全二次函数中平行四边形的存在性问题解析Word格式.docx
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定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
定理1:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
定理2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
定理3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形;
定理4:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2、平行四边形的性质
性质1:
平行四边形的邻角互补,对角相等;
性质2:
平行四边形的对边平行且相等;
性质3:
平行四边形的对角线互相平分.
二次函数中平行四边形的存在性问题
学习目标:
1、会用分类思想讨论平行四边形的存在问题;
2、会用数形结合的思想解决综合性问题.
重点:
分类讨论平行四边形的存在性;
难点:
数形结合思想及画图.
一、知识回顾(储备)
1、线段的中点坐标公式
线段的中点坐标公式
在平面直角坐标系中,有任意两点A、B,若点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),
则线段AB的中点P的坐标为((x1+x2)/2,(x1+x2)/2).
2、知识拓展与应用:
思考:
在平面直角坐标系中,□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),
已知其中3个顶点的坐标,如何确定第4个顶点的坐标?
引例:
如图,已知□ABCD中A(-2,2),B(-3,-1),C(3,1),则点D的坐标是
(4,4)
.
利用中点公式分析:
(x1+x3)/2=
(x2+x4)/2,(y1+y3)/2=
(y2+y4)/2.
结果化简可以化为“
对点法
”的形式:
x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4.
二、对点法(数学方法)
如图,在平面直角坐标系中,□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),
则这4个顶点坐标之间的关系是什么?
结论:
x1+x3=x2+x4,y1+y3=y2+y4.
平面直角坐标系中,平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等,纵坐标之和也相等.
三、典例学习(三定一动)
【例1】如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),点D是平面内一动点,
若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是______.
分析:
设点D(x,y),
①点A与点B相对:
-1+1=3+x,0-2=1+y;
x=-3,y=-3,此时
D2(-3,-3);
②点A与点C相对:
-1+3=1+x,0+1=-2+y;
x=1,y=3,此时
D1(1,3);
③点A与点D相对:
-1+x=1+3,0+y=-2+1;
x=5,y=-1,此时
D3(5,-1);
综上所述:
点D的坐标是(-3,-3),(1,3),(5,-1).
说明:
(细节)
若题中四边形ABCD是平行四边形,则点D(1,3),与四个点为顶点的四边形是平行四边形不同.
四、问题解决
【例题2】已知,抛物线y=-x2+x+2与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,点M是平面内一动点,若以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请写出点M的坐标.
解析:
(三定一动)
先求出A(-1,0),B(2,0),C(0,2),设点M(x,y),
M3(1,-2);
M2(-3,2);
③点A与点M相对:
M1(3,2);
点M的坐标是
M1(3,2),M2(-3,2),M3(1,-2).
【例题3】如图,平面直角坐标中,y=-0.25x2+x与x轴相交于点B(4,0),点Q在抛物线的对称轴上,点P在抛物线上,且以点O、B、Q、D为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P的坐标.
(两定两动其中一点为半动点)
已知B(4,0),O(0,0),设Q(2,a),P(m,-0.25m2+m).
①点B与点O相对:
m=2,a=-1;
P1(2,1);
②点B与点Q相对:
m=6,a=-3;
P2(6,-3);
③点B与点P相对:
m=-2,a=-3;
P3(-2,-3);
P1(2,1),P2(6,-3),P3(-2,-3).
【例题4】如图,平面直角坐标中,y=0.5x2+x-4与y轴相交于点B(0,-4),点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q的坐标.
(两定两动)
已知B(0,-4),O(0,0),设P(m,0.5m2+m-4),Q(a,-a).
a1=4,a2=0(舍);
②点B与点P相对:
a=-2±
2√5;
③点B与点Q相对:
a1=-4,a2=0(舍);
Q1(-2+2√5,2-2√5),Q2(-2-2√5,2+2√5),Q3(-4,4),Q4(4,-4).
五、总结
“对点法”,需要分三种情况,得出三个方程组求解,动点越多,优越性越突出!
从“几何”的角度解决问题的方法,能够使问题直观呈现,问题较简单时,优越性较突出!
“数无形时不直观,形无数时难入微”,数形结合是一种好的解决问题的方法!
六、作业(略)。
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- 关 键 词:
- 二次 函数 平行四边形 存在 问题 解析