT+bbT)£
r(aaT)+r(bbT)£
r(a)+r(b)£
【证法2】因为A=aaT+bbT,A为33矩阵,所以r(A)£
3.
因为a,b为3维列向量,所以存在向量x¹
0,使得
aTx=0,bTx=0
于是Ax=aaTx+bbTx=0
所以Ax=0有非零解,从而r()£
【证法3】因为A=aaT+bbT,所以A为33矩阵.
aTö
又因为TT
T÷
A=aa+bb
=(ab
0)ç
b÷
,
0÷
所以|A||ab
aT
0|bT=0
故r(A)£
(II)
【证法】由a,b线性相关,不妨设a=kb.于是
r(A)=r(aaT+bbT)=
(1+k2)bbT)
r()1<
(21)(本题满分12分).
设n元线性方程组Ax=b,其中
2a1
a22a1
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